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2020-2021学年安徽省淮南市高二（上）期中考试数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年安徽省淮南市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合A={x|−12A.{x|−1≤x<2}B.{x|−12
2. 下列命题中，正确命题的个数是( )
①在圆柱上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线就是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
A.0 B.1C.2 D.3
3. 已知向量a→=(1, 2)，b→=(1, 0)，c→=(4, −3)．若λ为实数，(a→+λb→)⊥c→，则λ=( )
A.14B.12C.1D.2
4. 一个菱形的边长为4cm，一内角为60∘，用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为( )
A.23cm2B.26cm2C.46cm2D.83cm2
5. 若将函数y=2sin(2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )
A.y=2sin(2x+π4)B.y=2sin(2x+π3)C.y=2sin(2x−π4)D.y=2sin(2x−π3)
6. 已知三条直线l，m，n，三个平面α，β，γ，有以下三个命题：
①α⊥β，β⊥γ⇒α⊥γ；②l⊥m，l⊥n⇒m//n；③α⊥β，α∩β=l，m⊥l⇒m⊥β
其中正确命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
7. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a5=4，S15=60，则a20=( )
A.4B.6C.10D.12
8. 已知函数满足fx+5=−fx，当x∈0,5时， fx=x2−x，则f2016=( )
A.−12B.−16C.−20D.0
9. 已知x>−2，则x+4x+2的最小值是( )
A.2B.4C.22D.6
10. 已知直线l经过A(2, 1)，B(1, m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.[0, π)B.[0, π4]∪(π2, π)C.[0, π4]D.[π4, π2)∪(π2, π)
11. 我国古代数学名著《九章算术》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量为( )寸.
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A.2B.3C.4D.5
12. 已知三棱锥P−ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P−ABC的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.16π3B.40π3C.64π3D.80π3
二、填空题
直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−2=0平行，则m的值为________．
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=3，AD=4，AA1=2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值为________.
在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，AA1=AB=6，则AB1与平面BCC1所成角的正切值为________.
已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+1)(n∈N∗)，其前n项和Sn=910，则直线xn+1+yn=1与坐标轴围成的三角形面积为________.
三、解答题
已知xOy平面上的直线l:kx−y+1+2k=0，k∈R.
(1)求直线l恒过定点的坐标；
(2)直线l与x轴负半轴和y轴正半轴所围成的三角形面积为92，求k的值．
某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．
(1)如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A等和B等中分别抽几人？
(2)在(1)问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率．
如图所示，AB为圆O的直径，点F在圆O上，且AB//EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．
(1)设FC的中点为M，求证：OM//平面DAF；
(2)求证：AF⊥平面CBF．
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b=3asinB+bcsA，c=4.
(1)求A；
(2)若D是BC的中点，AD=7，求△ABC的面积.
已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an2n}的前n项和．
如图，四边形ABCD为等腰梯形，且AD//BC，E为BC的中点，AB=AD=BE．现沿DE将△CDE折起成四棱锥C′−ABED，点O为ED的中点．
(1)在棱AC′上是否存在一点M，使得OM//平面C′BE？并证明你的结论；
(2)若AB=2，求四棱锥C′−ABED的体积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省淮南市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
并集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
根据题意，分析集合B，解x2≤1，可得集合B，再求A、B的并集可得答案．
【解答】
解：∵ A={x|−12∴ A∪B={x|−1≤x<2}.
故选A．
2.
【答案】
A
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
利用圆锥，圆柱．圆台的特征，判断选项的正误即可．
【解答】
解：在①中，由于圆柱的母线相互平行且与上下底面的圆心的连线平行，
故上、下底面中任两点的连线不一定是母线，故①错误；
在②中，直角三角形绕其任一直角边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥，
绕斜边旋转所形成的几何体是两个圆锥的组合体，故②错误；
在③中，棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故③错误．
综上所述，正确的个数是0个.
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积的坐标表达式
平面向量的坐标运算
【解析】
由题意可得a→+λb→=(1+λ, 0)，由垂直可得数量积为0，可得λ的方程，解方程可得．
【解答】
解：∵ a→=(1, 2)，b→=(1, 0)，c→=(4, −3)．
∴ a→+λb→=(1+λ, 2)
∵ (a→+λb→)⊥c→，
∴ 4(1+λ)−3×2=0，
解得λ=12.
