2020-2021学年河南省新乡市高二（上）11月月考数学（文）试卷 (1)人教A版

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这是一份2020-2021学年河南省新乡市高二（上）11月月考数学（文）试卷 (1)人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. “x>1”是“1+1x−2<0”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2. 已知复数z满足1−iz=2i，则复数z对应复平面内的点在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 设a>b，0A.ca1bcC.|a|c<|b|cD.alnc
4. 某乡村旅游胜地的民宿的出租率y与民宿租金x（单位：元/日）的回归直线方程为y=−0.0025x+1.025，则下列结论中正确的是（）
A.y与x具有正线性相关关系
B.若该民宿租金为100元/日，则可断定其出租率必为77.5%
C.若该民宿的出租率y增加1%，则其租金约增加1元
D.若该民宿日租金增加100元，则其出租率约减少25%

5. 已知双曲线y2a2−x22=1(a>0)的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的焦点坐标为( )
A.(±2,0)B.(±6,0)C.(0,±2)D.(0,±6)

6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2π3，cb=2，则csC=（）
A.62B.32C.277D.1414

7. 已知函数fx=lnx+x2，则曲线y=fx在点（1,f(1)）处的切线方程为（）
A.y=x+1B.y=−2x+3C.y=3x−2D.y=2x−1

8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5S11=3，则a3a6=( )
A.112B.113C.335D.225

9. 过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.2B.53C.22D.33

10. 函数fx=ln−x2+2x的单调递增区间为（）
A.1,2B.−∞,1C.2,+∞D.0,1

11. 已知抛物线C:x2=12y，直线l过点0,3与抛物线C交于A，B两点，且|AB|=14，则直线l倾斜角α的正弦值为（）
A.24B.4242C.66D.77

12. 设函数f(x)=ex(x−1)，函数g(x)=mx，若对于任意的x1∈[−2, 2]，总存在x2∈[1, 2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数m的取值范围是( )
A.(−∞,−12]B. [−∞,−12)C. [−∞,−12]D.(−∞,−12)
二、填空题

椭圆两焦点为F1−4,0，F24,0，P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆方程为________．
三、解答题

已知在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，∠C=π3，c=3，csB=35.
(1)求sin A的值；

(2)求三角形ABC的面积．

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，F1,F2分别是双曲线的两个焦点，离心率为2，且过点4,−10.
(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3, m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2．

在等差数列an中，a5=4，a3与a8的等差中项为92.
(1)求数列an的通项公式；

(2)令bn=2an−1，求数列bn的前n项和Sn.

已知F1−c,0是椭圆C x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，离心率e=53，c2=a+b.
(1)求椭圆C的方程；

(2)求过点A1,1且被A点平分的弦所在直线的方程．

某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选花苗各50株，对每株花苗进行综合评分（评分的高低反映花苗品质的高低），将每株花苗所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；

(2)记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗．填写下面的2×2列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
附：下面的临界值表仅供参考．
（参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．）

已知函数f(x)=(x2+ax−a)ex，其中a∈R．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1))的切线方程；

(2)求证：若f(x)有极值，则极大值必大于0．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市高二（上）11月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
分式不等式的解法
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】

【解答】
解：由1+1x−2<2解得1故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的混合运算
【解析】
无
【解答】
解：由条件，z=2i1+i1−i1+i=−1+i，故复数z在复平面内对应的点坐标为−1,1．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
不等式的概念与应用
【解析】

