2020-2021学年河南省新乡市高二（上）10月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省新乡市高二（上）10月月考数学（理）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数fx=x在区间0,1上的平均变化率为( )
A.−1B.1C.2D.−2

2. 已知a→=(2, −3, 1)，则下列向量中与a→平行的是（ ）
A.(1, 1, 1)B.(−2, −3, 5)C.(2, −3, 5)D.(−4, 6, −2)

3. 下列求导运算正确的是( )
A.sinx′=−csxB.−ex′=exC.ln1x′=−1xD.2x′=2x

4. 在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=3b，则角A等于( )
A.π12B.π6C.π4D.π3

5. 已知a>0，则a+4−aa的最小值为（ ）
A.2B.3C.4D.5

6. 过点−2,1，且与曲线fx=lnx+x在点(1,f(1))处的切线平行的直线方程为（ ）
A.2x+y+3=0B.2x−y+5=0C.2x−y−1=0D.2x+y−2=0

7. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d=( )
A.1B.53C.2D.3

8. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠BAC=90∘，AB=AC=AA1=1，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为（ ）
A.32B.66C.0D.23

9. 若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和右焦点，P为椭圆上任意一点，则OP→⋅FP→的最小值为（ ）
A.14B.13C.12D.23

10. 已知等比数列{an}的公比q>0且q≠1，其前n项和为Sn，则S2a3与S3a2的大小关系为( )
A.S2a3>S3a2B.S2a3
11. 已知P是双曲线x216a2−y29a2=1(a>0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，且PF1→⋅PF2→=0，若△PF1F2的面积为9，则a等于（ ）
A.2B.1C.3D.4

12. 如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点是F(c,0)，点P在椭圆C上，线段PF与圆(x−c3)2+y2=b29相切于点Q，且PQ→=2QF→，则椭圆C的离心率等于（ ）

A.53B.23C.22D.12
二、填空题

斜率为43的直线l经过抛物线y2=2pxp>0的焦点F1,0且与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为________.
三、解答题

在等差数列{an}中，a1=1，a3=−3．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk=−35，求k的值．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b)2=c2+3ab．
(1)求C的值；

(2)若△ABC的面积为332，c=7，求a，b的值．

在四棱锥V−ABCD中，底面ABCD为菱形，VA=VB=AB=BD=2，平面VAB⊥平面ABCD．

(1)求四棱锥V−ABCD的体积；

(2)求二面角C−VB−D的余弦值．

已知函数fx=lnx+a2−ax.
(1)当a=2时，求曲线y=fx过原点的切线方程；

(2)若曲线y=fx存在斜率为6的切线，求实数a的取值范围．

如图所示，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB // DC，AA1=1，AB=3，AD=4，BC=5，DC=6．

(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；

(2)求直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值．

已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)，焦距为22．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若一直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是椭圆的顶点），以AB为直径的圆过椭圆C的上顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市高二（上）10月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】