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
平面图形的直观图
【解析】
求出直观图面积，由原图和直观图的面积的关系S原图:S直观图=22:1，直接求解即可．
【解答】
解：由题意可知：S原图=S菱形=2×12×4×4×sin60∘=83(cm2)，
又因为S原图:S直观图=22:1，
所以直观图的面积为S直观图=26cm2．
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2(x−π4)+π6]，化简整理即可得到所求函数式．
【解答】
解：函数y=2sin(2x+π6)的周期为T=2π2=π，
由题意即为函数y=2sin(2x+π6)的图像向右平移π4个单位，
可得图像对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6]，
即有y=2sin(2x−π3)．
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
命题的真假判断与应用
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据空间中直线与平面的位置关系，逐个判断各个命题的真假，即可得出答案.
【解答】
解：①a⊥β，β⊥γ⇒α与γ相交或平行，不一定垂直，故①不正确；
②l⊥m，l⊥n⇒m与n相交、平行或异面，故②不正确；
③a⊥β，a∩β=l，m⊥l⇒m与β相交，但不一定垂直，故③不正确.
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式．
【解答】
解：设数列{an}的公差为d.
由题意，得a3+a5=2a1+6d=4，S15=15a1+105d=60，
解得a1=12，d=12，
故a20=a1+19d=10．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
函数的周期性
【解析】
由fx+10=−fx+5=fx，得f2016=f6=−f1=−12−1=0由此能求出结果．
【解答】
解：因为fx+5=−fx，
所以fx+10=−fx+5=fx，
所以fx是以10为周期的函数，
因为当x∈0,5时，fx=x2−x，
所以f(2016)=f(6)=−f(1)=−(12−1)=0.
故选D．
9.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
将x+4x+2转化成x+2+4x+2−2，然后利用基本不等式即可求出所求，注意等号成立的条件．
【解答】
解：∵ x∈(−2, +∞)，
∴ x+2>0，
∴ x+4x+2=x+2+4x+2−2
≥2(x+2)×4x+2−2=2，
当且仅当x+2=4x+2，即x=0时取等号，
∴ x+4x+2的最小值为2．
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围．
【解答】
解：∵ 直线l过A(2, 1)，B(1, m2)两点(m∈R)，
∴ 直线l的斜率为k=m2−11−2=1−m2≤1，
∴ tanα≤1，且α∈[0, π)，
∴ 倾斜角α的取值范围是[0, π4]∪(π2, π)．
故选B.
11.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．
【解答】
解：由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，积水深9寸，
∴ 水面半径为12(14+6)=10(寸)，
则盆中水的体积为13π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸)，
∴ 平地降雨量为588ππ×142=3(寸)．
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．
【解答】
解：根据题意作出图形，
设球心为O，球的半径为r，过ABC三点的小圆的圆心为O1，
则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．
∵ CO1=433，
∴ OO1=r2−163，
∴ 高PD=2OO1=2r2−163.
∵ △ABC是边长为4的等边三角形，
∴ S△ABC=34×42=43，
∴ V三棱锥P−ABC=13×43×2r2−163=163，
∴ r2=203，
则球O的表面积为4πr2=80π3.
故选D.
二、填空题
【答案】
−3或2
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．
【解答】
解：∵ 直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−2=0平行，
∴ −2m+1=−m3，
解得m=2或m=−3.
故答案为：−3或2.
【答案】
8525
【考点】
余弦定理
异面直线及其所成的角
【解析】
根据长方体相对的平面上的两条对角线平行，得到两条异面直线所成的角，这个角在一个可以求出三边的三角形中，利用余弦定理得到结果．
【解答】
解：由题意可得：AB=3，AD=4，AA1=2，
因为B C1// AD1，
所以∠CAD1是异面直线AC和BC1所成的角，记为θ，
又AC=9+16=5，AD1=16+4=25，CD1=9+4=13，
故csθ = AC2 + AD12 − CD122AC ⋅ AD1 = 25 + 20 − 132 × 5 × 25 = 8525．
故答案为：8525.
【答案】
155
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
利用条件，构造线面角的平面角，即可求出答案.
【解答】
解：如图，取BC的中点M，连结AM，B1M.
∵ △ABC为正三角形，M是BC的中点，
∴ AM⊥BC.
∵ AA1⊥平面ABC，
∴ BB1⊥平面ABC.
又AM⊂平面ABC，
∴ AM⊥BB1，
∴ AM⊥平面BCC1B1，
∴ ∠AB1M为直线AB1与平面BCC1B1所成角的平面角.
