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2020-2021学年广西省贵港市高二（下）3月月考数学（文）试卷
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这是一份2020-2021学年广西省贵港市高二（下）3月月考数学（文）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知i为虚数单位，若z⋅1+i=2i，则|z|=( )
A.2B.2C.1D.22
2. 已知集合A={x∈N|0A.{0, 1, 3, 5}B.{0, 2, 4, 6}C.{1, 3, 5}D.{2, 4}
3. 已知平面向量a→=(1, 2)，b→=(−2, m)，且a→ // b→，则2a→+3b→=( )
A.(−5, −10)B.(−4, −8)C.(−3, −6)D.(−2, −4)
4. 已知a=3−12，b=lg312，c=lg1213，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a
5. 函数y=(x3−x)2|x|图象大致是（ ）
A.B.C.D.
6. 已知圆x2+y2−6x=0，过点1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
7. 设alg34=2，则4−a=( )
A.116B.19C. 18D.16
8. 设函数fx=x3−1x3，则fx( )
A.是奇函数，且在0,+∞单调递增
B.是奇函数，且在0,+∞单调递减
C.是偶函数，且在0,+∞单调递增
D.是偶函数，且在0,+∞单调递减
9. 执行如图所示的程序框图，若输出的S=183，则判断框内应填入的条件是( )
A.k>4？B.k>5？C.k>6？D.k>7?
10. 已知双曲线E：x216−y2m2=1的离心率为54，则双曲线E的焦距为( )
A.4B.5C.8D.10
11. 已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(x))处的切线方程是y=12x+2，那么f(1)+f′(1)=( )
A.12B.1C.52D.3
12. 设函数f′x是奇函数fxx∈R的导函数，f−1=0，当x>0时，xf′x−fx<0，则使得fx>0成立的x的取值范围是（ ）
A.−∞,−1∪0,1B.−1,0∪1,+∞
C.−∞,−1∪−1,0D.0,1∪1,+∞
二、填空题
若sinx=−23，则cs2x=________.
记Sn为等差数列an的前n项和，若a1=−2，a2+a6=2，则S10=________.
若x，y满足约束条件 x+y≥−1，x−y≥−1，2x−y≤1， 则z=x+2y的最大值是________.
已知函数fx=2x3−ax2−ax的一个极值点为1，则fx在−2,2上的最小值为________.
三、解答题
某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下2×2列联表：
如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225．
(1)求a，b，c，d的值．
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD．
(1)求证：AC⊥平面PBD；
(2)若PD=2，直线PB与平面ABCD所成的角为45∘，求四棱锥P−ABCD的体积．
已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4csθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：x=3−12t，y=32t， （t为参数）.
(1)求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；
(2)设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|⋅|AQ|的值．
已知函数f(x)=13x3−bx2+2x+a，x=2是f(x)的一个极值点．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若当x∈[1, 3]时，f(x)−a2>23恒成立，求实数a的取值范围．
已知曲线C的参数方程为x=2+2csθ,y=2sinθ(θ为参数)，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ρsinθ=23.
(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若射线θ=π3与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ=π6与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.
已知fx=|x−1|+|x−3|，
(1)解不等式fx≤6；
(2)作出函数f(x)的图象，若fx≥a恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省贵港市高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
【解答】
解：已知z⋅(1+i)=2i，
即z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2(1+i)2=1+i.
则|z|=12+12=2.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为A=x∈N|0B=2,4,6,8，
所以A∩B=2,4.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
【解析】
向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法．
【解答】
解：∵ a→//b→，
∴ −2×2=m，解得m=−4，
则b→=(−2,−4)，
故2a→+3b→=(2,4)+(−6,−12)=(−4,−8).
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
指数式、对数式的综合比较
【解析】
由指数函数和对数函数的单调性求解即可．
【解答】
解：∵ 0b=lg312c=lg1213>lg1212=1，
∴ c>a>b.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
函数奇偶性的判断
【解析】
根据函数y为奇函数，它的图象关于原点对称，当01时，y>0，结合所给的选项得出结论．
【解答】
解：由于函数y＝(x3−x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，
当0当x>1时，y>0.
