2020-2021学年河南省新乡市某校高二（下）3月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年河南省新乡市某校高二（下）3月月考数学（理）试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知全集U=0,1,2,3,4,5，集合A=1,3,5，B=0,1,2，则∁UA∩B=( )
A.0,1B.0,2C.1,2D.2

2. 若命题p:∃x0∈N，2x0≤1，则¬p是( )
A.∀x∈N，2x>1B.∀x∈N，2x>0
C.∃x0∈N，2x0>1D.∃x0∈N，2x0>0

3. 函数y=1−lg21−x的定义域为( )
A.−1,0B.0,1C.0,2D.[−1,1）

4. “b≥2a>0”是“函数f(x)=ax2+2bx+1(a≠0)在(−2，+∞)上是增函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5. 函数fx=x32x+2−x的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.

6. 设a=30.3，b=lg0.30.5，c=50.2，则( )
A.a
7. 已知函数fx是幂函数，且f2=2，gx=f2x−4fx−1，则gx取得最小值时( )
A.x=1B.x=2C.x=4D.x=5

8. 函数f(x)=ax+lga(x+1)在[0, 1]上的最大值和最小值之和为a，则实数a的值为( )
A.4B.14C.2D.12

9. 定义在R上的奇函数fx满足f2=0，且fx在0,+∞上单调递减，则f−52，f133，f0的大小关系为( )
A.f0>f133>f−52B.f133>f0>f−52
C.f−52>f0>f133D.f0>f−52>f133

10. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算"※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※ n=m+n ．当m，n不全为正奇数时，m※ n=mn，则在此定义下，集合M={a,b|a※b=16，a∈N*，b∈N*）的真子集的个数是（ ）
A.27−1B.211−1C.213−1D.214−1

11. 已知a>0且a≠12．设命题P：函数fx=lg2ax+1满足当x>0时，fx<0；命题Q：函数fx=x2−2ax+14a有两个不同的零点．若“P∧¬Q”是假命题，“P∨¬Q”是真命题．则实数a的取值范围是( )
A.0,14B.0,12C.14,12D.14,12

12. 已知函数fx=x+1x,x<0,lnx,x>0,则方程ffx+3=0的解的个数为( )
A.3B.4C.5D.6
二、填空题

若函数fx=lg3x+a的图象过点2,2，则a=________．
三、解答题

已知集合A=x|x2−2ax+a2−1<0，B=x|x2+x>0．
(1)若A∩(∁RB)=[−1,a+1)，求实数a的取值范围；

(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天1≤x≤20,x∈N*的销售价格p=50−|x−6|（元／百斤），第x天1≤x≤20,x∈N*的销售量q=a+|x−8|（百斤）（a为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．
(1)求第10天销售该商品的销售收入是多少？

(2)这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？

定义在R上的连续函数fx，gx满足对任意x，y∈R，fx+y=fxgy+fygx，gx+y=fxfy+gxgy，g2x=2gx2−1．
(1)证明：gx>fx；

(2)请判断fx，gx的奇偶性；

(3)若对于任意x∈R，不等式g2x≥mgx−6恒成立，求出m的最大值．

已知直线l的参数方程为x=t−m,y=t（t为参数），圆C的参数方程为x=1+2csθ,y=2sinθ（θ为参数）．
(1)若直线l与圆C相切，求实数m的值；

(2)当m=1时，求直线l截圆C所得的线段长．

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程：x=2+2csα,y=2sinα(0≤α≤π)与曲线C2的极坐标方程：ρ=8sinθ．
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)曲线C1和C2是否有两个公共点？若有，求出经过这两个公共点的直线的极坐标方程；若没有，请说明理由．

在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：x=2+tcsα,y=3+tsinα,（t为参数）与曲线C：x=2csθ,y=sinθ, （θ为参数）相交于不同的两点A，B．
(1)若α=π3，求线段AB中点M的坐标；

(2)若|PA|⋅|PB|=|OP|2，其中P2,3，求直线l的斜率．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市某校高二（下）3月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
补集及其运算
交集及其运算
【解析】
根据题意先求出∁UA=0,2,4 ，再利用交集定义即可求解．
【解答】
解：全集U=0,1,2,3,4,5 ，集合A=1,3,5，B=0,1,2，
则∁U={0,2,4} ，故∁UA∩B=0,2．
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】
解：命题p:∃x0∈N，2x0≤1，
则命题p的否定是∀x∈N，2x>1．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】

