2020-2021学年安徽省淮南市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省淮南市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若双曲线方程为x2−2y2=1，则它的右焦点坐标为( )
A.(22，0)B.(52，0)C.(62，0)D.(3，0)

2. 已知两个平面α，β，直线l⊂α，则“l // β”是“α // β”的( )
A.充分必要条件B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件

3. 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为( )
A.(3+1)πB.4πC.5πD.3π

4. 命题p：方程x25−m+y2m−1=1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是( )
A.31

5. 已知半径为1的球被截去一部分后几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（ ）

A.7π6B.4π3C.πD.3π

6. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m, −3)到焦点的距离为5，则抛物线方程是( )
A.x2=8yB.x2=4yC.x2=−4yD.x2=−8y

7. 设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若l // α，l // β，则α // βB.若l // α，l⊥β，则α⊥β
C.若α⊥β，l⊥α，则l // βD.若α⊥β，l // α，则l⊥β

8. 下列结论错误的是( )
A.命题“若x2−3x−4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2−3x−4≠0”
B.“x=4”是“x2−3x−4=0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”

9. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是( )

A.MN//平面ADD1A1
B.MN⊥AB
C.直线MN与平面ABCD所成角为45∘
D.异面直线MN与DD1所成角为60∘

10. 已知条件p:4x−1≤−1，条件q:x2+x≤a2−a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A.[−1, 2]B.[12, 2]
C.[−2, −12]D.(−2, 12]∪[2, +∞)

11. 已知双曲线M:x2a2−y2b2=1b>a>0的焦距为2c，若M的渐近线上存在点T，使得经过点T所作的圆x−c2+y2=a2的两条切线互相垂直，则双曲线M的离心率的取值范围是( )
A.(1,2]B.(2,3]C.(2,5]D.(3,5]

12. 椭圆y2100+x236=1 的上、下焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为4π，A，B两点的坐标分别为x1,y1和x2,y2，则|x2−x1|的值是( )
A.5B.103C.203D.8
二、填空题

命题“若abc=0，则a，b，c中至少有一个为零”的否命题是________.

已知双曲线经过点1,22，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为________．

设F1，F2分别是椭圆x225+y216=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6, 4)，则|PM|+|PF1|的最大值为________．

已知P，A，B，C是球面上的四点，其中PA过球心， AB=BC=2，AC=23，三棱锥P−ABC的体积是2153，则该球的表面积是________.
三、解答题


(1)若△ABC的两个顶点坐标A−4,0，B4,0，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程；

(2)求经过点P1,1和Q−2,5的双曲线的标准方程．

已知 p:∀x∈R,mx2+1>0，q:∃x∈R ，x2+mx+1≤0.
(1)写出命题p的否定 ¬p；命题q的否定 ¬q；

(2)若 (¬p)∨(¬q) 为真命题，求实数m的取值范围.

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥PA，PB=PA，∠DAB=∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，CD=5，M是PA的中点．

(1)求证：BM / /平面PCD；

(2)求三棱锥B−CDM的体积．

已知椭圆C：x24+y29=1，直线l:y=32x+m.
(1)当直线l与椭圆C相交时，求m的取值范围；

(2)当直线l与椭圆C相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点的轨迹方程.

如图，已知矩形ABCD中， AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使DB=3.