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
与圆有关的最值问题
【解析】
根据题意，将圆的一般方程转化为圆的标准方程，找到圆心坐标和圆的半径，然后判断出定点在圆内，结合已知条件可知当过点P的直线与直线CP垂直时弦长最短，最后利用弦长公式得出结果.
【解答】
解：圆x2+y2−6x=0化为x−32+y2=9，
所以圆心C坐标为C3,0，半径为3，
设P1,2，当过点P的直线和直线CP垂直时，
圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为29−|CP|2=29−8=2.
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
对数的运算性质
【解析】
利用对数运算法则以及指数式与对数式互化求解即可．
【解答】
解：由alg34=2可得lg34a=2，
所以4a=9，
故有4−a=19.
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的判断
【解析】
首先检验f(x)与f(−x)的关系判断函数的奇偶性，然后结合导数判断函数的单调性.
【解答】
解：因为fx=x3−1x3，
所以fx+f−x=x3−1x3+−x3−1−x3=0，
所以函数fx是奇函数．
又因为f′(x)=3x2+3x4在(0,+∞)上恒大于零，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
循环结构的应用
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：运行程序， S=0，k=1，
k=2，S=2，判断否，
k=3，S=7，判断否，
k=4，5=18，判断否，
k=5，S=41，判断否，
k=6，S=88，判断否，
k=7，S=183，判断是，
输出S=183，所以填k>6？
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 双曲线E的方程为x216−y2m2=1，离心率为54，a2=16，
∴ e2=c2a2=2516，
∴ c2=25，
∴ c=5，
∴焦距=2c=10.
故选D．
11.
【答案】
D
【考点】
导数的几何意义
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f(1)的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′(1)的值，把f(1)和f′(1)代入即可．
【解答】
解：∵ 点M(1, f(1))是切点，
∴ 点M在切线上，
∴ f(1)=12+2=52，
∵ 函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线的方程是y=12x+2，
∴ 切线斜率是12，
即f′(1)=12，
∴ f(1)+f′(1)=52+12=3．
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fxx∈R为奇函数，f−1=0，
所以f1=−f−1=0，
当x≠0时，令gx=fxx，
则gx为偶函数，且g1=g−1=0．
则当x>0时，g′x=fxx′=xf′x−fxx2<0，
故gx在0,+∞上为减函数，在−∞,0上为增函数．
所以在0,+∞上，当0g1=0⇔fxx>0⇔fx>0；
在(−∞,0)上，当x<−1时，gx0．
综上，得使fx>0成立的x的取值范围是−∞,−1∪0,1.
故选A．
二、填空题
【答案】
19
【考点】
二倍角的余弦公式
【解析】
由已知条件利用二倍角的余弦公式计算即可得到结果.
【解答】
解：由二倍角的余弦公式可得：
cs2x=1−2sin2x=1−2−232=1−89=19.
故答案为：19.
【答案】
25
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
由已知条件结合等差数列的通项公式求出公差d，利用前n项和公式即可求解.
【解答】
解：由a2+a6=2，可得a1+d+a1+5d=2.
因为a1=−2，可求出d=1.
由数列的前n项和公式得：
S10=−2×10+10×10−12×1=−20+45=25.
故答案为：25.
【答案】
8
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
由已知条件作出不等式组对应的可行域，根据目标函数的几何意义，数形结合得到使目标函数取得最优解的点，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可求得答案.
【解答】
解：如图所示，阴影部分表示可行域，
z=x+2y可转化为y=−12x+12z，
联立x−y=−1，2x−y=1，得A(2，3)，
故当直线y=−12x+12z经过点A时z取得最大值，zmax=2+2×3=8.
故答案为：8.
