2020-2021学年河南省新乡市高一（下）5月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省新乡市高一（下）5月月考数学（理）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列与2020∘角的终边相同的角是( )
A.200∘B.140∘C.−220∘D.220∘

2. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A.e1→=0,0，e2→=4,1
B.e1→=−1,2，e2→=2,−4
C.e1→=3,5，e2→=−3,−5
D.e1→=2,−3，e2→=2,−34

3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB=2bsinA，则a=( )
A.2B.22C.1D.22

4. 袋中装有质地和大小相同的6个球，其中红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.至少有一个白球；都是白球
B.至少有一个白球；至少有一个红球
C.至少有一个白球；红、黑球各一个
D.至多有一个红球；恰有两个红球

5. 已知向量a→=x,2，b→=1,−1，且a→//b→，则x=（ ）
A.4B.2C.0D.−2

6. 已知某扇形的面积为2.5cm2，若该扇形的半径r，弧长l满足2r+l=7cm，则该扇形圆心角大小的弧度数是( )
A.45B.5C.12D.45或 5

7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π4，a=5，c=10，则满足条件的△ABC的个数为（ ）
A.0B.1C.2D.无数多个

8. 若sinα+π4=2sinα+2csα，则tanα=（ ）
A.−13B.1C.3D.−3

9. 执行如图所示的程序框图，如果输入a的值为−1，则输出S=（ ）

A.2B.−4C.3D.−3

10. 将函数fx=2sin2x−π6的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数y=gx的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.函数gx的图象关于点5π12,0对称
B.函数gx的图象关于直线x=π6对称
C.函数gx在−π3,2π3上单调递增
D.若gx1⋅gx2=−4，则|x1−x2|的最小值为π2

11. 一艘海盗船从C处以20km/ℎ的速度沿着北偏东20∘的方向前进，在C点南偏东40∘距离为20km的B处有一海警船，沿着北偏西10∘的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为（ ）
A.20km/ℎB.40km/ℎC.203km/ℎD.50km/ℎ

12. 已知矩形ABCD中，AD=4，AB=3，H是AD的中点，在矩形ABCD内部随机撒一把1000粒黄豆．则落入区域|PH|<1(P为矩形ABCD内任意一点）内的黄豆数量大约为(π≈3.14且结果保留到个位数）（ ）
A.125B.131C.869D.875
二、填空题

已知△ABC中，AB=2AC=2，A=π4，点D，E分别在边AB，BC上，且AD=DB，BE=2EC，若DE→=xAB→+yAC→x,y∈R，则x+y=________；DE=________．
三、解答题

已知0<α<π2，且sinα=45．
(1)求tanα的值．

(2)求 sinαcsα−sin(π−α)cs(α−3π2)cs2α+π2−sinα+3πcsπ+α的值．

已知向量b→=3,1，c→=−1,1，a→=b→+mc→m∈R，且a→⊥b→．
(1)求m的值．

(2)求a→与c→夹角的余弦值．

一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m.已知水轮按逆时针方向做匀速转动，每6s转一圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点 P0 )开始计算时间.

(1)以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，将点P距离水面的高度ℎ(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)若水轮转动12s，求点P在水中的时长.

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+c2−b2tanB=3ac．
(1)求角B的大小．

(2)设向量m→=sinA,1，n→=3,cs2A，试求m→⋅n→的取值范围．

近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到如下频率分布表．

(1)请先求出频率分布表中空白位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图．

(2)若组委会决定在5名（其中第3组2名，第4组2名，第5组1名）选手中随机抽取2名选手接受A考官的面试，求第4组至少有1名选手被考官A面试的概率．

如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=313km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，csβ=313，AO=15km.