(1)求证：平面AOD⊥平面ABCO；

(2)求CB与平面BOD所成角的余弦值．

已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x2=83y的焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P(2, 3)，Q(2,−3)在椭圆上，点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省淮南市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
把双曲线方程化为标准方程可分别求得a和b，进而根据c=a2+b2求得c，焦点坐标可得．
【解答】
解：双曲线中a2=1，b2=12，
∴ c2=a2+b2=32，c=62，
∴ 右焦点为(62，0)．
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
“l // β”⇒“α与β相交或平行”，“α // β”⇒“l // β”．由此能求出结果．
【解答】
解：已知两个平面α，β，直线l⊂α，
若“l // β”可得“α与β相交或平行”，
若“α // β”可得“l // β”，
∴ 已知两个平面α，β，直线l⊂α，则“l // β”是“α // β”的必要而不充分条件．
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
利用轴截面为正三角形，很容易得到底面半径，母线长，代入公式求得底面积和侧面积，得解．
【解答】
解：如图，
圆锥的轴截面ABC为正三角形，边长为2，
故底面半径r=1，母线长l=2，
S底=πr2=π，
S侧=πrl=2π，
∴ 圆锥表面积为3π.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
椭圆的定义
【解析】
由方程表示椭圆求得范围，由充分不必要条件得答案.
【解答】
解：因为方程x25−m+y2m−1=1表示焦点在y轴上的椭圆，
所以 5−m>0，m−1>0，m−1>5−m，
解得3因为4,5⊂3,5，
所以使命题p成立的充分不必要条件是B.
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
由三视图求体积
【解析】
由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状为：半径为1的球截去14，代入球的体积公式，即可得到答案．
【解答】
解：由三视图可知，该几何体的形状为：半径为1的球截去14.
球的体积为43π×13=43π，
截去14后体积为43π−43π×14=π．
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
根据p点纵坐标为−3可知抛物线开口向下，设抛物线的标准方程，根据抛物线的方程可知3+p2=5求得p，进而可得到抛物线方程，把A点纵坐标代入方程，可求得P点的横坐标．
【解答】
解：设抛物线方程为x2=−2py，
根据抛物线的定义可知3+p2=5，
解得：p=4，
∴ 抛物线方程为x2=−8y.
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
在A中，α与β相交或平行；在B中，l与β相交、平行或l⊂β；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】
解：由l是直线，α和β是两个不同的平面，知：
在A中：若l // α，l // β，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中：若l // α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；
在C中：若α⊥β，l⊥α，则l与β平行或l⊂β，故C错误；
在D中：若α⊥β，l // α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
四种命题的真假关系
【解析】
命题“若x2−3x−4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2−3x−4≠0；“x=4”是“x2−3x−4=0”的充分条件；命题“若m>0，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．
【解答】
解：命题“若x2−3x−4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2−3x−4≠0”，故A正确；
由“x=4”可得“x2−3x−4=0”，
由“x2−3x−4=0”可得“x=4或x=−1”，
∴ “x=4”是“x2−3x−4=0”的充分条件，故B正确；
∵ 若方程x2+x−m=0有实根，则Δ=1+4m≥0，解得m≥−14，
∴ “若方程x2+x−m=0有实根，则m>0”，是假命题，