【解答】
解：f(1)−f(0)1−0=1−01=1 .
故选B .
2.
【答案】
D
【考点】
平行向量的性质
【解析】
利用向量共线定理即可得出．
【解答】
解：选项D，b→=(−4, 6, −2)，存在唯一实数−2，使得b→=−2a→，故符合题意，其它选项均不符合.
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
利用对数的运算求解即可.
【解答】
解：A，sinx′=csx，故A错误；
B，−ex′=−ex′=−ex，故B错误；
C，ln1x′=−lnx′=−lnx′=−1x，故C正确；
D，2x′=2xln2，故D错误.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，2asinB=3b，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB=2R，
得：2sinAsinB=3sinB，且sinB≠0，
∴ sinA=32，
又△ABC为锐角三角形，
∴ A=π3．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由a+4−aa=a+4a−1，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：已知a>0，
则a+4−aa=a+4a−1≥2a⋅4a−1=3，
当且仅当a=4a，即a=2时取等号，此时取得最小值3．
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
暂无
【解答】
解：f′(x)=1x+1，f′(1)=2，
所求直线方程为y−1=2(x+2)，
整理为2x−y+5=0.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．
【解答】
解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得
3a1+3×22d=6,a1+2d=4,解得a1=0,d=2.
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
如图所示，把直三棱柱ABC−A1B1C1，补为正方体ABDC−A1B1D1C1．利用正方体的性质即可得出．
【解答】
解：如图所示，把直三棱柱ABC−A1B1C1，补为正方体ABDC−A1B1D1C1．
连接AB1，则AB1⊥A1B.
由正方体的性质可得：AC⊥平面ABB1A1，
∵ BA1⊂平面ABB1A1，∴ AC⊥BA1.
∵ AB1⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，
∴ BA1⊥平面AB1C.
∵ B1C⊂平面AB1C，
∴ BA1⊥B1C，
∴ 异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为0．
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设P(x, y)，F(1, 0)，
∴ OP→=(x, y)，FP→=(x−1, y)，
∴ OP→⋅FP→=x(x−1)+y2=x2−x+1−x22=x22−x+1≥12，
OP→⋅FP→的最小值为12．
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
作差，能判断S2a3与S3a2的大小关系．
【解答】
解：S3a2−S2a3=a1(1+q+q2)⋅a1q−a1(1+q)⋅a1q2=a12q>0．
∴ S2a3故选B.
11.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．设|PF1|＝m，|PF2|＝n．根据双曲线的性质和三角形的面积公式列出方程组，借助于方程求得答案．
【解答】
解：由PF1→⋅PF2→=0得PF1→⊥PF2→，设|PF1→|=m，|PF2→|=n，不妨设m>n，
则m−n=8a,m2+n2=100a2,12mn=9,
解得a=1．
故选B.
12.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
直线与圆的位置关系
【解析】
设椭圆的左焦点为F1，确定PF1⊥PF，，|PF1|=b，|PF|=2a−b，即可求得椭圆的离心率．
【解答】
解：设椭圆的左焦点为F1，设圆心为C，连接PF1，CQ.
∵ (x−c3)2+y2=b29，
∴ 圆心坐标为(c3，0)，半径为r=b3，
∴ |F1F|=2c，|FC|=|OF|−|OC|=c−c3=2c3，
∴ |F1F|=3|CF|.
∵ PQ→=2QF→，
∴ |PF|=3|QF|，
∴ PF1 // QC，|PF1|=b，
∴ |PF|=2a−b.
∵ 线段PF与圆(x−c3)2+y2=b29相切于点Q，
∴ CQ⊥PF，
∴ PF1⊥PF，
∴ b2+(2a−b)2=4c2，
∴ b2+(2a−b)2=4(a2−b2)，
∴ a=32b，
∴ c=a2−b2=52b，
∴ e=ca=53.
故选A．
二、填空题
【答案】
254
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
圆锥曲线的综合问题
【解析】