【答案】
−20
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：因为f′x=6x2−2ax−a，
所以f′1=6−3a=0，解得a=2，
则f′(x)=6x2−4x−2=2(x−1)(3x+1)，
所以fx在(−2,−13)，(1,2)上单调递增，
在(−13,1)上单调递减．
因为f−2=−20，f1=−2，
所以fx在−2,2上的最小值为−20．
故答案为：−20．
三、解答题
【答案】
解：(1)积极参加班级工作的学生有c人，总人数为50人，
由抽到积极参加班级工作的学生的概率P1=c50=1225，
解得c=24，
所以a=6．
所以b=25−a=19，d=50−c=26．
(2)由列联表知，K2的观测值k=50×(18×19−6×7)225×25×24×26≈11.538．
∵11.538>10.828，
∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【考点】
独立性检验
独立性检验的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)积极参加班级工作的学生有c人，总人数为50人，
由抽到积极参加班级工作的学生的概率P1=c50=1225，
解得c=24，所以a=6．
所以b=25−a=19，d=50−c=26．
(2)由列联表知，K2的观测值k=50×(18×19−6×7)225×25×24×26≈11.538．
∵11.538>10.828，
∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【答案】
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
故AC⊥平面PBD；
(2)解：因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，
于是∠PBD=45∘，
因此BD=PD=2.
又AB=AD=2，
所以菱形ABCD的面积为S=AB⋅AD⋅sin60∘=23，
故四棱锥P−ABCD的体积V=13S⋅PD=433.
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
故AC⊥平面PBD；
(2)解：因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，
于是∠PBD=45∘，
因此BD=PD=2.
又AB=AD=2，
所以菱形ABCD的面积为S=AB⋅AD⋅sin60∘=23，
故四棱锥P−ABCD的体积V=13S⋅PD=433.
【答案】
解：(1)由ρ=4csθ，得ρ2=4ρcsθ，
∴ x2+y2=4x，
故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，
即(x−2)2+y2=4．
由x=3−12t，y=32t， 消去参数t，可得3x+y−33=0．
∴ 曲线C2:3x+y−33=0.
(2)将x=3−12t,y=32t, 代入x2+y2=4x，
得t2−t−3=0，
∵ Δ=1+4×3=13>0，
∴ 方程有两个不等实根t1，t2分别对应点P，Q，
∴ |AP|⋅|AQ|=|t1|⋅|t2|=|t1⋅t2|=|−3|=3，
即|AP|⋅|AQ|=3．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）把ρ=4csθ两边同时乘以ρ，结合x=ρcsθ，y=ρsinθ即可求得曲线C1的直角坐标方程，在x=3−12ty=32t 中，直接消去参数t即可求得曲线C2的普通方程；
（2）把曲线C2的参数方程代入x2+y2=4x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合t的几何意义求得|AP|⋅|AQ|的值．
【解答】
解：(1)由ρ=4csθ，得ρ2=4ρcsθ，
∴ x2+y2=4x，
故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，
即(x−2)2+y2=4．
由x=3−12t，y=32t， 消去参数t，可得3x+y−33=0．
∴ 曲线C2:3x+y−33=0.