即命题“若m>0，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为假命题，故C不正确；
命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
直线与平面所成的角
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
异面直线及其所成的角
【解析】
本小题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力.
【解答】
解：如图，
连结BD，A1D，
由M，N分别为AC，A1B的中点知MN//A1D，
选项A，B，C均正确；
而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，
应为45∘.
故选 D.
10.
【答案】
A
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
先解出条件p中的不等式：−3≤x<1，条件q中的不等式变成：(x+a)(x+1−a)<0；根据已知条件知道：若￢p，则￢q，它的逆否命题成立：若q，则p．所以条件q中的不等式的解集是条件p中不等式解集的真子集，这时候讨论a，根据真子集的概念即可求出a的取值范围．
【解答】
解：由4x−1≤−1，
解得−3≤x<1.
不等式x2+x≤a2−a可化为：(x+a)(x+1−a)≤0.
根据已知条件知，¬p是¬q的充分不必要条件，即若¬p，则¬q，
∴ 该命题的逆否命题为若q，则p.
若−a≥a−1，则不等式(x+a)(x+1−a)≤0的解是a−1≤x≤−a，
∴ a−1≥−3，−a≤1，
解得：−1≤a≤12；
若−a∴ −a≥−3，a−1≤1，
解得：12∴ a的取值范围是[−1, 2]．
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由双曲线与圆的位置关系，由双曲线的简单几何性质求离心率的范围.
【解答】
解：因为b>a>0，
所以离心率e=ca=1+ba2>2.
由题意得，圆x−c2+y2=a2是以Fc,0为圆心，半径r=a的圆.
要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直，
必有|TF|=2a，
而焦点Fc,0到双曲线渐近线的距离为b，
所以|TF|=2a≥b，即ba≤2，
所以e=ca=1+ba2≤3，
所以双曲线M的离心率的取值范围是2,3.
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
椭圆中的平面几何问题
【解析】
求出椭圆的焦点坐标，结合椭圆的定义，通过三角形的面积转化求解即可．
【解答】
解：根据题意得， a=10，b=6，
由勾股定理得，c=8，
∴ 上、下焦点分别为F10，8，F20,−8.
∵ △ABF2的内切圆周长为4π，
∴ 内切圆的半径为r=2.
∵ S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2，
∴ 12x1F1F2+12x2F1F2
=12x1+x2F1F2
=8x1−x2.
又S△ABF2=12×r|AB|+|BF2|+|F2A|
=12×22a+2a
=4a=40，
∴ |x2−x1|=5.
故选A.
二、填空题
【答案】
若abc≠0，则a，b，c全不为零
【考点】
四种命题的定义
【解析】
否命题：一个命题的条件和结论，恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，解答即可．
【解答】
解：命题“若abc=0，则a，b，c中至少有一个为零”的否命题是“若abc≠0，则a，b，c全不为零”.
故答案为：若abc≠0，则a，b，c全不为零.
【答案】
y24−x2=1
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，b=2a，
设双曲线方程为x2−y24=λλ≠0．
因为点1,22在双曲线上，
则有1−2224=λ，
解得λ=−1，
所以双曲线的标准方程为y24−x2=1．
故答案为：y24−x2=1．
【答案】
15
【考点】
椭圆的定义
三点共线
【解析】
由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|＝2a+|PM|−|PF2|≤2a+|MF2|，由此可得结论．
【解答】
解：由题意F2(3, 0)，|MF2|=5，
由椭圆的定义可得，
|PM|+|PF1|=2a+|PM|−|PF2|=10+|PM|−|PF2|≤10+|MF2|=15，
当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，此时点P位于椭圆的下半部分.
故答案为：15.
【答案】
36π
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
由题可知球心O为PA中点，设O到平面ABC的距离为h，根据已知条件利用余弦定理求出csB=4+4−122×2×2=−12,即可得到sinB=32，利用正弦定理求出△ABC外接圆半径r，
