2020-2021学年宁夏吴忠市高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年宁夏吴忠市高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，若前7组频率之和为0.79，则剩下3组的频率之和为（ ）
%C.21D.无法确定

2. 某公司从三位大学毕业生甲、乙、丙中录用二人，这三人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（ ）
A.B.C.D.

3. 若变量x，y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点（ ）
A.(2, 6)B.(3, 8)C.(4, 9)D.(5, 10)

4. 圆心为(0, 1)且与直线y＝2相切的圆的方程为（ ）
A.(x−1)2+y2＝1B.(x+1)2+y2＝1C.x2+(y−1)2＝1D.x2+(y+1)2＝1

5. 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为（ ）
A.9B.13C.15D.18

6. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(−4, −2)的抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=−xB.x2=−8y
C.y2=−8x或x2=−yD.y2=−x或x2=−8y

7. 双曲线x29−y24=1的渐近线方程是（ ）
A.y=±32xB.y=±23xC.y=±94xD.y=±49x

8. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A.2B.C.D.

9. 抛物线y=14x2的准线方程是（ ）
A.x=−116B.x=−18C.y=−1D.y=−2

10. 过椭圆＝1内一点M(2, 1)引一条弦，使弦被点M平分则这条弦所在直线的斜率（ ）
A.−2B.C.-D.2

11. 已知F1，F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为（ ）
A.2B.32C.3D.2

12. 设A，B是椭圆C：+＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝，则m的取值范围是（ ）
A.B.(0, 1]∪[9, +∞)
C.(0, 1]∪[4, +∞)D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

双曲线x23−y2=1的焦点坐标为________．

一只蚂蚁在如图所示的地板砖（除颜色不同外，其余全部相同）上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖上的概率是________．


某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：
甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；
乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；
丙同学说：“茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加”
丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”．
以上四人中，观点正确的同学是________．

已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于A，B两点，交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则|AB|＝________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）

已知点N(4, 0)，点M(x0, y0)在圆x2+y2＝4上运动，点P(x, y)为线段MN的中点．
（1）求点P(x, y)的轨迹方程；

（2）求点P到直线3x+4y+4＝0的距离的最大值和最小值．

近年来，国家大力实施精准扶贫战略，据统计2014年至2018年，某社区脱贫家庭（单位：户）的数据如表：
部分数据经计算得：i=15 xiyi​=845，i=15 xi2=55．
（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数的变化情况，并预测该社区在2020年脱贫家庭户数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：b​=i=1n xiyi​−nx¯y¯i=1n xi2​−nx¯2，a​=y¯−b​x¯．

已知离心率e=22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个焦点为(−1, 0)．
（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=423，求直线l方程．

日前，《北京传媒蓝皮书：北京新闻出版广电发展报告(2016∼2017)》公布，其中提到，2015年9月至2016年9月，北京市年度综合阅读率较上，年增长1%且数学媒体阅读率首次超过了纸质图书阅读率．
为了调查某校450名高一学生（其中女生210名）对这两种阅读方式的时间分配情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样 的方式随机抽取了15名学生进行调查，得到这15名学生分别采用这两种阅读方式 的平均每周阅读时间，数据如下（单位：小时）：

