湘教版九年级上册第2章 一元二次方程综合与测试综合训练题

这是一份湘教版九年级上册第2章 一元二次方程综合与测试综合训练题，共13页。试卷主要包含了若关于x的方程a，已知m、n、3分别是等腰三角形等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湘教版九年级数学上册《第2章一元二次方程》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．利用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应先将其变形为（　　）
A．（x+）2＝ B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x+）2＝
2．今年，某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2019年单价为200元，2021年单价为162元，2019年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）
A．10% B．19% C．20% D．30%
3．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）
A． B．4 C．25 D．5
4．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣1
5．已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为（　　）
A．4 B．9 C．12 D．15
6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
7．对于任意实数m，关于x的方程x2+（m+3）x+m+2＝0，则方程根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0
9．已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或2 D．1或﹣2
10．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程（　　）

A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　 　．
12．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，则k的值是　 　．
13．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+c＝0，则方程必有一根为　 　．
14．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是　 　．
15．若关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
16．关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　 　．
17．如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为　 　．
18．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是　 　．
19．若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为　 　．
20．设m，n为方程x2+4x+2＝0的两个实数根，则m2﹣mn+n2＝　 　，m3+14n+50＝　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．
22．在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
所以m+n＝0，n﹣3＝0．
即m＝﹣3，n＝3．
问题（1）若x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，求xy的值．
（2）若a、b、c是△ABC的长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，c是△ABC中最长边的边长，且c为整数，那么c可能是哪几个数？
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．
24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
25．某网店销售某种玩具，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该网店采取了降价措施，在每件盈利不少于32元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，若每件商品降价a（a为正数）元．
（1）用含a的代数式表示出平均每天销售的数量，并直接写出a的取值范围；
（2）若该网店每天销售利润为2100元时，求a的值．
26．如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上．
（1）求五边形ABCDE的面积；
（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长．
（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明．


参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：x2﹣x﹣1＝0，
移项，得x2﹣x＝1，
配方，得x2﹣x+（）2＝1+（）2，
即（x﹣）2＝，
故选：B．
2．解：设平均每年降低的百分率是x，
根据题意列方程，得200（1﹣x）2＝162．
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
即：2019年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是10%；
故选：A．
3．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，

即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，
由勾股定理得：AD＝＝，
故选：A．
4．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．
整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．
解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．
即a2+b2的值为4．
故选：A．
5．解：∵α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，
∴α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，α+β＝﹣2020，αβ＝1，
∴（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）
＝（1+2020α+α2+3α）（1+2020β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
6．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．
故正确的有①②④，
故选：A．
7．解：∵a＝1，b＝m+3，c＝m+2，
∴△＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1×（m+2）＝（m+1）2≥0．
∴方程有有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根．
故选：D．
8．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，
∴a（x+m﹣1）2+b＝0，
又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，
解得x1＝3，x2＝0，
故选：D．
9．解：①当m、n为腰时，m＝n，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝0，
解得：k＝2；
②当m和3（或n和3）是腰时，m＝3，
∵三角形不是等边三角形，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴把m＝3代入方程得9﹣12+k+2＝0，
解得：k＝1；
所以k＝1或2，
故选：C．
10．解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：C．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案是：2．
12．解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．
①如果x1﹣2＝0，那么x1＝2，
将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，
整理，得k2+4k+4＝0，
解得k＝﹣2；
②如果x1﹣x2＝0，
则△＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．
解得：k＝﹣．
所以k的值为﹣2或﹣．
故答案为：﹣2或﹣．
13．解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：﹣3．
14．解：y2﹣6y+10＝y2﹣6y+32+1＝（y﹣3）2+1≥1，
则代数式y2﹣6y+10的最小值是1．
故答案为：1．
15．解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜6且k≠2．
故答案为：k＜6且k≠2．
16．解：∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4c＝0，
∴c＝，
∴原方程可表示为：x2+bx+＝0，
∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，
∴m2+bm+＝（m+2）2+b（m+2）+，
∴b＝﹣2m﹣2，
∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x+，
当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）m+＝m2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，
故答案为：1．
17．解：∵方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根，
∴b2﹣4ac＝k2﹣4（k2﹣3k+）＝﹣2k2+12k﹣18＝﹣2（k﹣3）2≥0，
∴k＝3，
代入方程得：x2+3x+＝（x+）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣，
∴＝﹣，
故答案为：﹣．
18．解：∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是6，底边是2，
周长为：6+6+2＝14，
故答案为：14．
19．解：∵m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，
∴m2﹣m＝5，
m﹣1﹣＝0，
故m﹣＝1，
则（m2﹣m）（m﹣+1）
＝5×2
＝10．
故答案为：10．
20．解：∵设m，n为方程x2+4x+2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣4，mn＝2，m2+4m+2＝0，
∴m2＝﹣（4m+2），
∴m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
m3+14n+50＝﹣m（4m+2）+14n+50＝14m+8+14n+50＝14（m+n）+58＝14×（﹣4）+50＝2．
故答案是：10；2．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x2﹣7x+1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
22．解：（1）原式＝x2+2xy+y2+y2﹣4y+4＝（x+y）2+（y﹣2）2＝0，
∴x+y＝0，y﹣2＝0，
即x＝﹣2，y＝2．
∴xy＝﹣4．
（2）由a2+b2＝10a+8b﹣41得a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
即（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝5，b＝4．
由a﹣b＜c＜a+b得1＜c＜9，c为整数．
∴c可能为2、3、4、5、6、7、8．
∵c是最长边，
∴c可能为6，7，8．
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣1﹣2x+3＝（x﹣1）2+1．
∵（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
23．解：（1）∵△＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∵，
∴x1+x2＝6，
∵x1+x2＝4m，
∴4m＝6，
∴，
∴，
∴x1＝6，x2＝0．
24．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
25．解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
可得若降价a元，则平均每天可多售出2a件，
即平均每天销售数量为（30+2a）（件），
∵50﹣a≥32，
解得：a≤18．
∴0＜a≤18；
（2）由题意得：（50﹣a）（30+2a）＝2100，
整理得：a2﹣35a+300＝0，
∴（a﹣20）（a﹣15）＝0．
∴a1＝20，a2＝15．
∵每件盈利不少于32元，即50﹣20＝30＜32，
∴a2＝20，舍去，
∴a＝15．
26．解：（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图，

则∠EAN＝∠AEN＝45°，
∴AN＝EN，
∵MN＝AB，EM＝CD，
∴EN＝EM﹣MN＝DC﹣AB＝10﹣4＝6（m），
∴AN＝6（m），
∴S五边形ABCDE＝S梯形ABME+S矩形EMCD＝×（4+10）×6+2×10＝62（m2）；
（2）设BG＝xm，则FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，
根据题意得，（4+x）（8﹣x）＝35，
解得：x1＝1，x2＝3，
答：BG的长为1m或3m；
（3）设BG＝ym，且0＜BG＜6，
由题意得，200（4+y）（8﹣y）+100[62﹣（4+y）（8﹣y）]＝7300，
化简，得，y2﹣4y﹣21＝0，
解得：y1＝7，y2＝﹣3均不符合题意，
∴投资7300元不能完成地面铺设，