2020-2021学年安徽省宣城市高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省宣城市高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在直角坐标系中，直线y=−3x+1的倾斜角为（ ）
A.2π3B.π6C.5π6D.π3

2. 为了了解1500名社区成员早锻炼情况，对他们随机编号为1，2，…，1500号，从中抽取一个容量为50的样本．若采用系统抽样，则分段的间隔k为（ ）
A.20B.30C.40D.50

3. 已知直线x+2ay−1=0与直线(3a−1)x−y−1=0垂直，则a的值为（ ）
A.0B.16C.1D.13

4. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A.(x−1)2+y2=4B.(x−2)2+y2=4C.(x+1)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4

5. 直线y=ax+a−1(a∈R)所过定点的坐标为（ ）
A.(−1, −1)B.(−1, 1)C.(1, −1)D.(1, 1)

6. 已知x，y的取值如表，从散点图知，x，y线性相关，且​y=​bx+0.7，则下列说法正确的是（ ）
A.回归直线一定过点(2.2, 2.2)
B.x每增加1个单位，y就增加1个单位
C.当x=6时，y的预报值为4.3
D.x每增加1个单位，y就增加0.7个单位

7. 已知圆C的方程为x2+y2−2x+6y+1=0，点P在圆C上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（ ）
A.3B.10−3C.3−3D.22−2

8. 已知点P(x, y)在圆C:x2+(y−1)2=16上，则z＝x2+y2−8x−8y+32的最小值为（ ）
A.1B.2C.3D.2

9. 点P(1, 2)在圆x2+y2−4x+2y+F=0的内部，若圆中以P为中点的弦长为2，则F=( )
A.−6B.−7C.−8D.−9

10. 把直线y=x，y=−x，x=1围成的图形绕y轴旋转一圈，所得旋转体的体积为( )
A.π3B.2π3C.4π3D.2π

11. 已知过点M(2, −4)的直线l与圆C：(x−1)2+(y+2)2=5相切，且与直线m:ax−2y+3=0垂直，则实数a的值为（ ）
A.4B.2C.−2D.−4

12. 已知直线l:x−3y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|=( )
A.23B.4C.43D.6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

运行如图所示的程序框图，输出的结果S=________．


现有红球n个白球350个，用分层抽样方法从中随机抽取120个小球，其中抽出的红球有50个．则n=________．

已知直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0相互平行，则它们之间的距离是________．

若直线y=x+b与曲线y=3−4x−x2有公共点，则b的取值范围是________．
三、解答题：本大题共3小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

根据下列条件，求直线方程：
（1）过点A(1, 2)，且倾斜角是直线y=x+3的倾斜角的2倍；

（2）经过点P(3, 2)，且两坐标轴上的截距相等．

若点A(−2, −1)与点B(3, 2)到直线ax+y+1=0的距离相等，求a的值．

某校为了增强学生的爱国情怀，举办爱国教育知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60人，将其成绩分为六段[40, 50),[50, 60),…,[90, 100]后画出如图频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：