【解答】
解：a>b，1故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
回归分析
【解析】
无
【解答】
解：A．根据回归直线方程y=−0.0025x+1.025，可以判断y与x具有负线性相关关系，所以A项错误；
B．若该民宿租金为100元/日，则可断定其出租率约为77.5%，所以B项错误；
C．由于y与x具有负线性相关关系，故要使得出租率增加，则租金应减少，所以C项错误；
D．D项正确．
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．
【解答】
解：由题意得a2=2,
则a=2,
所以双曲线方程为y24−x22=1,
故c=±4+2=±6,
则双曲线的焦点坐标为(0,±6).
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】
由已知结合余弦定理可得a，b关系，然后再结合余弦定理即可求解．
【解答】
解：若A=2π3，cb=2，
由余弦定理可得，csA=cs2π3=−12=b2+4b2−a24b2，
∴ a=7b，
则csC=a2+b2−c22ab=7b2+b2−4b227b2=277．
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知函数f(x)=lnx+x2，x>0，
则f′(x)=1x+2x=2x2+1x，
已知f(1)=ln1+12=1,f′(1)=2×12+11=3 ，
则曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y−1=3(x−1)，
即y=3x−2.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由等差数列的性质和求和公式可得S11S9=11a69a5=1，变形可得．
【解答】
解：由等差数列的性质和求和公式可得：
S5S11=5(a1+a5)211(a1+a11)2=5×2a3211×2a62=5a311a6=3，
整理可得a3a6=335.
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
直线的点斜式方程
三角形的面积公式
【解析】
将椭圆与直线方程联立：4x2+5y2−20=0y=2(x−1)，得交点A(0,−2),B(53，43)，进而结合三角形面积公式计算可得答案．
【解答】
解：x25+y24=1，c2=5−4=1，c=1，右焦点为F(1,0)，
设过椭圆x25+y24=1的右焦点且斜率为2的直线的方程为y=2(x−1)，
由题意知
4x2+5y2−20=0，y=2(x−1)，
解方程组得交点A(0,−2)，B(53，43)，
∴ SOAB=12⋅OF⋅|y1−y2|=12×1×|43+2|=53．
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：函数定义域：x2−2x<0，解得0令t=−x2+2x（0则对称轴为：x=1，所以t在0,1上单调递增，y=lnt也单调递增，
所以函数fx=ln−x2+2x的单调递增区间为0,1．
故选D．
11.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
圆锥曲线的综合问题
直线与抛物线的位置关系
【解析】