1求大学M到站A的距离AM；

2求铁路AB段的长AB．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市高一（下）5月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
终边相同的角
【解析】
直接由2020∘＝5×360∘+220∘得答案．
【解答】
解：∵ 2020∘=5×360∘+220∘，
∴ 与2020∘终边相同的是220∘．
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
单位向量
向量的共线定理
【解析】
无
【解答】
解：选项A：因为0×1−0×4=0，所以e1→，e2→共线，不能作为基底；
选项B：因为−1×−4−2×2=0，所以e1→，e2→共线，不能作为基底；
选项C：因为3×−5−−3×5=0，所以e1→，e2→共线，不能作为基底；
选项D：因为2×−34−−3×2≠0，所以e1→，e2→不共线，可以作为基底．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：sinB=2bsinA，由正弦定理可得b=2ba，又因为b>0，
则a=22.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
无
【解答】
解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；
在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；
在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；
在D中，至多有一个红球和恰好有两个红球不能同时发生但至少有一个发生，是对立事件，故D不成立．
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用两向量平行的坐标运算得到−1×x=2×1，求解即可.
【解答】
解：向量a→=x,2，b→=1,−1，a→//b→，
则−1×x=2×1，
解得x=−2.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
由已知利用扇形的面积公式可求半径和弧长，利用弧长公式可求扇形圆心角大小的弧度数．
【解答】
解：由题意可得l+2r=7，12lr=2.5，
解得r=52，l=2， 或r=1，l=5，
可得lr=45或5．
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由正弦定理asinA=csinC，
可得sinC=c⋅sinAa=2，
此时角C无解．
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
无
【解答】
解：∵sinα+π4=2sinα+2csα=22sinα+csα，
∴ sinα+3csα=0，
∴ tanα=−3．
故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
无
【解答】
解：初始化数值a=−1，k=1，S=0，循环结果执行如下：
第一次：S=0−1=−1，a=1，k=2；
第二次：S=−1+2=1，a=−1，k=3；
第三次：S=1−3=−2，a=1，k=4；
第四次：S=−2+4=2，a=−1，k=5；
第五次：S=2−5=−3，a=1，k=6；
结束循环，输出S=−3．
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
【解析】
无
【解答】
解：由图象的平移变换可得gx=2sinx−π6,g5π12=2sin5π12−π6=2≠0，
函数gx的图象不关于点5π12,0对称，选项A错；
gπ6=2sinπ6−π6=0≠±2，函数gx的图象不关于直线x=π6对称，选项B错；
令2kπ−π2≤x−π6≤2kπ+π2k∈Z，
解得2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3k∈Z，
函数gx在−π3,2π3上单调递增，选项C正确；
结合gx1gx2=−4得到gx1=−2，gx2=2或gx1=2，gx2=−2，
因而|x1−x2|=2kπ+πk∈Z,k≥0,|x1−x2|的最小值为π，选项D错误．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：如图，设在A处两船相遇，
则由题意得∠ACB=120∘，∠B=30∘，
则△ABC是等腰三角形，
则|AC|=20，AB=203，
所以海盗船需1小时到A处，
则海警船1小时至少航行203km．
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
无
【解答】
解：设落入|PH|≤1的黄豆数量大约为a粒，
则a1000=12×π×124×3，
∴a≈131．
故选B．
二、填空题
【答案】
12,106
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量在几何中的应用