∵ AM=62−32=33，B1M=62+32=35，
在Rt△AB1M中，∠AMB1=90∘，
∴ tan∠AB1M=AMB1M=3335=155.
故答案为：155.
【答案】
45
【考点】
数列的求和
直线的截距式方程
【解析】
利用裂项相消法求出Sn，由Sn=910求出n值，从而得到直线方程，易求该直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式可得答案．
【解答】
解：an=1n(n+1)=1n−1n+1，
则Sn=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1，
由Sn=910，可得1−1n+1=910，解得n=9，
所以直线方程为x10+y9=1.
令x=0得y=9，令y=0得x=10，
所以直线x10+y9=1与坐标轴围成的三角形面积为12×10×9=45．
故答案为：45.
三、解答题
【答案】
解：1∵ kx−y+1+2k=0可化为y=kx+2+1，
∴ 直线l恒过定点−2,1.
2由题意，得k>0，
令y=0，则x=−1+2kk；
令x=0，则y=1+2k，
即直线与两坐标轴交点分别为−1+2kk,0和0,1+2k，
故S=12×1+2kk×1+2k=92，
解得k=1或14.
故k的值为1或14.
【考点】
各直线方程式之间的转化
两条直线的交点坐标
【解析】
1直接配成点斜式，即可得出答案；
2直接求出交点，利用面积构造方程，解出即可.
【解答】
解：1∵ kx−y+1+2k=0可化为y=kx+2+1，
∴ 直线l恒过定点−2,1.
2由题意，得k>0，
令y=0，则x=−1+2kk；
令x=0，则y=1+2k，
即直线与两坐标轴交点分别为−1+2kk,0和0,1+2k，
故S=12×1+2kk×1+2k=92，
解得k=1或14.
故k的值为1或14.
【答案】
解：(1)由茎叶图可知A等有8人，B等有12人，
故从A等中抽取的人数为5×820=2（人），
从B等中抽取的人数为5×1220=3（人）.
(2)记A等中抽取的两人为a，b，B等中抽取的3人为1，2，3，
则从“创新团队”中抽取2人所有可能的结果有
(a, b)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，(b, 1)，(b, 2)，
(b, 3)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 3)，共10种，
其中至少有1人是A等的结果有(a, b)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，
(b, 1)，(b, 2)，(b, 3)，共7种，
∴ 所求概率为P=710．
【考点】
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（2）用分层抽样可得A、B分别抽取到的人数为2人、3人，分别记为a、b，和1、2、3，列举可得总的基本事件共10个，其中至少有1人是A等有7个，由概率公式可得．
【解答】
解：(1)由茎叶图可知A等有8人，B等有12人，
故从A等中抽取的人数为5×820=2（人），
从B等中抽取的人数为5×1220=3（人）.
(2)记A等中抽取的两人为a，b，B等中抽取的3人为1，2，3，
则从“创新团队”中抽取2人所有可能的结果有
(a, b)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，(b, 1)，(b, 2)，
(b, 3)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 3)，共10种，
其中至少有1人是A等的结果有(a, b)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，
(b, 1)，(b, 2)，(b, 3)，共7种，
∴ 所求概率为P=710．
【答案】
证明：(1)如图，设DF的中点为N，连接MN，AN.
∵ M是FC的中点，N是DF的中点，
∴ MN//CD，MN=12CD，
∴ MNAO为平行四边形，
∴ OM//AN，
又∵ AN⊂平面DAF，OM⊄ 平面DAF，
∴ OM//平面DAF.
(2)由矩形的性质可知AB⊥BC，
又平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴ CB⊥平面ABEF，
又∵ AF⊂平面ABEF，
∴ AF⊥CB.
∵ AB为圆O的直径，
∴ AF⊥BF，
又CB∩BF=B，CB⊂平面CBF，BF⊂平面CBF,
∴ AF⊥平面CBF．
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)如图，设DF的中点为N，连接MN，AN.
∵ M是FC的中点，N是DF的中点，
∴ MN//CD，MN=12CD，
∴ MNAO为平行四边形，
∴ OM//AN，
又∵ AN⊂平面DAF，OM⊄ 平面DAF，
∴ OM//平面DAF.
(2)由矩形的性质可知AB⊥BC，
又平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴ CB⊥平面ABEF，
又∵ AF⊂平面ABEF，
∴ AF⊥CB.
