数学选择性必修第一册第4章 数列4.1 数列课堂教学课件ppt

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1.基本数列求和方法
2.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (2)利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288° +sin289°=44.5.(　　)(3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当a≠0,且a≠1时,求Sn的值可用错位相减法求得. (　　)(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数). (　　)(　　)(6)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S50=-25. (　　)
2.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为(　　)A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-2
3.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=(　)A.15D.-15
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 =　　　　　. 
例1在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=a2,b13=a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.思考具有什么特点的数列适合并项求和?具有什么特点的数列适合分组求和?
解 (1)设等差数列{bn}的公差为d.由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,∴d=2,∴an=3n,bn=2n+1.(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn= (-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n.
解题心得1.若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并项求和法求数列前n项和.2.具有下列特点的数列适合分组求和(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和;(2)通项公式为 的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
对点训练1已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),数列{bn}是等比数列,a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,∵a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3,
∴an=2n+1,bn=2n-1.
例2已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和数列{an}的通项公式;思考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?
解题心得1.判断数列{an}为等比数列的方法:
数,且n≥2,n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法:在数列{an}中,若an≠0,且 =an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.2.解答选择题、填空题时也可用如下方法.(1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k≠0,q≠0,1),则数列{an}为等比数列.3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明a1a3≠
对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3,n∈N*.(1)证明数列{an-1}为等比数列,并求{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解:(1)∵数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3,n∈N*,①∴a1=S1=2a1+1-3,解得a1=2.∴当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-3.②①-②,得an=2an-1-1,∴an-1=2(an-1-1).又a1-1=1,∴数列{an-1}是以1为首项,以2为公比的等比数列.∴an-1=2n-1,即an=2n-1+1.
(2)∵an=2n-1+1,∴nan=n2n-1+n.∴数列{nan}的前n项和Tn=1×20+2×2+3×22+…+n×2n-1+(1+2+3+…+n)
例3已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an>0(n∈N*),S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;
思考裂项相消法的基本思想是什么?
解:(1)∵S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项,∴2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5,∴S6+a6-S4-a4=S5+a5-S6-a6,化简,得4a6=a4.
解题心得裂项相消法的基本思想就是把an分拆成an=bn+k-bn (k∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的.在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.
对点训练3已知数列{an}为等差数列,a1=1,an>0,其前n项和为Sn,且数列{ }也为等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;