【解析】
无
【解答】
解：因为AD=DB，BE=2EC，
所以DB→=12AB→，BE→=23BC→=23AC→−AB→，
所以DE→=DB→+BE→=12AB→+23AC→−AB→=−16AB→+23AC→．
又DE→=xAB→+yAC→，
所以x+16AB→+y−23AC→=0→.
又因为AB→与AC→不共线，
所以x=−16，y=23，
所以x+y=12，DE→2=−16AB→+23AC→2=236−29×2×1×22+49=518，
所以DE=518=106．
故答案为：12；106．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵sinα=45，
∴csα=±1−sin2α=±1−1625=±35，
∵0≤α<π2，
∴csα>0，
则csα=35，
故tanα=sinαcsα=43．
(2)sinαcsα−sinπ−αcsα−3π2cs2α+π2−sinα+3πcsπ+α
=sinαcsα+sin2αsin2α−sinαcsα
=sinα+csαsinα−csα
=tanα+1tanα−1
=43+143−1
=7．
【考点】
诱导公式
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵sinα=45，
∴csα=±1−sin2α=±1−1625=±35，
∵0≤α<π2，
∴csα>0，
则csα=35，
故tanα=sinαcsα=43．
(2)sinαcsα−sinπ−αcsα−3π2cs2α+π2−sinα+3πcsπ+α
=sinαcsα+sin2αsin2α−sinαcsα
=sinα+csαsinα−csα
=tanα+1tanα−1
=43+143−1
=7．
【答案】
解：(1)a→=b→+mc→=3,1+m−1,1=3−m,1+m，
∵a→⊥b→，
∴a→⋅b→=0，
即33−m+1+m=0，
解得m=5．
(2)设a→与c→夹角为θ，
由(1)得a→=−2,6，
∴csθ=a→⋅c→|a→||c→|=−2×(−1)+6×1−22+62×−12+12=845=255．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)a→=b→+mc→=3,1+m−1,1=3−m,1+m，
∵a→⊥b→，
∴a→⋅b→=0，
即33−m+1+m=0，
解得m=5．
(2)设a→与c→夹角为θ，
由(1)得a→=−2,6，
∴csθ=a→⋅c→|a→||c→|=−2×(−1)+6×1−22+62×−12+12=845=255．
【答案】
解：(1)设ℎ=Asin(ωt+φ)+k(ω>0,−π2<φ<0),
则A=2,k=1,
∴T=6=2πω，
∴ω=π3,
∴ℎ=2sin(π3t+φ)+1.
∵ 当 t=0 时,ℎ=0.
∴0=2sinφ+1,
∴sinφ=−12.
又∵−π2<φ<0,
∴φ=−π6，
∴ℎ=2sin(π3t−π6)+1.
(2)令2sin(π3t−π6)+1≤0，
得sin(π3t−π6)≤−12，
则−56π+2kπ≤π3t−π6≤−π6+2kπ，k∈Z，
即−2+6k≤t≤6k，k∈Z.
水轮转一圈，点P在水中的时长为6k−(6k−2)=2(s).
水轮转12s是两圈，则点P在水中运动时长为4s.
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设ℎ=Asin(ωt+φ)+k(ω>0,−π2<φ<0),
则A=2,k=1,
∴T=6=2πω，
∴ω=π3,
∴ℎ=2sin(π3t+φ)+1.
∵ 当 t=0 时,ℎ=0.
∴0=2sinφ+1,
∴sinφ=−12.
又∵−π2<φ<0,
∴φ=−π6，
∴ℎ=2sin(π3t−π6)+1.
(2)令2sin(π3t−π6)+1≤0，
得sin(π3t−π6)≤−12，
则−56π+2kπ≤π3t−π6≤−π6+2kπ，k∈Z，
即−2+6k≤t≤6k，k∈Z.
水轮转一圈，点P在水中的时长为6k−(6k−2)=2(s).
水轮转12s是两圈，则点P在水中运动时长为4s.
【答案】
解：(1)由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac，
又∵a2+c2−b2tanB=3ac，
即2acsinB=3ac，
∴sinB=32，
又B为锐角，
∴B=π3．
(2)m→⋅n→=sinA,1⋅3,cs2A
=3sinA+cs2A
=3sinA+1−2sin2A
=−2sinA−342+178，
由B=π3，
知锐角△ABC中，A∈0,π2，C=2π3−A∈0,π2，
∴π6∴12∴−18<−2sinA−342≤0，
∴2故m→⋅n→的取值范围是（2,178]．
【考点】
余弦定理
正弦函数的定义域和值域
两角和与差的正弦公式
平面向量数量积的运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac，
又∵a2+c2−b2tanB=3ac，
即2acsinB=3ac，
∴sinB=32，
又B为锐角，
∴B=π3．
(2)m→⋅n→=sinA,1⋅3,cs2A
