数学必修13.3 幂函数教案设计

3.3幂函数

一、教学内容分析

函数是高中数学的核心内容，其思想方法贯穿高中数学的始终，是高考的重点内容。幂函数是学习了指数函数，对数函数之后的又一基本初等函数，在学习方法上具有延续性和一致性。在《考试说明》中只要求了解几个具体的幂函数，而且高考试题中直接考查幂函数的试题很少、考查要求也是最低。

二、学情况分析

本节课是在学生对指数函数和对数函数的图像和性质有了一定的认识并且能进行简单应用的基础上继续学习幂函数。学生“数—形—性质—应用”的思维模式已基本形成；学生经历了由具体函数归纳抽象一类函数图像和性质，对这种由具体到一般的思维过程有感性的理解，对于幂函数的教学依然采用这样的方法，一方面是保持思维方法的一贯性，另一方面是促进运用这种方法的自觉性。

我认为：幂函数教学应该解决的主要问题：既见“树木”见“森林”，即通过对几个具体幂函数图像和性质的研究，得到幂函数簇的共同性质。因此，解决此问题的主要途径：应该把教学重心放在研究函数图像和性质的方法的运用和总结上。

三、教学目标

1．通过本课时教学，使学生了解幂函数的概念，会画给定幂函数的图像，并由此得出幂函数簇的图象和性质。

2．学生能将底数不同指数相同的指数式值的大小比较转化成幂函数的单调性来解决。

3．通过对幂函数的图像和性质的研究，使学生体会研究函数性质的思路和方法。

四、教学重点与难点

重点:画幂函数的图象，总结幂函数的性质。

难点:画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律。

五、教学过程

1.问题情境

一般地，函数y=ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R。指数函数解析式主要特征为：自变量x在指数位置，底数a是常数.

 如果将指数式y=ax中的底数和指数位置互换，使底数为自变量，指数为常数，是否存在这样的函数？若存在，请举出几例.

学生可能举出如下例子：y=x、y=x2、y=x-1、y=x3、y=x-2、

要求学生分析：这些函数的解析式在形式上的共同点，并用一个一般的式子进行概括。

设计意图：通过对几个函数解析式的形式特征加以归纳、概括，建构幂函数解析式的形式特征。

2.数学建构

问题1 概括的函数关系式y=xa（其中a是常数）是指数函数吗？为什么？请你为其命名，将其称之为什么函数？

设计意图：通过与指数函数解析式的比对，发现幂函数结构上根本特征是指数式的底数的变化性与指数的不变性，期望学生将其称之为“底函数”。

练习：下列函数是否是幂函数？

①，②，③y=x-0.38，④，⑤y=2x，⑥y=3x2+5x

设计意图：幂函数概念的辨析和运用，对于⑥进行适当的变式。

问题2 根据你对指数函数、对数函数的学习经验，谈谈如何研究幂函数的性质。用什么方法研究，研究那些性质。

（1）具体函数→一类函数；（2）观察图象特征→归纳函数性质；（3）研究的主要性质有：定义域、值域、单调性、奇偶性。

尝试：自行选取三个幂函数函数，尝试画出函数图象并研究函数性质。

设计意图：引导学生借鉴研究指数函数、对数函数图像和性质的经验，尝试迁移解决“新问题”----幂函数。

问题3 根据函数图象归纳幂函数的共同性质。

用几何画板，在同一坐标系中画出y=x、y=x2、y=x-1、y=x3、y=x-2、的图象，让学生归纳幂函数的性质。

（1）图像分布特征：图形分布象限←→奇偶性；

（2）定点：所有幂函数都过定点（1,1）；

（3）在第一象限的增减性：

当a>0时，幂函数y=xa在区间(0,+∞)上是单调增函数；

当时，幂函数y=xa在区间(0,+∞)上是单调减函数。

设计意图：考虑到幂函数图象的复杂性以及学生作图的不规范不便于观察、归纳，因此给出规范准确的函数图象，并以颜色粗细变化加以区分，利于强化学生正确的认知。

3.归纳总结

幂函数的图像和性质虽然有别于指数函数、对数函数规整统一，但也有内在的一致性，即：解析式→定义域→奇偶性→第一象限的图像特征（定点、单调性）→其他象限的图像（如果有的话）→整体性质。

4.数学运用

例1 求幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间并画出草图。

设计意图：研究幂函数的方法的直接运用。

例2 比较下列各组数中两个值的大小：

（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），.

设计意图：引导学生能根据两个指数式结构上的“变与不变”的转化成幂函数，进而用幂函数的单调性加以比较，提升运用幂函数解决问题的意识。

5.课堂小结

通过这节课的学习，我们发现，幂函数的图象和性质纷繁复杂，不像指数函数、对数函数那样有统一的定义域、一致的单调性和奇偶性，但这个纷繁复杂的世界里有一条明确的主线，那就是研究函数的一般方法，运用这个方法我们可以便捷解决幂函数的图像和性质。