高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课文内容课件ppt

5.5.2　简单的三角恒等变换

半角公式

(1)sin＝± ，

(2)cos＝± ，

(3)tan＝± ，

(4)tan＝＝＝，

tan＝＝＝.

1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)

A．－　 B.

C．－   D.

C　[∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，

又cos2＝，∴cos α＝－.]

2．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　)

A.　　　B．－     C.　　　D.

A　[由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.]

3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－，cos θ＜0，则tan的值等于________．

－3　[由sin θ＝－，cos θ＜0得cos θ＝－，

∴tan＝＝＝

＝＝－3.]

化简求值问题

【例1】　(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)

A.　　　 B.

C．－   D．－

(2)已知π<α<，化简：

＋.

[思路点拨]　(1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．

(2)1＋cos θ＝2cos2，1－cos α＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．

(1)D　[∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.

又cos＝a，

∴sin＝－＝－.]

(2)[解]　原式＝

＋.

∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，

∴原式＝＋

＝－＋＝－cos.

1．化简问题中的“三变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．

2．利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．

(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．

(4)下结论：结合(2)求值．

提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．

1．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan .

[解]　法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan <0，

∴tan ＝－＝－＝－2.

法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，

∴sin θ＝－＝－＝－，

∴tan ＝＝＝－2.

三角恒等式的证明

【例2】　求证：＝sin 2α.

[思路点拨]　法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；

法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．

[证明]　法一：用正弦、余弦公式．

左边＝

＝＝

＝＝sincoscos α

＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，

∴原式成立．

法二：用正切公式．

左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，

∴原式成立．

三角恒等式证明的常用方法

1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；

2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；

3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；

4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；

5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.

2．求证：

＝.

[证明]　左边＝

＝

＝

＝＝＝＝右边．

所以原等式成立．

恒等变换与三角函数图象性质的综合

【例3】　已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期．

(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.

[思路点拨]　→→

→

[解](1)f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.

(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，

所以－≤2x＋≤，

因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，

所以f(x)≥sin＝－，得证．

三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.

3．已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

[解]　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2

＝sin＋1－cos

＝2＋1

＝2sin＋1

＝2sin＋1，∴T＝＝π.

(2)当f(x)取得最大值时，

sin＝1，

有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，

∴所求x的集合为.

三角函数在实际问题中的应用

[探究问题]

1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？

提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．

2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？

提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．

【例4】　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？

[思路点拨]　→→

[解]　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，

∴l＝OA＋AB＋OB

＝R＋Rsin α＋Rcos α

＝R(sin α＋cos α)＋R

＝Rsin＋R.

∵0<α<，∴<α＋<，

∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，

即当α＝时，△OAB的周长最大．

应用三角函数解实际问题的方法及注意事项

1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.

2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.

提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.

1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．

2．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等.

1．思考辨析

(1)cos ＝.(　　)

(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)

(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)

(4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　)

[提示]　(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos ＝.

(2)√.当cos α＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．

(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．

(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan ＝成立．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　 D．π

C　[f(x)＝cos x－sin x＝cosx＋.当x∈[0，a]时，x＋∈，a＋，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.]

3．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为________．

π　[因为f(x)＝sin2x＝，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.]

4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.

[解]　由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，

所以cos θ－sin θ＝.

由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，

所以cos θ＋sin θ＝，

所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ

＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)

＝.