(2)将x=3−12t,y=32t, 代入x2+y2=4x，
得t2−t−3=0，
∵ Δ=1+4×3=13>0，
∴ 方程有两个不等实根t1，t2分别对应点P，Q，
∴ |AP|⋅|AQ|=|t1|⋅|t2|=|t1⋅t2|=|−3|=3，
即|AP|⋅|AQ|=3．
【答案】
解：(1)f′(x)=x2−2bx+2．
∵ x=2是f(x)的一个极值点，
∴ x=2是方程x2−2bx+2=0的一个根，解得b=32．
令f′(x)>0，则x2−3x+2>0，解得x<1或x>2．
∴ 函数y=f(x)的单调递增区间为(−∞, 1)，(2, +∞)．
(2)∵ 当x∈(1, 2)时，f′(x)<0；
当x∈(2, 3)时，f′(x)>0，
∴ f(x)在(1, 2)上单调递减，f(x)在(2, 3)上单调递增．
∴ f(2)是f(x)在区间[1, 3]上的最小值，且 f(2)=23+a．
若当x∈[1, 3]时，要使f(x)−a2>23恒成立，
只需f(2)>a2+23，
即23+a>a2+23，解得 0【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
函数恒成立问题
【解析】
（1）先求导函数，然后根据x=2是f(x)的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f′(x)>0即可求出函数的单调增区间；
（2）先利用导数求出函数f(x)在区间[1, 3]上的最小值，若当x∈[1, 3]时，要使f(x)−a2>23恒成立，只需f(x)min>a2+23，即可求出a的范围．
【解答】
解：(1)f′(x)=x2−2bx+2．
∵ x=2是f(x)的一个极值点，
∴ x=2是方程x2−2bx+2=0的一个根，解得b=32．
令f′(x)>0，则x2−3x+2>0，解得x<1或x>2．
∴ 函数y=f(x)的单调递增区间为(−∞, 1)，(2, +∞)．
(2)∵ 当x∈(1, 2)时，f′(x)<0；
当x∈(2, 3)时，f′(x)>0，
∴ f(x)在(1, 2)上单调递减，f(x)在(2, 3)上单调递增．
∴ f(2)是f(x)在区间[1, 3]上的最小值，且 f(2)=23+a．
若当x∈[1, 3]时，要使f(x)−a2>23恒成立，
只需f(2)>a2+23，
即23+a>a2+23，解得 0【答案】
解：(1)因为曲线C的参数方程为x=2+2csθ，y=2sinθ，
所以x=2+2csθ，y=2sinθ,⇒x−2=2csθ，y=2sinθ,
⇒(x−2)2+y2=4.
所以曲线C的极坐标方程为
(ρcsθ−2)2+(ρsinθ)2=4⇒ρ=4csθ，
又直线l的极坐标方程为ρsinθ=23，
所以直线l的直角坐标系方程为y=23，
综上所述，C:ρ=4csθ，l:y=23.
(2)由(1)知曲线C的极坐标方程为 ρsinθ=23，
所以联立射线θ=π3与曲线C及直线l的极坐标方程可得
A(2,π3),B(4,π3).
所以联立射线θ=π6与曲线C的极坐标方程可得P(23,π6).
所以 |AB|=2,∠BOP=π3−π6=π6.
所以S△PAB=S△PBO−S△PAO=12×4×23×sinπ6
−12×2×23×sinπ6=3.
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为曲线C的参数方程为x=2+2csθ，y=2sinθ，
所以x=2+2csθ，y=2sinθ,⇒x−2=2csθ，y=2sinθ,
⇒(x−2)2+y2=4.
所以曲线C的极坐标方程为
(ρcsθ−2)2+(ρsinθ)2=4⇒ρ=4csθ，
又直线l的极坐标方程为ρsinθ=23，
所以直线l的直角坐标系方程为y=23，
综上所述，C:ρ=4csθ，l:y=23.
(2)由(1)知曲线C的极坐标方程为 ρsinθ=23，
所以联立射线θ=π3与曲线C及直线l的极坐标方程可得
A(2,π3),B(4,π3).
所以联立射线θ=π6与曲线C的极坐标方程可得P(23,π6).
所以 |AB|=2,∠BOP=π3−π6=π6.
所以S△PAB=S△PBO−S△PAO=12×4×23×sinπ6
−12×2×23×sinπ6=3.
【答案】
解：(1)fx=4−2x,x<1,2,1≤x≤3,2x−4,x>3,
不等式fx≤6可化为：x<1,4−2x≤6,或1≤x≤3,2≤6,或x>3,2x−4≤6,
解得−1≤x<1或1≤x≤3或3综上，−1≤x≤5.
(2)作出fx=4−2x,x<1,2,1≤x≤3,2x−4，x>3,的图象如图所示，
要使得fx≥a恒成立，则fxmin≥a，
即a≤2.
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=4−2x,x<1,2,1≤x≤3,2x−4,x>3,
不等式fx≤6可化为：x<1,4−2x≤6,或1≤x≤3,2≤6,或x>3,2x−4≤6,
解得−1≤x<1或1≤x≤3或3综上，−1≤x≤5.