∵ AB为圆O的直径，
∴ AF⊥BF，
又CB∩BF=B，CB⊂平面CBF，BF⊂平面CBF,
∴ AF⊥平面CBF．
【答案】
解：(1)由正弦定理及2b=3asinB+bcsA，
可得2=3sinA+csA，
即sin(A+π6)=1.
因0∴ π6∴ A+π6=π2，
∴ A=π3.
(2)设BD=CD=x，则BC=2x，
由csA=b2+16−(2x)28b=12，
可得4x2=b2−4b+16 ①.
因为∠ADB=180∘−∠ADC，
所以cs∠ADB+cs∠ADC=0，
由7+x2−1627x+7+x2−b227x=0，
可推出2x2=b2+2 ②.
联立①②得b2+4b−12=0，解得b=2（负值舍去），
因此S△ABC=12bcsinA=12×2×4×32=23.
【考点】
正弦定理
三角形的面积公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理及2b=3asinB+bcsA，
可得2=3sinA+csA，
即sin(A+π6)=1.
因0∴ π6∴ A+π6=π2，
∴ A=π3.
(2)设BD=CD=x，则BC=2x，
由csA=b2+16−(2x)28b=12，
可得4x2=b2−4b+16 ①.
因为∠ADB=180∘−∠ADC，
所以cs∠ADB+cs∠ADC=0，
由7+x2−1627x+7+x2−b227x=0，
可推出2x2=b2+2 ②.
联立①②得b2+4b−12=0，解得b=2（负值舍去），
因此S△ABC=12bcsinA=12×2×4×32=23.
【答案】
解：(1)方程x2−5x+6=0的根为2，3，
又{an}是递增的等差数列，
故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=12，
故an=2+(n−2)×12=12n+1.
(2)设数列{an2n}的前n项和为Sn，
由(1)得an2n=2+n2n+1，
Sn=322+423+524+…+2+n2n+1，①
12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2，②
①−②得12Sn=34+(123+124+125+…+12n+1)−n+22n+2
=1−12n+1−n+22n+2，
∴Sn=2−12n−n+22n+1=2−n+42n+1．
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
(1)解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；
(2)将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
【解答】
解：(1)方程x2−5x+6=0的根为2，3，
又{an}是递增的等差数列，
故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=12，
故an=2+(n−2)×12=12n+1.
(2)设数列{an2n}的前n项和为Sn，
由(1)得an2n=2+n2n+1，
Sn=322+423+524+…+2+n2n+1，①
12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2，②
①−②得12Sn=34+(123+124+125+…+12n+1)−n+22n+2
=1−12n+1−n+22n+2，
∴Sn=2−12n−n+22n+1=2−n+42n+1．
【答案】
解：(1)存在点M为AC′的中点时，OM//平面C′BE. 证明如下：
取AC′的中点M，AB的中点N，连接OM，ON，MN.
因为ON//BE，ON⊄平面C′BE，BE⊂平面C′BE，
所以ON//平面C′BE.
因为MN//BC′，MN⊄平面C′BE，BC′⊂平面C′BE，
所以MN//平面C′BE.
又因为MN∩ON=N，
所以平面OMN//平面C′BE，
所以OM//平面C′BE.
(2)由于S四边形ABED=S等腰梯形ABCD−S△CDE
=2+4×32−34×4=23为定值，
故当平面C′DE⊥平面ABED时，四棱锥C′−ABED的体积最大.
连接C′O，易得C′O⊥DE，
故C′O⊥平面ABED，C′O=3，
故V四棱锥C′−ABED=13×S四边形ABED×C′O=2.
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
【解答】
解：(1)存在点M为AC′的中点时，OM//平面C′BE. 证明如下：
取AC′的中点M，AB的中点N，连接OM，ON，MN.
因为ON//BE，ON⊄平面C′BE，BE⊂平面C′BE，
所以ON//平面C′BE.
因为MN//BC′，MN⊄平面C′BE，BC′⊂平面C′BE，
所以MN//平面C′BE.
又因为MN∩ON=N，
所以平面OMN//平面C′BE，
所以OM//平面C′BE.
(2)由于S四边形ABED=S等腰梯形ABCD−S△CDE
=2+4×32−34×4=23为定值，
故当平面C′DE⊥平面ABED时，四棱锥C′−ABED的体积最大.