r=2，即可得到P到平面ABC的距离为2h=2R2−22，再根据三棱锥P−ABC的体积求出R=3，即可得解该球的表面积为4π2=36π.
【解答】
解：∵ AP为三棱锥外接球的直径，
故球心O为PA中点，作BD⊥AC，垂足为D，设O1为△ABC的外接圆圆心，
∵ AB=BC，∴ O1定在射线BD上,
∵ AB=BC=2，AC=23,
∴ CD=3，BD=1，
设△ABC外接圆半径为r，
则有r2=(r−1)2+(3)2，
解得，r=2.
设三棱锥外接球半径为R，则OO1=R2−22，
故P到平面ABC的距离为2OO1=2R2−22，
所以三棱锥P−ABC的体积为
V=13S△ABC⋅2OO1
=13×12×23×1×2R2−4=2153，
解得R=3，
所以该球的表面积为4πR2=36π.
故答案为：36π.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10且大于两定点间的距离，
所以顶点C的轨迹为椭圆.
由题意得，2a=10，2c=8，
所以a=5，c=4，b2=a2−c2=9，
故顶点C的轨迹方程为x225+y29=1.
因为A，B，C三点构成三角形，
所以y≠0，
即顶点C的轨迹方程为x225+y29=1y≠0.
(2)设所求的双曲线的方程为mx2+ny2=1(m<0).
∵ 双曲线过P1,1 ，Q−2,5，
∴ m+n=1，4m+25n=1，
解得m=87，n=−17，
∴ 所求的双曲线的标准方程为x278−y27=1.
【考点】
轨迹方程
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
【解析】
（1）根据椭圆的定义可知该轨迹是椭圆方程；
（2）通过待定系数法求双曲线的方程.
【解答】
解：(1)因为顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10且大于两定点间的距离，
所以顶点C的轨迹为椭圆.
由题意得，2a=10，2c=8，
所以a=5，c=4，b2=a2−c2=9，
故顶点C的轨迹方程为x225+y29=1.
因为A，B，C三点构成三角形，
所以y≠0，
即顶点C的轨迹方程为x225+y29=1y≠0.
(2)设所求的双曲线的方程为mx2+ny2=1(m<0).
∵ 双曲线过P1,1 ，Q−2,5，
∴ m+n=1，4m+25n=1，
解得m=87，n=−17，
∴ 所求的双曲线的标准方程为x278−y27=1.
【答案】
解：(1)全称命题的否定是特称命题，
所以¬p为：∃x0∈R，mx02+1≤0，
特称命题的否定是全称命题，
所以¬q为：∀x∈R，x2+mx+1>0.
(2)由题意知， ¬p 真或 ¬q 真，
当 ¬p 真时， m<0 ；
当¬q真时， Δ=m2−4<0 ，解得−2因此，当 ¬p∨¬q 为真命题时， m<2.
【考点】
全称命题与特称命题
命题的否定
命题的真假判断与应用
逻辑联结词“或”“且”“非”
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)全称命题的否定是特称命题，
所以¬p为：∃x0∈R，mx02+1≤0，
特称命题的否定是全称命题，
所以¬q为：∀x∈R，x2+mx+1>0.
(2)由题意知， ¬p 真或 ¬q 真，
当 ¬p 真时， m<0 ；
当¬q真时， Δ=m2−4<0 ，解得−2因此，当 ¬p∨¬q 为真命题时， m<2.
【答案】
(1)证明：如图所示，取PD中点N，连接MN，NC，作CH⊥AD交AD于点H.
∵ M为PA的中点，
∴ MN为△PAD的中位线，
∴ MN / /AD且MN=12AD.
∵ ∠DAB=∠ABC=90∘，CH⊥AD，
∴ 四边形ABCH为矩形，
∴ AH=BC=3.
又CH=AB=4，CD=5，
∴ HD=3，
∴ BC / /AD且BC=12AD，
∴ MN / /BC且MN=BC，
则BMNC为平行四边形，
∴ BM / /NC.
又∵ NC⊂平面PCD，$BM\peratrname{\subset\nt{}}$平面PCD，
∴ BM / /平面PCD．
(2)解：过M作AB的垂线，垂足为M′，取AB中点P′，连结PP′，
∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，MM′⊂平面PAB，
∴ MM′⊥平面ABCD，
∴ MM′为三棱锥M−BCD的高.
∵ PA=PB， P′为AB中点，
∴ PP′⊥AB.
∵ AB=4，∠BPA=90∘，PB=PA，
∴ △PAB为等腰直角三角形， PP′=2.
∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PP′⊂平面PAB，
∴ PP′⊥平面ABCD，
∴ PP′ / /MM′.
∵ M为PA的中点，
∴ MM′=12PP′=1.
过C作CH⊥AD，交AD于点H，
∴ AB / /CH.
∵ BC / /AD，
∴ ABCH为平行四边形．
∴ CH=AB=4，