(2)作出fx=4−2x,x<1,2,1≤x≤3,2x−4，x>3,的图象如图所示，
要使得fx≥a恒成立，则fxmin≥a，
即a≤2.积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
总计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
a
b
25
总计
c
d
50
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1. 已知i为虚数单位，若z⋅1+i=2i，则|z|=( )
A.2B.2C.1D.22
2. 已知集合A={x∈N|0
3. 已知平面向量a→=(1, 2)，b→=(−2, m)，且a→ // b→，则2a→+3b→=( )
A.(−5, −10)B.(−4, −8)C.(−3, −6)D.(−2, −4)
4. 已知a=3−12，b=lg312，c=lg1213，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a
5. 函数y=(x3−x)2|x|图象大致是（ ）
A.B.C.D.
6. 已知圆x2+y2−6x=0，过点1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
7. 设alg34=2，则4−a=( )
A.116B.19C. 18D.16
8. 设函数fx=x3−1x3，则fx( )
A.是奇函数，且在0,+∞单调递增
B.是奇函数，且在0,+∞单调递减
C.是偶函数，且在0,+∞单调递增
D.是偶函数，且在0,+∞单调递减
9. 执行如图所示的程序框图，若输出的S=183，则判断框内应填入的条件是( )
A.k>4？B.k>5？C.k>6？D.k>7?
10. 已知双曲线E：x216−y2m2=1的离心率为54，则双曲线E的焦距为( )
A.4B.5C.8D.10
11. 已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(x))处的切线方程是y=12x+2，那么f(1)+f′(1)=( )
A.12B.1C.52D.3
12. 设函数f′x是奇函数fxx∈R的导函数，f−1=0，当x>0时，xf′x−fx<0，则使得fx>0成立的x的取值范围是（ ）
A.−∞,−1∪0,1B.−1,0∪1,+∞
C.−∞,−1∪−1,0D.0,1∪1,+∞
二、填空题
若sinx=−23，则cs2x=________.
记Sn为等差数列an的前n项和，若a1=−2，a2+a6=2，则S10=________.
若x，y满足约束条件 x+y≥−1，x−y≥−1，2x−y≤1， 则z=x+2y的最大值是________.
已知函数fx=2x3−ax2−ax的一个极值点为1，则fx在−2,2上的最小值为________.
三、解答题
某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下2×2列联表：
如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225．
(1)求a，b，c，d的值．
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD．
(1)求证：AC⊥平面PBD；
(2)若PD=2，直线PB与平面ABCD所成的角为45∘，求四棱锥P−ABCD的体积．
已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4csθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：x=3−12t，y=32t， （t为参数）.
(1)求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；
(2)设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|⋅|AQ|的值．
已知函数f(x)=13x3−bx2+2x+a，x=2是f(x)的一个极值点．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若当x∈[1, 3]时，f(x)−a2>23恒成立，求实数a的取值范围．
已知曲线C的参数方程为x=2+2csθ,y=2sinθ(θ为参数)，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ρsinθ=23.
(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若射线θ=π3与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ=π6与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.
已知fx=|x−1|+|x−3|，
(1)解不等式fx≤6；
(2)作出函数f(x)的图象，若fx≥a恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省贵港市高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
【解答】
解：已知z⋅(1+i)=2i，
即z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2(1+i)2=1+i.
则|z|=12+12=2.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为A=x∈N|0
所以A∩B=2,4.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
【解析】
向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法．
【解答】
解：∵ a→//b→，
∴ −2×2=m，解得m=−4，
则b→=(−2,−4)，
故2a→+3b→=(2,4)+(−6,−12)=(−4,−8).
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
指数式、对数式的综合比较
【解析】
由指数函数和对数函数的单调性求解即可．
【解答】
解：∵ 0
∴ c>a>b.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
函数奇偶性的判断
【解析】
根据函数y为奇函数，它的图象关于原点对称，当0
【解答】
解：由于函数y＝(x3−x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，
当0
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
与圆有关的最值问题
【解析】
根据题意，将圆的一般方程转化为圆的标准方程，找到圆心坐标和圆的半径，然后判断出定点在圆内，结合已知条件可知当过点P的直线与直线CP垂直时弦长最短，最后利用弦长公式得出结果.