（1）估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；

（2）估计这次考试的及格率．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省宣城市高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
直线的点斜式方程
【解析】
由于直线y=−3x+1的斜率k=−3可利用直线的倾斜角与斜率的关系再结合倾斜角的范围即可得解．
【解答】
设直线y=−3x+1的倾斜角为α
∵ 直线y=−3x+1
∴ 斜率k=−3=tanα
又∵ α∈[0, π)
∴ α=2π3
2.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
根据系统抽样的定义进行求解．
【解答】
总体中个体数是1500，样本容量是50，
根据系统抽样的步骤，得到分段的间隔k=150050=30，
3.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
对a分类讨论L利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
【解答】
a=0时，两条直线不垂直．
a≠0，由−12a×(−3a−1−1)=−1，解得：a=1．
综上可得：a=1．
4.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程
【解析】
设出圆心坐标为C(a, 0)(a>0)，由点到直线的距离公式列式求得a值，代入圆的标准方程得答案．
【解答】
设圆心坐标为C(a, 0)(a>0)，
由题意得，|3a+4×0+4|32+42＝2，解得a=2．
∴ 圆C的方程为(x−2)2+y2=4．
5.
【答案】
A
【考点】
直线系方程
【解析】
先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线所过定点的坐标．
【解答】
直线y=ax+a−1(a∈R)，即 a(x+1)−y−1=0，令x+1=0，求得x=−1，y=−1，
可得直线所过定点的坐标为(−1, −1)，
6.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得​b值，进一步求得线性回归方程，然后逐一分析四个选项即可得答案．
【解答】
由已知得，x¯=1+2+3+44=2.5，y¯=1.4+1.8+2.4+3.24=2.2，
故A错误；
由回归直线方程​y=​bx+0.7恒过样本中心点(2.5, 2.2)，得2.2=​b×2.5+0.7，解得​b=0.6．
∴ 回归直线方程为​y＝0.6x+0.7．
x每增加1个单位，y就增加0.6个单位，故B错误；
当x=6时，y的预报值为4.3，故C正确；
x每增加1个单位，y就增加0.6个单位，故D错误．
∴ 正确的是C．
7.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的一般方程
【解析】
求出圆的圆心与半径，然后利用两点间距离公式与半径的差，求解|OP|的最小值．
【解答】
圆C的方程为x2+y2−2x+6y+1=0，即(x−1)2+(y+3)2=9，
圆的圆心(1, −3)，半径为3．
点P在圆C上，O是坐标原点，则|OP|的最小值：12+(−3)2−3=10−3．
8.
【答案】
A
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
根据题意，分析圆的圆心与半径，将z变形可得z=(x−4)2+(y−4)2，其几何意义为点(x, y)到点(4, 4)的距离，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
根据题意，圆C:x2+(y−1)2=16的圆心为(0, 1)，半径r=4，
又由z＝x2+y2−8x−8y+32=(x−4)2+(y−4)2，其几何意义为点(x, y)到点(4, 4)的距离，
圆心C到点(4, 4)的距离d=9+16=5，
而点P(x, y)在圆C:x2+(y−1)2=16上，则z的最小值为d−r=5−4=1，
9.
【答案】
A
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
根据题意，分析圆的圆心与半径，设圆心为C，求出PC的长，结合直线与圆的位置关系可得|PC|2+1=r2，代入数据计算可得答案．
【解答】
根据题意，圆x2+y2−4x+2y+F=0，即(x−2)2+(y+1)2=5−F，有5−F>0，
其圆心为(2, −1)，半径r=5−F，
设圆心为C，则|PC|=1+9=10，
若圆中以P为中点的弦长为2，则有|PC|2+1=r2，即10+1=5−F，解可得F=−6，
10.
【答案】
C
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
由题意知该旋转体是一个圆柱体内挖掉两个全等的圆锥，
结合题意求出旋转体的体积为．
【解答】
解：由题意知，
该旋转体为底面半径是1，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为1，高为1的圆锥，
则所得旋转体的体积为V=V圆柱−2V圆锥=π⋅12⋅2−2⋅13⋅π⋅12⋅1=4π3．
故选C.
11.
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
直线与圆的位置关系
【解析】
根据题意，分析可得点M在圆C上，结合直线与圆相切的性质可得直线CM与直线m平行，求出直线CM的斜率，分析可得a2=−2，解可得a的值，即可得答案．
【解答】
根据题意，圆C：(x−1)2+(y+2)2=5，圆心C(1, −2)，
而点M(2, −4)，则有(2−1)2+(−4+2)2=5，则点M在圆C上，
若过点M的切线与直线m:ax−2y+3=0垂直，则直线CM与直线m平行，
