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数学必修13.3 幂函数教案
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这是一份数学必修13.3 幂函数教案，共4页。教案主要包含了教学目标，知识与技能，过程与方法，情感、态度价值观，重点难点，教学策略，教学顺序，教学方法与手段等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
【知识与技能】
理解幂函数的概念.
通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.
【过程与方法】
通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.
【情感、态度价值观】
进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.
体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.
通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.
【重点难点】
重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．
难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.
【教学策略】
【教学顺序】
归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.
【教学方法与手段】
1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.
2．利用几何画板辅助教学.
【教学过程】
创设情境
前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.
请将下列问题中的y表示成x的函数.
如果张红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需要支付y= x 元;
如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y= x2 ;
如果立方体的边长为x，那么立方体的体积y= x3 ;
如果一个正方形场地的面积为x，那么这个正方形场地的边长y=;
如果某人 x s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度y= x -1 s.
请大家看如下问题.
（板书：）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数）
探究新知
幂函数的定义（形式定义）
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数.
自变量x是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.
请同学们举出一个具体的幂函数.
从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
探究新知
按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数.
请同学们用描点法在同一平面直角坐标系中画出上述函数的图象.根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题：
1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线）
2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致；
3.讨论在画图象过程中出现的问题；
4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.
通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势，相对位置.
首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.
（一边分析函数图象的特征，一边总结函数性质，填写表格.）
从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这5个幂函数的共性？
总结性质
虽然这5个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这5个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.
注意到这5个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当时的函数图象，（演示几何画板，隐藏时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间上是增函数．
再来观察当时的函数图象，（演示几何画板，显示时图象，隐藏时图象）幂函数在区间上是减函数．在第一象限内，当自变量取值从右边趋于0时，图象在轴右方无限地靠近轴，但不与轴相交，当自变量取值趋于时，图象在轴上方无限地靠近轴，但不与轴相交．
演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数时，幂函数都过原点，在上是增函数；当幂指数时，在上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向于0时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．
性质总结，体现从特殊到一般.
探究性质
利用几何画板进一步探究幂函数性质.
下面我们应用幂函数的性质来解决问题.
例题解析
例1.写出下列函数的定义域并能指出他们的奇偶性
例2.比较下列各组数中的两个值的大小
归纳小结
1.学习了幂函数的概念；
2.利用“还原根式”求幂函数定义域的方法；
3.利用幂函数在第一象限内的图象特征，并会根据奇偶性完成整个函数的图象。
4.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.
板书设计
定义域
R
R
R
[0，+∞）
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
递增
（-∞，0）减
递增
[0，+∞）增
（-∞，0）减
（0，+∞）增
（0，+∞）减
定点
（1，1）
投影仪
§2.3幂函数
幂函数的定义
幂函数的性质
例题:
例1
例2
幂函数的图像
常见的5类幂函数
总结
【教学目标】
【知识与技能】
理解幂函数的概念.
通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.
【过程与方法】
通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.
【情感、态度价值观】
进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.
体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.
通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.
【重点难点】
重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．
难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.
【教学策略】
【教学顺序】
归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.
【教学方法与手段】
1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.
2．利用几何画板辅助教学.
【教学过程】
创设情境
前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.
请将下列问题中的y表示成x的函数.
如果张红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需要支付y= x 元;
如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y= x2 ;
如果立方体的边长为x，那么立方体的体积y= x3 ;
如果一个正方形场地的面积为x，那么这个正方形场地的边长y=;
如果某人 x s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度y= x -1 s.
请大家看如下问题.
（板书：）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数）
探究新知
幂函数的定义（形式定义）
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数.
自变量x是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.
请同学们举出一个具体的幂函数.
从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
探究新知
按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数.
请同学们用描点法在同一平面直角坐标系中画出上述函数的图象.根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题：
1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线）
2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致；
3.讨论在画图象过程中出现的问题；
4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.
通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势，相对位置.
首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.
（一边分析函数图象的特征，一边总结函数性质，填写表格.）
从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这5个幂函数的共性？
总结性质
虽然这5个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这5个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.
注意到这5个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当时的函数图象，（演示几何画板，隐藏时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间上是增函数．
再来观察当时的函数图象，（演示几何画板，显示时图象，隐藏时图象）幂函数在区间上是减函数．在第一象限内，当自变量取值从右边趋于0时，图象在轴右方无限地靠近轴，但不与轴相交，当自变量取值趋于时，图象在轴上方无限地靠近轴，但不与轴相交．
演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数时，幂函数都过原点，在上是增函数；当幂指数时，在上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向于0时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．
性质总结，体现从特殊到一般.
探究性质
利用几何画板进一步探究幂函数性质.
下面我们应用幂函数的性质来解决问题.
例题解析
例1.写出下列函数的定义域并能指出他们的奇偶性
例2.比较下列各组数中的两个值的大小
归纳小结
1.学习了幂函数的概念；
2.利用“还原根式”求幂函数定义域的方法；
3.利用幂函数在第一象限内的图象特征，并会根据奇偶性完成整个函数的图象。
4.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.
板书设计
定义域
R
R
R
[0，+∞）
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
递增
（-∞，0）减
递增
[0，+∞）增
（-∞，0）减
（0，+∞）增
（0，+∞）减
定点
（1，1）
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