连接C′O，易得C′O⊥DE，
故C′O⊥平面ABED，C′O=3，
故V四棱锥C′−ABED=13×S四边形ABED×C′O=2.
1. 设集合A={x|−12
2. 下列命题中，正确命题的个数是( )
①在圆柱上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线就是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
A.0 B.1C.2 D.3
3. 已知向量a→=(1, 2)，b→=(1, 0)，c→=(4, −3)．若λ为实数，(a→+λb→)⊥c→，则λ=( )
A.14B.12C.1D.2
4. 一个菱形的边长为4cm，一内角为60∘，用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为( )
A.23cm2B.26cm2C.46cm2D.83cm2
5. 若将函数y=2sin(2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )
A.y=2sin(2x+π4)B.y=2sin(2x+π3)C.y=2sin(2x−π4)D.y=2sin(2x−π3)
6. 已知三条直线l，m，n，三个平面α，β，γ，有以下三个命题：
①α⊥β，β⊥γ⇒α⊥γ；②l⊥m，l⊥n⇒m//n；③α⊥β，α∩β=l，m⊥l⇒m⊥β
其中正确命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
7. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a5=4，S15=60，则a20=( )
A.4B.6C.10D.12
8. 已知函数满足fx+5=−fx，当x∈0,5时， fx=x2−x，则f2016=( )
A.−12B.−16C.−20D.0
9. 已知x>−2，则x+4x+2的最小值是( )
A.2B.4C.22D.6
10. 已知直线l经过A(2, 1)，B(1, m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.[0, π)B.[0, π4]∪(π2, π)C.[0, π4]D.[π4, π2)∪(π2, π)
11. 我国古代数学名著《九章算术》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量为( )寸.
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A.2B.3C.4D.5
12. 已知三棱锥P−ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P−ABC的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.16π3B.40π3C.64π3D.80π3
二、填空题
直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−2=0平行，则m的值为________．
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=3，AD=4，AA1=2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值为________.
在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，AA1=AB=6，则AB1与平面BCC1所成角的正切值为________.
已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+1)(n∈N∗)，其前n项和Sn=910，则直线xn+1+yn=1与坐标轴围成的三角形面积为________.
三、解答题
已知xOy平面上的直线l:kx−y+1+2k=0，k∈R.
(1)求直线l恒过定点的坐标；
(2)直线l与x轴负半轴和y轴正半轴所围成的三角形面积为92，求k的值．
某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．
(1)如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A等和B等中分别抽几人？
(2)在(1)问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率．
如图所示，AB为圆O的直径，点F在圆O上，且AB//EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．
(1)设FC的中点为M，求证：OM//平面DAF；
(2)求证：AF⊥平面CBF．
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b=3asinB+bcsA，c=4.
(1)求A；
(2)若D是BC的中点，AD=7，求△ABC的面积.
已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an2n}的前n项和．
如图，四边形ABCD为等腰梯形，且AD//BC，E为BC的中点，AB=AD=BE．现沿DE将△CDE折起成四棱锥C′−ABED，点O为ED的中点．
(1)在棱AC′上是否存在一点M，使得OM//平面C′BE？并证明你的结论；
(2)若AB=2，求四棱锥C′−ABED的体积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省淮南市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
并集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
根据题意，分析集合B，解x2≤1，可得集合B，再求A、B的并集可得答案．
【解答】
解：∵ A={x|−12
故选A．
2.
【答案】
A
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
利用圆锥，圆柱．圆台的特征，判断选项的正误即可．
【解答】
解：在①中，由于圆柱的母线相互平行且与上下底面的圆心的连线平行，
故上、下底面中任两点的连线不一定是母线，故①错误；
在②中，直角三角形绕其任一直角边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥，
绕斜边旋转所形成的几何体是两个圆锥的组合体，故②错误；
在③中，棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故③错误．
综上所述，正确的个数是0个.
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积的坐标表达式
平面向量的坐标运算
【解析】
由题意可得a→+λb→=(1+λ, 0)，由垂直可得数量积为0，可得λ的方程，解方程可得．
【解答】
解：∵ a→=(1, 2)，b→=(1, 0)，c→=(4, −3)．
∴ a→+λb→=(1+λ, 2)
∵ (a→+λb→)⊥c→，
∴ 4(1+λ)−3×2=0，
解得λ=12.