而直线MC的斜率k=(−4)−(−2)2−1=−2，
则有a2=−2，则a=−4，
12.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
利用垂径定理计算弦长|AB|，计算直线l的倾斜角，利用三角函数的定义计算CD．
【解答】
圆心(0, 0)到直线l的距离d=62=3，圆的半径r=23，
∴ |AB|=2r2−d2=23，
设直线l的倾斜角为α，则tanα=33，∴ α=30∘，
过C作l的平行线交BD于E，则∠ECD=30∘，
CE=AB=23，
∴ CD=CEcs∠ECD=23cs30∘=4．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】
14
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
模拟程序的运行，可得
x=7，y=−1，S=0，
a=8，S=8，
满足条件a>2，执行循环体，x=5，y=9，a=4，S=12，
满足条件a>2，执行循环体，x=3，y=5，a=2，S=14，
此时，不满足条件a>2，退出循环，输出S的值为14．
【答案】
250
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
【解答】
根据分层抽样的定义可得：50120=nn+350⇒n=250；
【答案】
71326
【考点】
两条平行直线间的距离
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可．
【解答】
解：直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0相互平行，
所以m=4，由平行线的距离公式可知：
d=|12+3|32+22=71326．
故答案为：71326．
【答案】
[1−22, 3]
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
曲线即 (x−2)2+(y−3)2=4(1≤y≤3)，表示以A(2, 3)为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得 b=1+22 b=1−22．结合图象可得b的范围．
【解答】
解：如图所示：曲线y=3−4x−x2，即 (x−2)2+(y−3)2=4( 1≤y≤3, 0≤x≤4)，
表示以A(2, 3)为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得 |2−3+b|2=2，∴ b=1+22，或b=1−22．
结合图象可得1−22≤b≤3，
故答案为：[1−22, 3]．
三、解答题：本大题共3小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
【答案】
直线y=x+3的斜率为1，倾斜角为π4，因此要求的直线倾斜角为π2．
因此所求的直线方程为：x=1．
当直线经过原点时，可得要求的直线方程为：y=23x．
当直线不经过原点时，可得要求的直线斜率为−1，因此方程为：y−2=−(x−3)，y=−x+5．
【考点】
直线的两点式方程
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
（1）直线y=x+3的斜率为1，倾斜角为π4，因此要求的直线倾斜角为π2．即可所求的直线方程．
（2）当直线经过原点时，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，可得要求的直线斜率为−1，利用点斜式即可得出要求的直线方程．
【解答】
直线y=x+3的斜率为1，倾斜角为π4，因此要求的直线倾斜角为π2．
因此所求的直线方程为：x=1．
当直线经过原点时，可得要求的直线方程为：y=23x．
当直线不经过原点时，可得要求的直线斜率为−1，因此方程为：y−2=−(x−3)，y=−x+5．
【答案】
∵ 点A(−2, −1)与点B(3, 2)到直线ax+y+1=0的距离相等，
∴ |−2a−1+1|a2+1=|3a+2+1|a2+1，
解得a=−35或a=−3．
∴ a的值为−35或−3．
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
利用点到直线的距离公式直接求解．
【解答】
∵ 点A(−2, −1)与点B(3, 2)到直线ax+y+1=0的距离相等，
∴ |−2a−1+1|a2+1=|3a+2+1|a2+1，
解得a=−35或a=−3．
∴ a的值为−35或−3．
【答案】
由频率分布直方图估计这次考试的众数：
m=70+802=75.0．
(0.01+a+a+0.03+0.025+0.005)×10=1，
解得a=0.015，
∴ [40, 70)的频率为：
(0.01+0.015+0.015)×10=0.4，
[70, 80)的频率为0.03×10=0.3，
∴ 中位数n=70+0.5−0.10.3×10≈73.3．
估计这次考试的及格率为：
1−(0.01+0.015)×10=0.75=75%．
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
【解析】
（1）由频率分布直方图能估计这次考试的众数和中位数．
（2）由频率分布直方图能估计这次考试的及格率．
【解答】
由频率分布直方图估计这次考试的众数：
m=70+802=75.0．
(0.01+a+a+0.03+0.025+0.005)×10=1，
解得a=0.015，
∴ [40, 70)的频率为：
(0.01+0.015+0.015)×10=0.4，
[70, 80)的频率为0.03×10=0.3，
∴ 中位数n=70+0.5−0.10.3×10≈73.3．
估计这次考试的及格率为：
1−(0.01+0.015)×10=0.75=75%．x
1
2
3
4
y
1.4
1.8
2.4
3.2