【解答】
解：由题得1−lg2(1−x)≥0，
即lg2(1−x)≤1，
即0<1−x≤2，
解得−1≤x<1．
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=a(x2+2bax)+1=a(x+ba)2+1−b2a，
当a>0时，f(x)的单调增区间为(−ba，+∞)；
当a<0时，f(x)的单调增区间为(−∞，−ba).
∵ f(x)在（−2，+∞）上是增函数，
∴ a>0，−ba≤−2，∴ b≥2a>0.
反之，∵ b≥2a>0，∴ ba≥2，−ba≤−2，
∴ f(x)在(−2,+∞)上是增函数.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
函数的图象与图象变化
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x=1时，f(1)=1321+2−1>0，
故选项A,D错误；
当x趋近于+∞时，f(x)趋近于0，故选项C错误.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用对数函数的单调性将b与零进行比较，再利用幂函数或指数函数的单调性将a、c与0进行比较即可．
【解答】
解：a10=33=27，
c10=52=25∴ 1∵ b<，
∴ b故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
无
【解答】
解：由题意，f(x)=x，
∴ g(x)=f2(x)−4f(x−1)
=x−4x−1
=x−1−4x−1+4−3
=(x−1−2)2−3，
∴ 当x−1=2，即x=5时，gx有最小值−3．
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
指数函数单调性的应用
【解析】
结合函数y=ax与y=lgax的单调性可知f(x)=ax+lgax在[0, 1]单调，从而可得函数在[0, 1]上的最值分别为f(0)，f(1)，代入可求a
【解答】
解：∵ y=ax与y=lga(x+1)具有相同的单调性．
∴ f(x)=ax+lga(x+1)在[0, 1]上单调，
∴ f(0)+f(1)=a，即a0+lga1+a1+lga2=a，
化简得1+lga2=0，解得a=12.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】

【解答】
解：∵ fx为R上的奇函数，且在0,+∞上单调递减，
∴ f0=0.
∵ f−52=−f52且f2=0，
∴ f−52>0，f133<0，
∴ f−52>f0>f133．
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
子集与真子集的个数问题
元素与集合关系的判断
【解析】

【解答】
解：由题意，当m，n都是正奇数时， m※n=m+n，
当m，n不全为正奇数时，m※n=mn.
若a，b都是正奇数，则由a※b=16，可得a+b=16，
此时符合条件的数对为（1,15） (3,13),...(15,1)满足条件的共8个；
若a,b不全为正奇数时， 由 a※b=16，可得ab=16，
则符合条件的数对分别为1,16， 2,8， 4,4， 8,2 ，16,1共5个.
故集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N*,b∈N*}中的元素个数是13，
所以集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N*,b∈N*}的真子集的个数是213−1.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
命题的真假判断与应用
一元二次方程的根的分布与系数的关系
对数函数的值域与最值
【解析】