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
平面图形的直观图
【解析】
求出直观图面积，由原图和直观图的面积的关系S原图:S直观图=22:1，直接求解即可．
【解答】
解：由题意可知：S原图=S菱形=2×12×4×4×sin60∘=83(cm2)，
又因为S原图:S直观图=22:1，
所以直观图的面积为S直观图=26cm2．
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2(x−π4)+π6]，化简整理即可得到所求函数式．
【解答】
解：函数y=2sin(2x+π6)的周期为T=2π2=π，
由题意即为函数y=2sin(2x+π6)的图像向右平移π4个单位，
可得图像对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6]，
即有y=2sin(2x−π3)．
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
命题的真假判断与应用
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据空间中直线与平面的位置关系，逐个判断各个命题的真假，即可得出答案.
【解答】
解：①a⊥β，β⊥γ⇒α与γ相交或平行，不一定垂直，故①不正确；
②l⊥m，l⊥n⇒m与n相交、平行或异面，故②不正确；
③a⊥β，a∩β=l，m⊥l⇒m与β相交，但不一定垂直，故③不正确.
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式．
【解答】
解：设数列{an}的公差为d.
由题意，得a3+a5=2a1+6d=4，S15=15a1+105d=60，
解得a1=12，d=12，
故a20=a1+19d=10．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
函数的周期性
【解析】
由fx+10=−fx+5=fx，得f2016=f6=−f1=−12−1=0由此能求出结果．
【解答】
解：因为fx+5=−fx，
所以fx+10=−fx+5=fx，
所以fx是以10为周期的函数，
因为当x∈0,5时，fx=x2−x，
所以f(2016)=f(6)=−f(1)=−(12−1)=0.
故选D．
9.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
将x+4x+2转化成x+2+4x+2−2，然后利用基本不等式即可求出所求，注意等号成立的条件．
【解答】
解：∵ x∈(−2, +∞)，
∴ x+2>0，
∴ x+4x+2=x+2+4x+2−2
≥2(x+2)×4x+2−2=2，
当且仅当x+2=4x+2，即x=0时取等号，
∴ x+4x+2的最小值为2．
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围．
【解答】
解：∵ 直线l过A(2, 1)，B(1, m2)两点(m∈R)，
∴ 直线l的斜率为k=m2−11−2=1−m2≤1，
∴ tanα≤1，且α∈[0, π)，
∴ 倾斜角α的取值范围是[0, π4]∪(π2, π)．
故选B.
11.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．
【解答】
解：由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，积水深9寸，
∴ 水面半径为12(14+6)=10(寸)，
则盆中水的体积为13π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸)，
∴ 平地降雨量为588ππ×142=3(寸)．
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．
【解答】
解：根据题意作出图形，
设球心为O，球的半径为r，过ABC三点的小圆的圆心为O1，
则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．
∵ CO1=433，
∴ OO1=r2−163，
∴ 高PD=2OO1=2r2−163.
∵ △ABC是边长为4的等边三角形，
∴ S△ABC=34×42=43，
∴ V三棱锥P−ABC=13×43×2r2−163=163，
∴ r2=203，
则球O的表面积为4πr2=80π3.
故选D.
二、填空题
【答案】
−3或2
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．
【解答】
解：∵ 直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−2=0平行，
∴ −2m+1=−m3，
解得m=2或m=−3.
故答案为：−3或2.
【答案】
8525
【考点】
余弦定理
异面直线及其所成的角
【解析】
根据长方体相对的平面上的两条对角线平行，得到两条异面直线所成的角，这个角在一个可以求出三边的三角形中，利用余弦定理得到结果．
【解答】
解：由题意可得：AB=3，AD=4，AA1=2，
因为B C1// AD1，
所以∠CAD1是异面直线AC和BC1所成的角，记为θ，
又AC=9+16=5，AD1=16+4=25，CD1=9+4=13，
故csθ = AC2 + AD12 − CD122AC ⋅ AD1 = 25 + 20 − 132 × 5 × 25 = 8525．
故答案为：8525.
【答案】
155
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
利用条件，构造线面角的平面角，即可求出答案.
【解答】
解：如图，取BC的中点M，连结AM，B1M.
∵ △ABC为正三角形，M是BC的中点，
∴ AM⊥BC.
∵ AA1⊥平面ABC，
∴ BB1⊥平面ABC.
又AM⊂平面ABC，
∴ AM⊥BB1，
∴ AM⊥平面BCC1B1，
∴ ∠AB1M为直线AB1与平面BCC1B1所成角的平面角.