（1）求被调查的15名学生中男生的人数；

（2）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写出两个统计结论；

（3）平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率．

已知抛物线C:y2＝2px过点A(1, 2)．
（1）求抛物线C的方程；

（2）求过点P(3, −2)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2为定值．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，点(2, 1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与圆O:x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点，求证：∠POQ是定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年宁夏吴忠市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.
【答案】
B
【考点】
频率分布直方图
用样本的数字特征估计总体的数字特征
分布和频率分布表
【解析】
由频率分布表的性质能求出剩下3组的频率之和．
【解答】
容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，
若前7组频率之和为0.79，
则由频率分布表的性质得剩下3组的频率之和为P＝1−0.79＝2.21．
2.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
根据古典概率的计算公式即可求解．
【解答】
由古典概率的计算公式可得：
甲被录用的概率为P＝，
3.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，则答案可求．
【解答】
由表格中的数据可得：＝＝3，＝．
则样本点的中心的坐标为(3, 3)．
即回归直线必过定点(3, 8)．
4.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
根据题意设圆方程为x2+(y−1)2＝r2，由圆心到直线的距离得到半径r，代入即可得到所求圆的方程
【解答】
设圆方程为x2+(y−1)2＝r2，∵ 直线y＝2与圆相切，∴ 圆心到直线的距离等于半径r，∴ r＝1
故圆的方程为：x2+(y−1)2＝1，
5.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据题意，由椭圆的方程求出a、b的值，计算可得c的值，而△PF1F2的周长l＝|PF1|+|PF2|+|F1F2|，计算可得答案．
【解答】
根据题意，椭圆，
其中a＝＝5＝3，
则c＝＝2，
P是C上任意一点，
则△PF1F2的周长l＝|PF7|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝10+6＝18；
6.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
设抛物线方程分别为y2=mx，或x2=ny，代入点(−4, −2)，解方程，即可得到m，n．进而得到抛物线方程．
【解答】
解：设抛物线方程为y2=mx，
代入点(−4, −2)可得，4=−4m，
解得，m=−1，
则抛物线方程为y2=−x，
设抛物线方程为x2=ny，
代入点(−4, −2)可得，16=−2n，
解得，n=−8，
则抛物线方程为x2=−8y，
故抛物线方程为y2=−x，或x2=−8y．
故选：D．
7.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
求出双曲线的a，b，再由渐近线方程，即可得到．
【解答】
双曲线x29−y24=1的a＝3，b＝2，
则双曲线的渐近线方程为：y=±bax，
即为y=±23x．
8.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
第一次执行循环体后，k＝1，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，k＝2，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，k＝3，满足退出循环的条件；
故输出S值为，
9.
【答案】
C
【考点】
抛物线的求解
【解析】
将抛物线方程化为标准方程，由抛物线x2=2py的准线方程为y=−p2，计算即可得到所求准线方程．
【解答】
解：抛物线y=14x2即为x2=4y，
由抛物线x2=2py的准线方程为y=−p2，
可得x2=4y的准线方程为y=−1．
故选：C．
10.
【答案】
C
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的离心率
椭圆的应用
【解析】
设出弦的两个端点的坐标，并代入椭圆方程，利用点差法以及中点坐标公式即可求解．
【解答】
设弦与椭圆的交点坐标分别为A(x1, y1)，B(x8, y2)，
代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：…①
又M是AB的中点，则x2+x2＝4，y3+y2＝2，代入①化简可得：
＝，所以这条弦所在直线的斜率为-，
11.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由条件MF1⊥MF2，sin∠MF2F1=13，列出关系式，从而可求离心率．
【解答】
由题意，M为双曲线左支上的点，
则|MF1|=b2a，|MF2|=4c2+(b2a)2，
∴ sin∠MF2F1=13，∴ b2a4c2+b4a2=13，
可得：2b4＝a2c2，即2b2＝ac，又c2＝a2+b2，
可得2e2−e−2=0，
e>1，解得e=2．
12.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
对椭圆的焦点的位置分两种情况讨论，然后利用椭圆的几何性质以及特殊位置即可求解．
【解答】