【解答】
解：直线l的方程为y=43x−1，p=2．
联立y=43(x−1),y2=4x,
消去y有4x2−17x+4=0，x1+x2=174，
|AB|=x1+x2+2=2+174=254 .
故答案为：254.
三、解答题
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an=a1+(n−1)d.
由a1=1，a3=−3，
可得1+2d=−3，
解得d=−2，
故an=1+(n−1)×(−2)=3−2n；
(2)由(1)可知an=3−2n，
所以Sn=n[1+(3−2n)]2=2n−n2，
进而由Sk=−35，可得2k−k2=−35，
即k2−2k−35=0，解得k=7或k=−5，
又k∈N+，故k=7为所求．
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于−3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（2）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于−35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．
【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an=a1+(n−1)d.
由a1=1，a3=−3，
可得1+2d=−3，
解得d=−2，
故an=1+(n−1)×(−2)=3−2n；
(2)由(1)可知an=3−2n，
所以Sn=n[1+(3−2n)]2=2n−n2，
进而由Sk=−35，可得2k−k2=−35，
即k2−2k−35=0，解得k=7或k=−5，
又k∈N+，故k=7为所求．
【答案】
解：(1)由题意有：(a+b)2=c2+3ab，
可化为a2+b2−c2=ab，
有csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又因为是三角形内角，
故C=π3．
(2)由题意有：12ab×32=332,a2+b2−ab=7,
解得a=2,b=3, 或a=3,b=2.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）已知条件变形结合余弦定理即可求解；
（2）根据已知条件列出方程组求解即可
【解答】
解：(1)由题意有：(a+b)2=c2+3ab，
可化为a2+b2−c2=ab，
有csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又因为是三角形内角，
故C=π3．
(2)由题意有：12ab×32=332,a2+b2−ab=7,
解得a=2,b=3, 或a=3,b=2.
【答案】
解：(1)取AB的中点O，连结OV，OD，如图，
则VO⊥AB，OD⊥AB，OV=OD=3，
∵ 平面VAB⊥平面ABCD，VO⊥AB，平面VAB∩平面ABCD=AB，
∴ VO⊥平面ABCD，
∵ VV−ABCD=13×3×23=2．
(2)由(1)可知直线OA，OD，OV两两垂直，建立空间直角坐标系O−xyz如图所示，
则A点的坐标为1,0,0，B点的坐标为−1,0,0，V点的坐标为(0,0,3)，D点的坐标为0,3,0，
∴ DB→=−1,−3,0，BV→=(1,0,3)，BC→=AD→=−1,3,0.
设平面VBC的法向量为m→=x,y,z，
∴ m→⋅BV→=0，m→⋅BC→=0，⇒x+3z=0，−x+3y=0，令x=3，解得y=1，z=−1．
∴ 平面VBC的一个法向量为m→=3,1,−1，
同理得平面VBD的一个法向量为n→=3,−1,−1，
∴ cs⟨m→，n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=35，
即二面角C−VB−D的余弦值为35 .
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)取AB的中点O，连结OV，OD，如图，
则VO⊥AB，OD⊥AB，OV=OD=3，
∵ 平面VAB⊥平面ABCD，VO⊥AB，平面VAB∩平面ABCD=AB，
∴ VO⊥平面ABCD，
∵ VV−ABCD=13×3×23=2．
(2)由(1)可知直线OA，OD，OV两两垂直，建立空间直角坐标系O−xyz如图所示，
则A点的坐标为1,0,0，B点的坐标为−1,0,0，V点的坐标为(0,0,3)，D点的坐标为0,3,0，
∴ DB→=−1,−3,0，BV→=(1,0,3)，BC→=AD→=−1,3,0.
设平面VBC的法向量为m→=x,y,z，
∴ m→⋅BV→=0，m→⋅BC→=0，⇒x+3z=0，−x+3y=0，令x=3，解得y=1，z=−1．
∴ 平面VBC的一个法向量为m→=3,1,−1，
同理得平面VBD的一个法向量为n→=3,−1,−1，
∴ cs⟨m→，n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=35，
即二面角C−VB−D的余弦值为35 .
【答案】
解：(1)当a=2时，fx=lnx+2x，f′x=1x+2，
设曲线y=fx过原点的切线方程的切点坐标为m,lnm+2m，
所求切线方程为y−lnm−2m=1m+2x−m，
代人点0,0的坐标可得−lnm−2m=1m+2−m，解得m=e．
故所求切线方程为y−lne−2e=1e+2x−e，整理为y=2e+1ex．
(2)由题意有函数fx的定义域为0,+∞，f′x=1x+a2−a，
若fx存在斜率为6的切线，必有存在x∈(0,+∞)，使得1x+a2−a=6，
有1x=−a2+a+6，有−a2+a+6>0，
解得−2故若fx存在斜率为6的切线，则实数a的取值范围为−2,3 .
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=2时，fx=lnx+2x，f′x=1x+2，
设曲线y=fx过原点的切线方程的切点坐标为m,lnm+2m，
所求切线方程为y−lnm−2m=1m+2x−m，
代人点0,0的坐标可得−lnm−2m=1m+2−m，解得m=e．
故所求切线方程为y−lne−2e=1e+2x−e，整理为y=2e+1ex．
(2)由题意有函数fx的定义域为0,+∞，f′x=1x+a2−a，
若fx存在斜率为6的切线，必有存在x∈(0,+∞)，使得1x+a2−a=6，
有1x=−a2+a+6，有−a2+a+6>0，
解得−2故若fx存在斜率为6的切线，则实数a的取值范围为−2,3 .
【答案】
(1)证明：取CD的中点E，连接BE．
∵ AB // DE，AB=DE=3，
∴ 四边形ABED为平行四边形，
∴ BE // AD且BE=AD=4．
在△BCE中，∵ BE=4，CE=3，BC=5，
∴ BE2+CE2=BC2，∴ ∠BEC=90∘，即BE⊥CD.
又∵ BE // AD，∴ CD⊥AD．
∵ AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴ AA1⊥CD．
又AA1∩AD=A，
∴ CD⊥平面ADD1A1．
(2)解：以D为原点，DA→，DC→，DD1→的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4, 0, 0)，C(0, 6, 0)，B1(4, 3, 1)，A1(4, 0, 1)，
所以AC→=(−4,6,0)，AB1→=(0,3,1)，AA1→=(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量n→=(x,y,z)，
则AC→⋅n→=−4x+6y=0，AB1→⋅n→=3y+z=0，
取y=2，得n→=(3,2,−6)．
设AA1与平面AB1C所成角为θ，
则直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为：
sinθ=|cs⟨AA1→,n→⟩|=n→⋅AA1→|n→||AA1→|=636+13=67．
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
直线与平面垂直的判定
【解析】
（1）取CD的中点E，连结BE，推导出四边形ABED为平行四边形，BE⊥CD，CD⊥AD．AA1⊥CD．由此能证明CD⊥平面ADD1A1．
（2）以D为原点，DA→，DC→，DD1→的方向为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值．
【解答】
(1)证明：取CD的中点E，连接BE．
∵ AB // DE，AB=DE=3，
∴ 四边形ABED为平行四边形，
∴ BE // AD且BE=AD=4．
在△BCE中，∵ BE=4，CE=3，BC=5，
∴ BE2+CE2=BC2，∴ ∠BEC=90∘，即BE⊥CD.
又∵ BE // AD，∴ CD⊥AD．
∵ AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴ AA1⊥CD．
又AA1∩AD=A，
∴ CD⊥平面ADD1A1．
(2)解：以D为原点，DA→，DC→，DD1→的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4, 0, 0)，C(0, 6, 0)，B1(4, 3, 1)，A1(4, 0, 1)，
所以AC→=(−4,6,0)，AB1→=(0,3,1)，AA1→=(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量n→=(x,y,z)，
则AC→⋅n→=−4x+6y=0，AB1→⋅n→=3y+z=0，
取y=2，得n→=(3,2,−6)．
设AA1与平面AB1C所成角为θ，
则直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为：
sinθ=|cs⟨AA1→,n→⟩|=n→⋅AA1→|n→||AA1→|=636+13=67．
【答案】
解：(1)设椭圆C的焦距为2c，有2c=22，
得c=2，有a2−1=2，得a=3，
故椭圆C的标准方程为x23+y2=1.
(2)由方程组y=kx+m,x23+y2=1, 得x23+(kx+m)2=1，
即(13+k2)x2+2kmx+m2−1=0．
Δ=4k2m2−4(13+k2)(m2−1)=4(k2−13m2+13)>0，
即3k2−m2+1>0，
设A，B两点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则x1+x2=−6km1+3k2，x1x2=3(m2−1)1+3k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+3k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=3k2(m2−1)1+3k2−6k2m21+3k2+m2
=m2−3k21+3k2．
∵ 以AB为直径的圆过椭圆的上顶点Q(0, 1)，
∴ AQ⊥BQ，
∴ x1x2+(y1−1)(y2−1)=0，
即x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=0，
∴ 3(m2−1)1+3k2+m2−3k21+3k2−2m1+3k2+1=0，
化简得2m2−m−1=0，
∴ m=1或m=−12，
当m=1时，直线l：y=kx+1过定点Q(0, 1)，与已知矛盾，
当m=−12时，满足3k2−m2+1>0，
此时直线l为y=kx−12过定点(0,−12)，
∴ 直线l过定点(0,−12)．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
直线与椭圆的位置关系
椭圆的标准方程
【解析】