∵ AM=62−32=33，B1M=62+32=35，
在Rt△AB1M中，∠AMB1=90∘，
∴ tan∠AB1M=AMB1M=3335=155.
故答案为：155.
【答案】
45
【考点】
数列的求和
直线的截距式方程
【解析】
利用裂项相消法求出Sn，由Sn=910求出n值，从而得到直线方程，易求该直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式可得答案．
【解答】
解：an=1n(n+1)=1n−1n+1，
则Sn=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1，
由Sn=910，可得1−1n+1=910，解得n=9，
所以直线方程为x10+y9=1.
令x=0得y=9，令y=0得x=10，
所以直线x10+y9=1与坐标轴围成的三角形面积为12×10×9=45．
故答案为：45.
三、解答题
【答案】
解：1∵ kx−y+1+2k=0可化为y=kx+2+1，
∴ 直线l恒过定点−2,1.
2由题意，得k>0，
令y=0，则x=−1+2kk；
令x=0，则y=1+2k，
即直线与两坐标轴交点分别为−1+2kk,0和0,1+2k，
故S=12×1+2kk×1+2k=92，
解得k=1或14.
故k的值为1或14.
【考点】
各直线方程式之间的转化
两条直线的交点坐标
【解析】
1直接配成点斜式，即可得出答案；
2直接求出交点，利用面积构造方程，解出即可.
【解答】
解：1∵ kx−y+1+2k=0可化为y=kx+2+1，
∴ 直线l恒过定点−2,1.
2由题意，得k>0，
令y=0，则x=−1+2kk；
令x=0，则y=1+2k，
即直线与两坐标轴交点分别为−1+2kk,0和0,1+2k，
故S=12×1+2kk×1+2k=92，
解得k=1或14.
故k的值为1或14.
【答案】
解：(1)由茎叶图可知A等有8人，B等有12人，
故从A等中抽取的人数为5×820=2（人），
从B等中抽取的人数为5×1220=3（人）.
(2)记A等中抽取的两人为a，b，B等中抽取的3人为1，2，3，
则从“创新团队”中抽取2人所有可能的结果有
(a, b)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，(b, 1)，(b, 2)，
(b, 3)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 3)，共10种，
其中至少有1人是A等的结果有(a, b)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，
(b, 1)，(b, 2)，(b, 3)，共7种，
∴ 所求概率为P=710．
【考点】
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（2）用分层抽样可得A、B分别抽取到的人数为2人、3人，分别记为a、b，和1、2、3，列举可得总的基本事件共10个，其中至少有1人是A等有7个，由概率公式可得．
【解答】
解：(1)由茎叶图可知A等有8人，B等有12人，
故从A等中抽取的人数为5×820=2（人），
从B等中抽取的人数为5×1220=3（人）.
(2)记A等中抽取的两人为a，b，B等中抽取的3人为1，2，3，
则从“创新团队”中抽取2人所有可能的结果有
(a, b)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，(b, 1)，(b, 2)，
(b, 3)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 3)，共10种，
其中至少有1人是A等的结果有(a, b)，(a, 1)，(a, 2)，(a, 3)，
(b, 1)，(b, 2)，(b, 3)，共7种，
∴ 所求概率为P=710．
【答案】
证明：(1)如图，设DF的中点为N，连接MN，AN.
∵ M是FC的中点，N是DF的中点，
∴ MN//CD，MN=12CD，
∴ MNAO为平行四边形，
∴ OM//AN，
又∵ AN⊂平面DAF，OM⊄ 平面DAF，
∴ OM//平面DAF.
(2)由矩形的性质可知AB⊥BC，
又平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴ CB⊥平面ABEF，
又∵ AF⊂平面ABEF，
∴ AF⊥CB.
∵ AB为圆O的直径，
∴ AF⊥BF，
又CB∩BF=B，CB⊂平面CBF，BF⊂平面CBF,
∴ AF⊥平面CBF．
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)如图，设DF的中点为N，连接MN，AN.
∵ M是FC的中点，N是DF的中点，
∴ MN//CD，MN=12CD，
∴ MNAO为平行四边形，
∴ OM//AN，
又∵ AN⊂平面DAF，OM⊄ 平面DAF，
∴ OM//平面DAF.
(2)由矩形的性质可知AB⊥BC，
又平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴ CB⊥平面ABEF，
又∵ AF⊂平面ABEF，
∴ AF⊥CB.