【解答】
解：对于命题P，因为函数fx=lg2ax+1满足当x>0时，fx<0，
所以可知0<2a<1，
解得0对于命题Q，因为函数fx=x2−2ax+14a有两个不同的零点，
所以有Δ=4a2−a>0，
解得a<0（舍去）或a>14，
所以¬Q：0因为“P∧¬Q”是假命题，“P∨¬Q”是真命题，
所以共有两种情况：P真¬Q假或P假¬Q真．
若P真¬Q假，则有014且a≠12,
解得14若P假¬Q真，则有a>12,0此时无解．
综上可知，14故选C．
12.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
【解析】
无
【解答】
解：由fx=−3，
当x>0时，lnx=−3，解得x=1e3，
当x<0时，x+1x=−3，解得x=−3±52.
ffx+3=0，即fx=1e3或fx=−3±52．
由fx=1e3，可得lnx=1e3，此方程只有一个根；
又x<0时，fx=x+1x≤−2，
故fx=−3+52仅在x>0时有一个根，fx=−3−52在x<0时有两个根，在x>0时有一个根．
综上，方程ffx+3=0有5个根．
故选C．
二、填空题
【答案】
7
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
无
【解答】
解：由题意f2=lg32+a=2，
所以2+a=9，a=7．
故答案为：7．
三、解答题
【答案】
解：(1)A=x|a−10或x<−1}，
∁RB=x|−1≤x≤0.
∵ A∩(∁RB)=[−1,a+1)，
∴ a−1<−1∴ −2(2)∵ “x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，∴ A⫋B，
∴ a+1≤−1或a−1≥0，
∴ a≤−2或a≥1，即a的取值范围是−∞,−2∪1,+∞．
【考点】
交、并、补集的混合运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)A=x|a−10或x<−1}，
∁RB=x|−1≤x≤0.
∵ A∩(∁RB)=[−1,a+1)，
∴ a−1<−1∴ −2(2)∵ “x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，∴ A⫋B，
∴ a+1≤−1或a−1≥0，
∴ a≤−2或a≥1，即a的取值范围是−∞,−2∪1,+∞．
【答案】
解：(1)由已知得第7天的销售价格p=49，
销售量q=a+1，
∴ 第7天的销售收入W7=49×a+1=2009（元）
解得a=40，
∴ 销售量q=40+|x−8|，
∴ 第10天的销售收入W10=46×42=1932（元）．
(2)设第x天的销售收入为Wx，
则Wx=(44+x)(48−x),1≤x≤6,2009,x=7,(56−x)(32+x),8≤x≤20.
当1≤x≤6时，Wx=44+x48−x
=44×48+4x−x2
=44×48+4−x−22
=2116−x−22，
∴ 当x=2时取最大值W2=2116.
当8≤x≤20时，Wx=56−x32+x
=56×32+24x−x2
=1936−x−122，
∴ 当x=12时取最大值W12=1936.
由于W2>W7>W12，
∴ 第2天该商品的销售收入最大，最大为2116元.
【考点】
函数模型的选择与应用
二次函数在闭区间上的最值
分段函数的应用
【解析】
（1）根据第7天的销售收入求得α，再代入销售量q中求第10天的销售收入；
（2）由（1）求出的a值，分1≤x≤6和8≤x≤20两个范围分别求出销售收入关于第x天的函数，再分别求出其函数的最大
值，再比较每一段间最大值的大小，得解．
【解答】
解：(1)由已知得第7天的销售价格p=49，
销售量q=a+1，
∴ 第7天的销售收入W7=49×a+1=2009（元）
解得a=40，
∴ 销售量q=40+|x−8|，
∴ 第10天的销售收入W10=46×42=1932（元）．
(2)设第x天的销售收入为Wx，
则Wx=(44+x)(48−x),1≤x≤6,2009,x=7,(56−x)(32+x),8≤x≤20.
当1≤x≤6时，Wx=44+x48−x
=44×48+4x−x2
=44×48+4−x−22
=2116−x−22，
∴ 当x=2时取最大值W2=2116.
当8≤x≤20时，Wx=56−x32+x
=56×32+24x−x2
=1936−x−122，
∴ 当x=12时取最大值W12=1936.
由于W2>W7>W12，
∴ 第2天该商品的销售收入最大，最大为2116元.
【答案】
(1)证明：令y=x，
可得f2x=2fxg(x)，g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2≥0，
所以g(x)≥0，g(2x)=2[g(x)]2−1=[f(x)]2+[g(x)]2，
所以[g(x)]2=[f(x)]2+1，
所以gx>fx，g(x)≥1．
(2)解：因为g(0)=2[g(0)]2−1，所以g0=1或g0=−12（舍去）．
令x=y=0，可以得到f0=2f0g0=2f0，所以f0=0.
令y=−x，可以得到0=f(0)=f(x)g(−x)+f(−x)g(x)，g(0)=1=f(x)f(−x)+g(x)g(−x)，
上面两式相加可得：[fx+gx][f(−x)+g(−x)]=1=[g(x)]2−[f(x)]2 ．
所以g(x)−f(x)=f(−x)+g(−x)，g(−x)−f(−x)=f(x)+g(x)，
上面两式相加得g−x=gx，相减得f−x=−f(x)，
所以fx为奇函数，gx为偶函数．
(3)解：因为g(2x)=2[g(x)]2−1≥mg(x)−6，
所以m<2[g(x)]2+5g(x)=2g(x)+5g(x)
=2[g(x)+52g(x)](g(x)≥1)，
所以m≤210，即m的最大值为210．
【考点】
抽象函数及其应用
函数奇偶性的判断
函数的最值及其几何意义
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：令y=x，
可得f2x=2fxg(x)，g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2≥0，
所以g(x)≥0，g(2x)=2[g(x)]2−1=[f(x)]2+[g(x)]2，
所以[g(x)]2=[f(x)]2+1，
所以gx>fx，g(x)≥1．
(2)解：因为g(0)=2[g(0)]2−1，所以g0=1或g0=−12（舍去）．
令x=y=0，可以得到f0=2f0g0=2f0，所以f0=0.
令y=−x，可以得到0=f(0)=f(x)g(−x)+f(−x)g(x)，g(0)=1=f(x)f(−x)+g(x)g(−x)，
上面两式相加可得：[fx+gx][f(−x)+g(−x)]=1=[g(x)]2−[f(x)]2 ．
所以g(x)−f(x)=f(−x)+g(−x)，g(−x)−f(−x)=f(x)+g(x)，
上面两式相加得g−x=gx，相减得f−x=−f(x)，
所以fx为奇函数，gx为偶函数．
(3)解：因为g(2x)=2[g(x)]2−1≥mg(x)−6，
所以m<2[g(x)]2+5g(x)=2g(x)+5g(x)
=2[g(x)+52g(x)](g(x)≥1)，
所以m≤210，即m的最大值为210．
【答案】
解：(1)由x=t−m,y=t,
得直线l的普通方程为x−y+m=0，
由x=1+2csθ,y=2sinθ,
得圆C的普通方程为x−12+y2=4，圆心1,0，
因为直线与圆相切，
故|1−0+m|2=2，
解得m=22−1或m=−22−1．
(2)当m=1时，直线l的普通方程为x−y+1=0，
圆心1,0到l：x−y+1=0的距离为|1−0+1|2=2．
则直线l截圆C所得的线段长为222−22=22．
【考点】
圆的参数方程
直线的参数方程
点到直线的距离公式
【解析】