∴ S△BCD=12×BC×CH=12×3×4=6，
∴ VB−CDM=VM−BCD
=13S△BCD×MM′
=13×6×1
=2.
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面垂直的判定
【解析】
（1）取PD中点N，连接MN，NC，由题可得MN∥AD且MN=12AD，MN∥BC且MN=BC，即BMNC为平行四边形，即可得到BM∥NC，再根据线面平行的判定定理即可得证.
(2)过M作AB的垂线，垂足为M′，取AB中点P′，连结PP′,根据线面垂直的判定定理得到MM′⊥平面ABCD,可知MM′为三棱锥M−BCD的高，根据线面垂直的判定定理得到PP′⊥平面ABCD，可知PP′∥MM′，过C作CH⊥AD，交AD于点H，即可得到ABCH为平行四边形．求出S△BCD，再根据三棱锥B−CDM的体积VB−CDM=VM−BCD，即可得解.
【解答】
(1)证明：如图所示，取PD中点N，连接MN，NC，作CH⊥AD交AD于点H.
∵ M为PA的中点，
∴ MN为△PAD的中位线，
∴ MN / /AD且MN=12AD.
∵ ∠DAB=∠ABC=90∘，CH⊥AD，
∴ 四边形ABCH为矩形，
∴ AH=BC=3.
又CH=AB=4，CD=5，
∴ HD=3，
∴ BC / /AD且BC=12AD，
∴ MN / /BC且MN=BC，
则BMNC为平行四边形，
∴ BM / /NC.
又∵ NC⊂平面PCD，$BM\peratrname{\subset\nt{}}$平面PCD，
∴ BM / /平面PCD．
(2)解：过M作AB的垂线，垂足为M′，取AB中点P′，连结PP′，
∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，MM′⊂平面PAB，
∴ MM′⊥平面ABCD，
∴ MM′为三棱锥M−BCD的高.
∵ PA=PB， P′为AB中点，
∴ PP′⊥AB.
∵ AB=4，∠BPA=90∘，PB=PA，
∴ △PAB为等腰直角三角形， PP′=2.
∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PP′⊂平面PAB，
∴ PP′⊥平面ABCD，
∴ PP′ / /MM′.
∵ M为PA的中点，
∴ MM′=12PP′=1.
过C作CH⊥AD，交AD于点H，
∴ AB / /CH.
∵ BC / /AD，
∴ ABCH为平行四边形．
∴ CH=AB=4，
∴ S△BCD=12×BC×CH=12×3×4=6，
∴ VB−CDM=VM−BCD
=13S△BCD×MM′
=13×6×1
=2.
【答案】
解：(1)由y=32x+m,x24+y29=1,消去y，
并整理得9x2+6mx+2m2−18=0，①
Δ=36m2−36(2m2−18)=−36(m2−18).
∵ 当直线l与该椭圆C相交时，
∴Δ>0 据此可解的−32故所求实数m的取值范围为(−32,32).
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，
则x1+x2=−6m9,x0=−3m9=−m3，
y0=32x0+m=32×(−m3)+m=m2，
∴3x0+2y0=0，又x0=−m3∈(−2,2).
即这些直线被椭圆截得的线段的中点的轨迹方程为3x+2y=0(−2【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
与直线有关的动点轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由y=32x+m,x24+y29=1,消去y，
并整理得9x2+6mx+2m2−18=0，①
Δ=36m2−36(2m2−18)=−36(m2−18).
∵ 当直线l与该椭圆C相交时，
∴Δ>0 据此可解的−32故所求实数m的取值范围为(−32,32).
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，
则x1+x2=−6m9,x0=−3m9=−m3，
y0=32x0+m=32×(−m3)+m=m2，
∴3x0+2y0=0，又x0=−m3∈(−2,2).
即这些直线被椭圆截得的线段的中点的轨迹方程为3x+2y=0(−2【答案】
(1)证明：在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，
∴ △AOD，△BOC为等腰直角三角形，
∴ BO=2，∠AOB=90∘.
∵ AB=2AD=2，
∴ DB=3.
在△DOB中，DO=1，BO=2，DB=3，
∴ △DOB为直角三角形，即OB⊥OD.
又AO⊥BO，AO∩OD=O，OD，OA⊂平面AOD，
∴ OB⊥平面AOD.
又BO⊂平面ABCO，
∴ 平面 AOD⊥平面ABCO.
(2)取AO中点M，连接DM，
由(1)得，DM⊥平面ABCO.
由题意得AD=OD=1，
∴ DM=22.
设点C到平面BOD的距离为d.
由VC−BOD=VD−BCO，
得13S△BOD×d=13S△BCO×DM，
∴ d=12，
∴ CB与平面BOD所成角的正弦值为12，