∵ AB为圆O的直径，
∴ AF⊥BF，
又CB∩BF=B，CB⊂平面CBF，BF⊂平面CBF,
∴ AF⊥平面CBF．
【答案】
解：(1)由正弦定理及2b=3asinB+bcsA，
可得2=3sinA+csA，
即sin(A+π6)=1.
因0
∴ A=π3.
(2)设BD=CD=x，则BC=2x，
由csA=b2+16−(2x)28b=12，
可得4x2=b2−4b+16 ①.
因为∠ADB=180∘−∠ADC，
所以cs∠ADB+cs∠ADC=0，
由7+x2−1627x+7+x2−b227x=0，
可推出2x2=b2+2 ②.
联立①②得b2+4b−12=0，解得b=2（负值舍去），
因此S△ABC=12bcsinA=12×2×4×32=23.
【考点】
正弦定理
三角形的面积公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理及2b=3asinB+bcsA，
可得2=3sinA+csA，
即sin(A+π6)=1.
因0
∴ A=π3.
(2)设BD=CD=x，则BC=2x，
由csA=b2+16−(2x)28b=12，
可得4x2=b2−4b+16 ①.
因为∠ADB=180∘−∠ADC，
所以cs∠ADB+cs∠ADC=0，
由7+x2−1627x+7+x2−b227x=0，
可推出2x2=b2+2 ②.
联立①②得b2+4b−12=0，解得b=2（负值舍去），
因此S△ABC=12bcsinA=12×2×4×32=23.
【答案】
解：(1)方程x2−5x+6=0的根为2，3，
又{an}是递增的等差数列，
故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=12，
故an=2+(n−2)×12=12n+1.
(2)设数列{an2n}的前n项和为Sn，
由(1)得an2n=2+n2n+1，
Sn=322+423+524+…+2+n2n+1，①
12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2，②
①−②得12Sn=34+(123+124+125+…+12n+1)−n+22n+2
=1−12n+1−n+22n+2，
∴Sn=2−12n−n+22n+1=2−n+42n+1．
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
(1)解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；
(2)将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
【解答】
解：(1)方程x2−5x+6=0的根为2，3，
又{an}是递增的等差数列，
故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=12，
故an=2+(n−2)×12=12n+1.
(2)设数列{an2n}的前n项和为Sn，
由(1)得an2n=2+n2n+1，
Sn=322+423+524+…+2+n2n+1，①
12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2，②
①−②得12Sn=34+(123+124+125+…+12n+1)−n+22n+2
=1−12n+1−n+22n+2，
∴Sn=2−12n−n+22n+1=2−n+42n+1．
【答案】
解：(1)存在点M为AC′的中点时，OM//平面C′BE. 证明如下：
取AC′的中点M，AB的中点N，连接OM，ON，MN.
因为ON//BE，ON⊄平面C′BE，BE⊂平面C′BE，
所以ON//平面C′BE.
因为MN//BC′，MN⊄平面C′BE，BC′⊂平面C′BE，
所以MN//平面C′BE.
又因为MN∩ON=N，
所以平面OMN//平面C′BE，
所以OM//平面C′BE.
(2)由于S四边形ABED=S等腰梯形ABCD−S△CDE
=2+4×32−34×4=23为定值，
故当平面C′DE⊥平面ABED时，四棱锥C′−ABED的体积最大.
连接C′O，易得C′O⊥DE，
故C′O⊥平面ABED，C′O=3，
故V四棱锥C′−ABED=13×S四边形ABED×C′O=2.
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
【解答】
解：(1)存在点M为AC′的中点时，OM//平面C′BE. 证明如下：
取AC′的中点M，AB的中点N，连接OM，ON，MN.
因为ON//BE，ON⊄平面C′BE，BE⊂平面C′BE，
所以ON//平面C′BE.
因为MN//BC′，MN⊄平面C′BE，BC′⊂平面C′BE，
所以MN//平面C′BE.
又因为MN∩ON=N，
所以平面OMN//平面C′BE，
所以OM//平面C′BE.
(2)由于S四边形ABED=S等腰梯形ABCD−S△CDE
=2+4×32−34×4=23为定值，
故当平面C′DE⊥平面ABED时，四棱锥C′−ABED的体积最大.
连接C′O，易得C′O⊥DE，
故C′O⊥平面ABED，C′O=3，
故V四棱锥C′−ABED=13×S四边形ABED×C′O=2.
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