【解答】
解：(1)由x=t−m,y=t,
得直线l的普通方程为x−y+m=0，
由x=1+2csθ,y=2sinθ,
得圆C的普通方程为x−12+y2=4，圆心1,0，
因为直线与圆相切，
故|1−0+m|2=2，
解得m=22−1或m=−22−1．
(2)当m=1时，直线l的普通方程为x−y+1=0，
圆心1,0到l：x−y+1=0的距离为|1−0+1|2=2．
则直线l截圆C所得的线段长为222−22=22．
【答案】
解：(1)因为曲线C1：x=2+2csα,y=2sinα,（0≤α≤π）与曲线C2：ρ=8sinθ，
所以C1的普通方程为x−22+y2=4y≥0，C2的直角坐标方程为x2+y2−8y=0．
(2)因为C1：x2+y2=4x，代入C2得x=2y，
所以4y2+y2−8y=0，
所以y=0或y=85，
所以C1，C2有两个公共点0,0，165,85，
经过这两点的直线方程为y=12x，其极坐标方程为tanθ=12ρ∈R．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆与圆的位置关系及其判定
直线的两点式方程
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为曲线C1：x=2+2csα,y=2sinα,（0≤α≤π）与曲线C2：ρ=8sinθ，
所以C1的普通方程为x−22+y2=4y≥0，C2的直角坐标方程为x2+y2−8y=0．
(2)因为C1：x2+y2=4x，代入C2得x=2y，
所以4y2+y2−8y=0，
所以y=0或y=85，
所以C1，C2有两个公共点0,0，165,85，
经过这两点的直线方程为y=12x，其极坐标方程为tanθ=12ρ∈R．
【答案】
解：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是x24+y2=1．
当a=π3时，
设点M对应的参数为t0．
直线l方程为
x=2+12t,y=3+32t,（t为参数），
代入曲线C的普通方程x24+y2=1，
得13t2+56+48=0．
设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2，
则t0=t1+t22=−2813，
所以点M的坐标为1213,−313．
(2)将x=2+tcsa,y=3+tsinα,
代入曲线C的普通方程x24+y2=1，
得(cs2α+4sin2α)t2+(83sinα+4csα)t+12=0，
因为|PA|⋅|PB|=|t1t2|=12cs2α+4sin2α，|OP|2=7，
所以12cs2a+4sin2α=7，
得tan2α=516．
由于Δ=2csa23sinα−csα>0，
故tanα=54．
所以直线l的斜率为54．
【考点】
椭圆的参数方程
直线的参数方程
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】


【解答】
解：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是x24+y2=1．
当a=π3时，
设点M对应的参数为t0．
直线l方程为
x=2+12t,y=3+32t,（t为参数），
代入曲线C的普通方程x24+y2=1，
得13t2+56+48=0．
设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2，
则t0=t1+t22=−2813，
所以点M的坐标为1213,−313．
(2)将x=2+tcsa,y=3+tsinα,
代入曲线C的普通方程x24+y2=1，
得(cs2α+4sin2α)t2+(83sinα+4csα)t+12=0，
因为|PA|⋅|PB|=|t1t2|=12cs2α+4sin2α，|OP|2=7，
所以12cs2a+4sin2α=7，
得tan2α=516．
由于Δ=2csa23sinα−csα>0，
故tanα=54．
所以直线l的斜率为54．