则CB与平面BOD所成角的余弦值为32.
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，
∴ △AOD，△BOC为等腰直角三角形，
∴ BO=2，∠AOB=90∘.
∵ AB=2AD=2，
∴ DB=3.
在△DOB中，DO=1，BO=2，DB=3，
∴ △DOB为直角三角形，即OB⊥OD.
又AO⊥BO，AO∩OD=O，OD，OA⊂平面AOD，
∴ OB⊥平面AOD.
又BO⊂平面ABCO，
∴ 平面 AOD⊥平面ABCO.
(2)取AO中点M，连接DM，
由(1)得，DM⊥平面ABCO.
由题意得AD=OD=1，
∴ DM=22.
设点C到平面BOD的距离为d.
由VC−BOD=VD−BCO，
得13S△BOD×d=13S△BCO×DM，
∴ d=12，
∴ CB与平面BOD所成角的正弦值为12，
则CB与平面BOD所成角的余弦值为32.
【答案】
解：(1)∵ 椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，
∴ 设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1，a>b>0.
由题意得，ca=12，b=23，
∵ a2=b2+c2，
∴ c=2，a=4，
∴ 椭圆C的方程为x216+y212=1．
(2)当∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0.
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为−k，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则PA的直线方程为y−3=k(x−2).
联立y−3=k(x−2)，x216+y212=1，
整理得：
(3+4k2)x2+8(3−2k)kx+4(3−2k2)−48=0，
则Δ=64(3−2k)2k2−4(3+4k2)[4(3−2k)2−48]=144(2k+1)2
∴ x1+2=8(2k−3)k3+4k2.
又PB的直线方程为y−3=−k(x−2)，
同理可得x2+2=−8k(−2k−3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2，
∴ x1+x2=16k2−123+4k2，x1−x2=−48k3+4k2，
∴ kAB=y1−y2x1−x2
=k(x1−2)+3+k(x2−2)−3x1−x2
=k(x1+x2)−4kx1−x2=12，
∴ AB的斜率为定值12．
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）由已知条件设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1，并且b=23，ca=12，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由已知条件设PA的直线方程为y−3=k(x−2)，PB的直线方程为y−3=−k(x−2)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，由已知条件推导出x1+x2=16k2−123+4k2，x1−x2=−48k3+4k2，由此能求出AB的斜率为定值．
【解答】
解：(1)∵ 椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，
∴ 设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1，a>b>0.
由题意得，ca=12，b=23，
∵ a2=b2+c2，
∴ c=2，a=4，
∴ 椭圆C的方程为x216+y212=1．
(2)当∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0.
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为−k，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则PA的直线方程为y−3=k(x−2).
联立y−3=k(x−2)，x216+y212=1，
整理得：
(3+4k2)x2+8(3−2k)kx+4(3−2k2)−48=0，
则Δ=64(3−2k)2k2−4(3+4k2)[4(3−2k)2−48]=144(2k+1)2
∴ x1+2=8(2k−3)k3+4k2.
又PB的直线方程为y−3=−k(x−2)，
同理可得x2+2=−8k(−2k−3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2，
∴ x1+x2=16k2−123+4k2，x1−x2=−48k3+4k2，
∴ kAB=y1−y2x1−x2
=k(x1−2)+3+k(x2−2)−3x1−x2
=k(x1+x2)−4kx1−x2=12，
∴ AB的斜率为定值12．