=3sinA+cs2A
=3sinA+1−2sin2A
=−2sinA−342+178，
由B=π3，
知锐角△ABC中，A∈0,π2，C=2π3−A∈0,π2，
∴π6∴12∴−18<−2sinA−342≤0，
∴2故m→⋅n→的取值范围是（2,178]．
【答案】
解：(1)第1组的频数为100×0.100=10，
所以第2组的频数为100−10+20+20+10=40，
从而第2组的频率为40100=0.400，
因此第3组的频率为1−0.1+0.4+0.2+0.1=0.200 .
频率分布直方图如图所示：
(2)设第3组的2名选手为A1，A2，第4组的2名选手为B1，B2，第5组的1名选手为C1，
则从这5名选手中抽取2名选手的所有情况：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,C1)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,C1)，B1,B2，B1,C1，B2,C1共10种，
其中第4组的2名选手中至少有1名选手被抽中的有A1,B1，A1,B2，
A2,B1，A2,B2，B1,B2，B1,C1，B2,C1，共7种，
所以第4组至少有1名选手被考官A面试的概率为710．
【考点】
频率分布直方图
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)第1组的频数为100×0.100=10，
所以第2组的频数为100−10+20+20+10=40，
从而第2组的频率为40100=0.400，
因此第3组的频率为1−0.1+0.4+0.2+0.1=0.200 .
频率分布直方图如图所示：
(2)设第3组的2名选手为A1，A2，第4组的2名选手为B1，B2，第5组的1名选手为C1，
则从这5名选手中抽取2名选手的所有情况：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,C1)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,C1)，B1,B2，B1,C1，B2,C1共10种，
其中第4组的2名选手中至少有1名选手被抽中的有A1,B1，A1,B2，
A2,B1，A2,B2，B1,B2，B1,C1，B2,C1，共7种，
所以第4组至少有1名选手被考官A面试的概率为710．
【答案】
解：1在△AOM中，AO=15，∠AOM=β，
且csβ=313，OM=313，
由余弦定理可得：
AM2=OA2+OM2−2OA⋅OM⋅cs∠AOM，
=(313)2+152−2×313×15×313=72．
所以可得：AM=62，
大学M到站A的距离AM为62km.
2∵ csβ=313，且β为锐角，∴ sinβ=213，
在△AOM中，由正弦定理可得：AMsinβ=OMsin∠MAO，
即62213=313sin∠MAO，
∴ sin∠MAO=22，
∴ ∠MAO=π4，∴ ∠ABO=α−π4，
∵ tanα=2，∴ sinα=25，csα=15，
∴ sin∠ABO=sin(α−π4)=110，
又∵ ∠AOB=π−α，
∴ sin∠AOB=sin(π−α)=25．
在△AOB中，AO=15，
由正弦定理可得：ABsin∠AOB=AOsin∠ABO，
即AB25=15110，
∴ 解得AB=302，
即铁路AB段的长AB为302km.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）在△AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；
（2）由csβ=313，且β为锐角，可求sinβ，由正弦定理可得sin∠MAO，结合tanα=2，可求sinα，csα，sin∠ABO，sin∠AOB，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值．
【解答】
解：1在△AOM中，AO=15，∠AOM=β，
且csβ=313，OM=313，
由余弦定理可得：
AM2=OA2+OM2−2OA⋅OM⋅cs∠AOM，
=(313)2+152−2×313×15×313=72．
所以可得：AM=62，
大学M到站A的距离AM为62km.
2∵ csβ=313，且β为锐角，∴ sinβ=213，
在△AOM中，由正弦定理可得：AMsinβ=OMsin∠MAO，
即62213=313sin∠MAO，
∴ sin∠MAO=22，
∴ ∠MAO=π4，∴ ∠ABO=α−π4，
∵ tanα=2，∴ sinα=25，csα=15，
∴ sin∠ABO=sin(α−π4)=110，
又∵ ∠AOB=π−α，
∴ sin∠AOB=sin(π−α)=25．
在△AOB中，AO=15，
由正弦定理可得：ABsin∠AOB=AOsin∠ABO，
即AB25=15110，
∴ 解得AB=302，
即铁路AB段的长AB为302km.分组
频数
频率
[160,165)
0.100
[165,170)
[170,175)
20
[175,180)
20
0.200
180,185
10
0.100
合计
100
1.00