【解答】
解：圆x2+y2−6x=0化为x−32+y2=9，
所以圆心C坐标为C3,0，半径为3，
设P1,2，当过点P的直线和直线CP垂直时，
圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为29−|CP|2=29−8=2.
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
对数的运算性质
【解析】
利用对数运算法则以及指数式与对数式互化求解即可．
【解答】
解：由alg34=2可得lg34a=2，
所以4a=9，
故有4−a=19.
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的判断
【解析】
首先检验f(x)与f(−x)的关系判断函数的奇偶性，然后结合导数判断函数的单调性.
【解答】
解：因为fx=x3−1x3，
所以fx+f−x=x3−1x3+−x3−1−x3=0，
所以函数fx是奇函数．
又因为f′(x)=3x2+3x4在(0,+∞)上恒大于零，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
循环结构的应用
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：运行程序， S=0，k=1，
k=2，S=2，判断否，
k=3，S=7，判断否，
k=4，5=18，判断否，
k=5，S=41，判断否，
k=6，S=88，判断否，
k=7，S=183，判断是，
输出S=183，所以填k>6？
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 双曲线E的方程为x216−y2m2=1，离心率为54，a2=16，
∴ e2=c2a2=2516，
∴ c2=25，
∴ c=5，
∴焦距=2c=10.
故选D．
11.
【答案】
D
【考点】
导数的几何意义
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f(1)的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′(1)的值，把f(1)和f′(1)代入即可．
【解答】
解：∵ 点M(1, f(1))是切点，
∴ 点M在切线上，
∴ f(1)=12+2=52，
∵ 函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线的方程是y=12x+2，
∴ 切线斜率是12，
即f′(1)=12，
∴ f(1)+f′(1)=52+12=3．
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fxx∈R为奇函数，f−1=0，
所以f1=−f−1=0，
当x≠0时，令gx=fxx，
则gx为偶函数，且g1=g−1=0．
则当x>0时，g′x=fxx′=xf′x−fxx2<0，
故gx在0,+∞上为减函数，在−∞,0上为增函数．
所以在0,+∞上，当0
在(−∞,0)上，当x<−1时，gx
综上，得使fx>0成立的x的取值范围是−∞,−1∪0,1.
故选A．
二、填空题
【答案】
19
【考点】
二倍角的余弦公式
【解析】
由已知条件利用二倍角的余弦公式计算即可得到结果.
【解答】
解：由二倍角的余弦公式可得：
cs2x=1−2sin2x=1−2−232=1−89=19.
故答案为：19.
【答案】
25
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
由已知条件结合等差数列的通项公式求出公差d，利用前n项和公式即可求解.
【解答】
解：由a2+a6=2，可得a1+d+a1+5d=2.
因为a1=−2，可求出d=1.
由数列的前n项和公式得：
S10=−2×10+10×10−12×1=−20+45=25.
故答案为：25.
【答案】
8
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
由已知条件作出不等式组对应的可行域，根据目标函数的几何意义，数形结合得到使目标函数取得最优解的点，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可求得答案.
【解答】
解：如图所示，阴影部分表示可行域，
z=x+2y可转化为y=−12x+12z，
联立x−y=−1，2x−y=1，得A(2，3)，
故当直线y=−12x+12z经过点A时z取得最大值，zmax=2+2×3=8.
故答案为：8.