当椭圆的焦点在x轴上时，则00，故2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数逐年增加，平均每年增加14户．在回归方程中取x＝7求得y值，即可得到该社区在2020年脱贫家庭户数．
【解答】
∵ x¯=1+2+3+4+55=3，y¯=20+30+50+60+755=47，
i=15 xiyi​=845，i=15 xi2=55，
∴ b​=845−5×3×4755−5×9=14，a​=y¯−b​x¯=47−14×3=5．
∴ y关于x的线性回归方程为y​=14x+5；
由（1）知，b​=14>0，
故2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数逐年增加，平均每年增加14户．
令x＝7，得y​=14×7+5=103．
故该社区在2020年脱贫家庭户数为103户．
【答案】
解：（1）由题知c=1，e=ca=22，
∴ a=2，b=1，
∴ 椭圆C：x22+y2=1．
（2）设直线l方程为y=x+m，点A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由方程组x22+y2=1y=x+m
化简得：3x2+4mx+2m2−2=0，
由△=16m2−12(2m2−2)=−8m2+24>0，可得m20，可得m27，y1+y2＝5t，y1y2＝−3t−12．---------------
所以k1⋅k7＝＝＝＝＝−8．
所以k1⋅k2为定值−5．---------------------------------------------------------
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）由抛物线仅供的点，可得p，可求抛物线的标准方程；
（2）设过点Q(3, −2)的直线l的方程为x−3＝t(y+2)，代入y2＝x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1⋅k2的值．
【解答】
抛物线C:y2＝2px过点A(7, 2)．
得2p＝3，所以抛物线方程为y2＝4x．------------------
设M(x1, y1)，N(x5, y2)，直线MN的方程为x−3＝t(y+6)，
代入抛物线方程得y2−4ty−7t−12＝0．
所以△＝16t2+32t+48>7，y1+y2＝5t，y1y2＝−3t−12．---------------
所以k1⋅k7＝＝＝＝＝−8．
所以k1⋅k2为定值−5．---------------------------------------------------------
【答案】
解：(1)由题得：e=ca=22，即c2=12a2，
则b2=12a2.
再将点(2, 1)带入方程得4a2+2a2=1，
解得a2=6，
所以b2=3，
则椭圆C的方程为：x26+y23=1.
(2)①当直线PQ斜率不存在时，
则直线PQ的方程为x=2或x=−2，
当x=2时，P(2, 2)，Q(2, −2)，
此时OP→⋅OQ→=0，
所以OP→⊥OQ→，即∠POQ=90∘；
当x=−2时，同理可得，∠POQ=90∘.
②当直线PQ斜率存在时，
设直线PQ的方程为y=kx+m，即kx−y+m=0.
因为直线与圆相切，
所以|m|k2+1=2，即m2=2k2+2，
联立kx−y+m=0，x26+y23=1，
整理得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
则有x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−61+2k2，
所以OP→⋅OQ→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)×2m2−61+2k2+km×(−4km1+2k2)+m2.
将m2=2k2+2代入上式，
整理可得OP→⋅OQ→=0，
所以OP→⊥OQ→，即∠POQ=90∘.
综上，∠POQ是定值90∘．
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）由题得e=ca=22得到a，b，c的关系，再将点(2, 1)代入可解得a2＝6，进而得到方程；
（2）考虑PQ斜率不存在和存在两种情况，分别计算出OP→⋅OQ→=0，可得∠POQ＝90∘为定值．
【解答】
解：(1)由题得：e=ca=22，即c2=12a2，
则b2=12a2.
再将点(2, 1)带入方程得4a2+2a2=1，
解得a2=6，
所以b2=3，
则椭圆C的方程为：x26+y23=1.
(2)①当直线PQ斜率不存在时，
则直线PQ的方程为x=2或x=−2，
当x=2时，P(2, 2)，Q(2, −2)，
此时OP→⋅OQ→=0，
所以OP→⊥OQ→，即∠POQ=90∘；
当x=−2时，同理可得，∠POQ=90∘.
②当直线PQ斜率存在时，
设直线PQ的方程为y=kx+m，即kx−y+m=0.
因为直线与圆相切，
所以|m|k2+1=2，即m2=2k2+2，
联立kx−y+m=0，x26+y23=1，
整理得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
则有x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−61+2k2，
所以OP→⋅OQ→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)×2m2−61+2k2+km×(−4km1+2k2)+m2.
将m2=2k2+2代入上式，
整理可得OP→⋅OQ→=0，
所以OP→⊥OQ→，即∠POQ=90∘.
综上，∠POQ是定值90∘．x
1
2
4
5
y
7
6
9
10
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年份代号x
1
2
3
4
5
脱贫家庭户数y
20
30
50
60
75
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
数字阅读时间
23
58
30
60
41
51
64
53
55
67
51
25
33
45
47
纸质阅读时间
28
66
36
53
45
62
48
47
42
52
50
21
30
42
42