【解答】
解：由题意可知，直线l的斜率存在．
当直线的斜率为零时，由于0,3为抛物线的焦点，故应有|AB|=12，所以直线的斜率存在，且不为零，
设直线l的方程为y=kx+3（k≠0），由 y=kx+3,x2=12y,
消去x得，y2−(12k2+6)y+9=0，所以y1+y2=12k2+6，
所以|AB|=y1+y2+6=12k2+12=14，
所以k=±66，所以tanα=±66，所以sinα=77．
故选D．
12.
【答案】
D
【考点】
函数恒成立问题
全称量词与存在量词
【解析】
本题关键是转化化归思想与分类讨论思想的应用
①由对于任意的x1∈[−2, 2]，总存在x2∈[1, 2]，使得f(x1)>g(x2)，想到 f(x1)min>g(x2)min．恒成立，
②将存在性问题转化为恒成立问题．
③利用导数求函数f(x)＝ex(x−1)在[−2, 2]上最值．
【解答】
解：∵ f(x)=ex(x−1)，∴ f′(x)=xex，
∴ 对于任意的x∈[−2, 2]，当x∈[−2, 0)时，f′(x)<0，当x∈(0, 2]时，f′(x)>0，
即f(x)在[−2, 0)上为减函数，在(0, 2]上为增函数，
∴ x=0为f(x)在[−2, 2]上的极小值点，也是最小值点且最小值为f(0)=−1，
∴ 对于任意的x1∈[−2, 2]，f(x1)min=−1，
而总存在x2∈[1, 2]，使得f(x1)>g(x2)，
∴ f(x1)min>g(x2)min．
∵ g(x)=mx，
∴ ①m=0时，g(x2)=0，不合题意；
②m>0时，g(x2)=mx2∈[m, 2m]，此时m<−1，不合题意；
③m<0时，g(x2)=mx2∈[2m, m]，
∴ g(x2)min=2m，∴ 2m<−1，m<−12.
故选D.
二、填空题
【答案】
x225+y29=1
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
先设P点坐标为(x, y)，表示出△PF1F2的面积，要使三角形面积最大，只需|y|取最大，因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，故可求．
【解答】
解：设P点坐标为(x, y)，则S△PF1F2=12|F1F2||y|=4|y|，
显然当|y|取最大时，三角形面积最大．
因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，
所以P点的坐标为(0, ±3)，
所以b=3．
∵ a2=b2+c2，所以a=5
∴ 椭圆方程为x225+y29=1．
故答案为：x225+y29=1.
三、解答题
【答案】
解：(1)△ABC中，0由正弦定理b=csinC⋅sinB=332×45=85，
又sinA=sinπ−B−C=sinB+C
=sinBcsC+sinCcsB
=45×12+32×35
=4+3310.
(2)S△ABC=12bcsinA
=12×85×3×4+3310
=18+8325．
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)△ABC中，0由正弦定理b=csinC⋅sinB=332×45=85，
又sinA=sinπ−B−C=sinB+C
=sinBcsC+sinCcsB
=45×12+32×35
=4+3310.
(2)S△ABC=12bcsinA
=12×85×3×4+3310
=18+8325．
【答案】
(1)解：由离心率e=ca=2，
得c=2a，∴ a=b，
设双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)，
将(4, −10)代入得λ=6，
∴ 此双曲线的方程为x2−y2=6．
(2)证明：将M(3, m)代入双曲线方程，得m=±3，
∵ F1(−23, 0)，F2(23, 0)，
∴ kF1M⋅kF2M=m3+23⋅m3−23=−1，
∴ F1M⊥F2M．
【考点】
双曲线的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）由离心率为2，得c=2a，可得a=b，设双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)，将(4, −10)代入，求出λ，即可求双曲线的方程；
（2）将M(3, m)代入双曲线方程，得m=±3，证明kF1M⋅kF2M=−1，可得F1M⊥F2M．
【解答】
(1)解：由离心率e=ca=2，
得c=2a，∴ a=b，
设双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)，
将(4, −10)代入得λ=6，
∴ 此双曲线的方程为x2−y2=6．
(2)证明：将M(3, m)代入双曲线方程，得m=±3，
∵ F1(−23, 0)，F2(23, 0)，
∴ kF1M⋅kF2M=m3+23⋅m3−23=−1，
∴ F1M⊥F2M．
【答案】
解：(1)依题意得，a3+a8=9，即a5+a6=9.
因为a5=4，
所以a6=5，即 d=a6−a5=1，
所以 an=a5+(n−5)×1=n−1．
(2)由(1)知 an=n−1，所以bn=2an−1=2n−3，
所以数列{bn}是首项为−1，公差为2的等差数列，
所以Sn=n(b1+bn)2=n(−1+2n−3)2=n2−2n.
【考点】
等差中项
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】

【解答】
解：(1)依题意得，a3+a8=9，即a5+a6=9.
因为a5=4，
所以a6=5，即 d=a6−a5=1，
所以 an=a5+(n−5)×1=n−1．
(2)由(1)知 an=n−1，所以bn=2an−1=2n−3，
所以数列{bn}是首项为−1，公差为2的等差数列，
所以Sn=n(b1+bn)2=n(−1+2n−3)2=n2−2n.
【答案】
解：(1)c2=a+b=a2−b2，则a−b=1，
e=53=ca⇒c2=59a2，则b2=49a2⇒b=23a，
解得a=3，b=2，所以椭圆C：x29+y24=1．
(2)设弦的端点为Px1,y1，Qx2,y2，其中点是A1,1，则x2+x1=2，y2+y1=2，
由于点P，Q在椭圆上，则有
x129+y124=1,①x229+y224=1,②
由①−②得y2−y1x2−x1=−4x1+x29y1+y2=−49，即kPQ=−49，
因此所求直线方程是y−1=−49x−1，即4x+9y−13=0．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】