【答案】
−20
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：因为f′x=6x2−2ax−a，
所以f′1=6−3a=0，解得a=2，
则f′(x)=6x2−4x−2=2(x−1)(3x+1)，
所以fx在(−2,−13)，(1,2)上单调递增，
在(−13,1)上单调递减．
因为f−2=−20，f1=−2，
所以fx在−2,2上的最小值为−20．
故答案为：−20．
三、解答题
【答案】
解：(1)积极参加班级工作的学生有c人，总人数为50人，
由抽到积极参加班级工作的学生的概率P1=c50=1225，
解得c=24，
所以a=6．
所以b=25−a=19，d=50−c=26．
(2)由列联表知，K2的观测值k=50×(18×19−6×7)225×25×24×26≈11.538．
∵11.538>10.828，
∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【考点】
独立性检验
独立性检验的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)积极参加班级工作的学生有c人，总人数为50人，
由抽到积极参加班级工作的学生的概率P1=c50=1225，
解得c=24，所以a=6．
所以b=25−a=19，d=50−c=26．
(2)由列联表知，K2的观测值k=50×(18×19−6×7)225×25×24×26≈11.538．
∵11.538>10.828，
∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【答案】
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
故AC⊥平面PBD；
(2)解：因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，
于是∠PBD=45∘，
因此BD=PD=2.
又AB=AD=2，
所以菱形ABCD的面积为S=AB⋅AD⋅sin60∘=23，
故四棱锥P−ABCD的体积V=13S⋅PD=433.
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
故AC⊥平面PBD；
(2)解：因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，
于是∠PBD=45∘，
因此BD=PD=2.
又AB=AD=2，
所以菱形ABCD的面积为S=AB⋅AD⋅sin60∘=23，
故四棱锥P−ABCD的体积V=13S⋅PD=433.
【答案】
解：(1)由ρ=4csθ，得ρ2=4ρcsθ，
∴ x2+y2=4x，
故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，
即(x−2)2+y2=4．
由x=3−12t，y=32t， 消去参数t，可得3x+y−33=0．
∴ 曲线C2:3x+y−33=0.
(2)将x=3−12t,y=32t, 代入x2+y2=4x，
得t2−t−3=0，
∵ Δ=1+4×3=13>0，
∴ 方程有两个不等实根t1，t2分别对应点P，Q，
∴ |AP|⋅|AQ|=|t1|⋅|t2|=|t1⋅t2|=|−3|=3，
即|AP|⋅|AQ|=3．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）把ρ=4csθ两边同时乘以ρ，结合x=ρcsθ，y=ρsinθ即可求得曲线C1的直角坐标方程，在x=3−12ty=32t 中，直接消去参数t即可求得曲线C2的普通方程；
（2）把曲线C2的参数方程代入x2+y2=4x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合t的几何意义求得|AP|⋅|AQ|的值．
【解答】
解：(1)由ρ=4csθ，得ρ2=4ρcsθ，
∴ x2+y2=4x，
故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，
即(x−2)2+y2=4．
由x=3−12t，y=32t， 消去参数t，可得3x+y−33=0．
∴ 曲线C2:3x+y−33=0.
(2)将x=3−12t,y=32t, 代入x2+y2=4x，
得t2−t−3=0，
∵ Δ=1+4×3=13>0，
∴ 方程有两个不等实根t1，t2分别对应点P，Q，
∴ |AP|⋅|AQ|=|t1|⋅|t2|=|t1⋅t2|=|−3|=3，
即|AP|⋅|AQ|=3．
【答案】
解：(1)f′(x)=x2−2bx+2．
∵ x=2是f(x)的一个极值点，
∴ x=2是方程x2−2bx+2=0的一个根，解得b=32．
令f′(x)>0，则x2−3x+2>0，解得x<1或x>2．
∴ 函数y=f(x)的单调递增区间为(−∞, 1)，(2, +∞)．