【解答】
解：(1)设椭圆C的焦距为2c，有2c=22，
得c=2，有a2−1=2，得a=3，
故椭圆C的标准方程为x23+y2=1.
(2)由方程组y=kx+m,x23+y2=1, 得x23+(kx+m)2=1，
即(13+k2)x2+2kmx+m2−1=0．
Δ=4k2m2−4(13+k2)(m2−1)=4(k2−13m2+13)>0，
即3k2−m2+1>0，
设A，B两点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则x1+x2=−6km1+3k2，x1x2=3(m2−1)1+3k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+3k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=3k2(m2−1)1+3k2−6k2m21+3k2+m2
=m2−3k21+3k2．
∵ 以AB为直径的圆过椭圆的上顶点Q(0, 1)，
∴ AQ⊥BQ，
∴ x1x2+(y1−1)(y2−1)=0，
即x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=0，
∴ 3(m2−1)1+3k2+m2−3k21+3k2−2m1+3k2+1=0，
化简得2m2−m−1=0，
∴ m=1或m=−12，
当m=1时，直线l：y=kx+1过定点Q(0, 1)，与已知矛盾，
当m=−12时，满足3k2−m2+1>0，
此时直线l为y=kx−12过定点(0,−12)，
∴ 直线l过定点(0,−12)．