【解答】
解：(1)c2=a+b=a2−b2，则a−b=1，
e=53=ca⇒c2=59a2，则b2=49a2⇒b=23a，
解得a=3，b=2，所以椭圆C：x29+y24=1．
(2)设弦的端点为Px1,y1，Qx2,y2，其中点是A1,1，则x2+x1=2，y2+y1=2，
由于点P，Q在椭圆上，则有
x129+y124=1,①x229+y224=1,②
由①−②得y2−y1x2−x1=−4x1+x29y1+y2=−49，即kPQ=−49，
因此所求直线方程是y−1=−49x−1，即4x+9y−13=0．
【答案】
解：(1)由0.005×10+0.010×10+0.025×10+a×10+0.020×10=1,
解得a=0.040．
0.005+0.01+0.025×10=0.4<0.5,
0.005+0.01+0.025+0.04×10=0.8>0.5,
可知中位数位于[80,90)内．
令得分中位数为x，由0.020×10+0.040×90−x=0.5，
解得x=82.5．
故综合评分的中位数为82.5．
(2)2×2联列表如下表所示：
可得K2=100(16×6−44×34)250×50×60×40≈32.67>10.828,
所以，有99.9%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由0.005×10+0.010×10+0.025×10+a×10+0.020×10=1,
解得a=0.040．
0.005+0.01+0.025×10=0.4<0.5,
0.005+0.01+0.025+0.04×10=0.8>0.5,
可知中位数位于[80,90)内．
令得分中位数为x，由0.020×10+0.040×90−x=0.5，
解得x=82.5．
故综合评分的中位数为82.5．
(2)2×2联列表如下表所示：
可得K2=100(16×6−44×34)250×50×60×40≈32.67>10.828,
所以，有99.9%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．
【答案】
(1)解：f′(x)=−x2−(a−2)x+2aex=−(x+a)(x−2)ex，
当a=0时，f′(1)=1e，f(1)=1e，
则f(x)在(1, f(1))的切线方程为y=1ex.
(2)证明：令f′(x)=0，解得x=2或x=−a，
①当a=−2时，f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在R上单调递减，
∴ 函数f(x)无极值；
②当a>−2时，令f′(x)>0，解得−a2，
∴ 函数f(x)在(−a, 2)上单调递增，在(−∞, −a)，(2, +∞)上单调递减，
∴ f(x)极大值=f(2)=a+4e2>0；
③当a<−2时，令f′(x)>0，解得2−a，
∴ 函数f(x)在(2, −a)上单调递增，在(−∞, 2)，(−a, +∞)上单调递减，
∴ f(x)极大值=f(−a)=−ae−a>0，
综上，函数f(x)的极大值恒大于0．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
(Ⅰ)求导，代入a＝0，求出在x＝1处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；
(Ⅱ)分类讨论得出极大值即可判断．
【解答】
(1)解：f′(x)=−x2−(a−2)x+2aex=−(x+a)(x−2)ex，
当a=0时，f′(1)=1e，f(1)=1e，
则f(x)在(1, f(1))的切线方程为y=1ex.
(2)证明：令f′(x)=0，解得x=2或x=−a，
①当a=−2时，f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在R上单调递减，
∴ 函数f(x)无极值；
②当a>−2时，令f′(x)>0，解得−a2，
∴ 函数f(x)在(−a, 2)上单调递增，在(−∞, −a)，(2, +∞)上单调递减，
∴ f(x)极大值=f(2)=a+4e2>0；
③当a<−2时，令f′(x)>0，解得2−a，
∴ 函数f(x)在(2, −a)上单调递增，在(−∞, 2)，(−a, +∞)上单调递减，
∴ f(x)极大值=f(−a)=−ae−a>0，
综上，函数f(x)的极大值恒大于0．优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
16
乙培育法
6
合计
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
16
34
50
乙培育法
44
6
50
合计
60
40
100
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
16
34
50
乙培育法
44
6
50
合计
60
40
100