(2)∵ 当x∈(1, 2)时，f′(x)<0；
当x∈(2, 3)时，f′(x)>0，
∴ f(x)在(1, 2)上单调递减，f(x)在(2, 3)上单调递增．
∴ f(2)是f(x)在区间[1, 3]上的最小值，且 f(2)=23+a．
若当x∈[1, 3]时，要使f(x)−a2>23恒成立，
只需f(2)>a2+23，
即23+a>a2+23，解得 0
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
函数恒成立问题
【解析】
（1）先求导函数，然后根据x=2是f(x)的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f′(x)>0即可求出函数的单调增区间；
（2）先利用导数求出函数f(x)在区间[1, 3]上的最小值，若当x∈[1, 3]时，要使f(x)−a2>23恒成立，只需f(x)min>a2+23，即可求出a的范围．
【解答】
解：(1)f′(x)=x2−2bx+2．
∵ x=2是f(x)的一个极值点，
∴ x=2是方程x2−2bx+2=0的一个根，解得b=32．
令f′(x)>0，则x2−3x+2>0，解得x<1或x>2．
∴ 函数y=f(x)的单调递增区间为(−∞, 1)，(2, +∞)．
(2)∵ 当x∈(1, 2)时，f′(x)<0；
当x∈(2, 3)时，f′(x)>0，
∴ f(x)在(1, 2)上单调递减，f(x)在(2, 3)上单调递增．
∴ f(2)是f(x)在区间[1, 3]上的最小值，且 f(2)=23+a．
若当x∈[1, 3]时，要使f(x)−a2>23恒成立，
只需f(2)>a2+23，
即23+a>a2+23，解得 0
解：(1)因为曲线C的参数方程为x=2+2csθ，y=2sinθ，
所以x=2+2csθ，y=2sinθ,⇒x−2=2csθ，y=2sinθ,
⇒(x−2)2+y2=4.
所以曲线C的极坐标方程为
(ρcsθ−2)2+(ρsinθ)2=4⇒ρ=4csθ，
又直线l的极坐标方程为ρsinθ=23，
所以直线l的直角坐标系方程为y=23，
综上所述，C:ρ=4csθ，l:y=23.
(2)由(1)知曲线C的极坐标方程为 ρsinθ=23，
所以联立射线θ=π3与曲线C及直线l的极坐标方程可得
A(2,π3),B(4,π3).
所以联立射线θ=π6与曲线C的极坐标方程可得P(23,π6).
所以 |AB|=2,∠BOP=π3−π6=π6.
所以S△PAB=S△PBO−S△PAO=12×4×23×sinπ6
−12×2×23×sinπ6=3.
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为曲线C的参数方程为x=2+2csθ，y=2sinθ，
所以x=2+2csθ，y=2sinθ,⇒x−2=2csθ，y=2sinθ,
⇒(x−2)2+y2=4.
所以曲线C的极坐标方程为
(ρcsθ−2)2+(ρsinθ)2=4⇒ρ=4csθ，
又直线l的极坐标方程为ρsinθ=23，
所以直线l的直角坐标系方程为y=23，
综上所述，C:ρ=4csθ，l:y=23.
(2)由(1)知曲线C的极坐标方程为 ρsinθ=23，
所以联立射线θ=π3与曲线C及直线l的极坐标方程可得
A(2,π3),B(4,π3).
所以联立射线θ=π6与曲线C的极坐标方程可得P(23,π6).
所以 |AB|=2,∠BOP=π3−π6=π6.
所以S△PAB=S△PBO−S△PAO=12×4×23×sinπ6
−12×2×23×sinπ6=3.
【答案】
解：(1)fx=4−2x,x<1,2,1≤x≤3,2x−4,x>3,
不等式fx≤6可化为：x<1,4−2x≤6,或1≤x≤3,2≤6,或x>3,2x−4≤6,
解得−1≤x<1或1≤x≤3或3
(2)作出fx=4−2x,x<1,2,1≤x≤3,2x−4，x>3,的图象如图所示，
要使得fx≥a恒成立，则fxmin≥a，
即a≤2.
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=4−2x,x<1,2,1≤x≤3,2x−4,x>3,
不等式fx≤6可化为：x<1,4−2x≤6,或1≤x≤3,2≤6,或x>3,2x−4≤6,
解得−1≤x<1或1≤x≤3或3
(2)作出fx=4−2x,x<1,2,1≤x≤3,2x−4，x>3,的图象如图所示，
要使得fx≥a恒成立，则fxmin≥a，
即a≤2.积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
总计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
a
b
25
总计
c
d
50
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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