2020-2021年安徽省淮南市某校高一（上）1月月考数学试卷

这是一份2020-2021年安徽省淮南市某校高一（上）1月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合M=x|x2−2x−8≤0，集合N=x|x≥1，则M∩N=( )
A.x|1≤x≤2B.x|x≥1C.x|1≤x≤4D.x|x≥−2

2. 设命题p:∀x∈R，都有x2+1>0成立，则¬p为( )
A.∀x∈R，都有x2+1≤0成立B.∃x∈R，有x2+1≤0成立
C.∃x∉R，有x2+1<0成立D.∃x∈R，有x2+1<0成立

3. 函数fx=ex+2x−3的零点所在的区间是( )
A.−2,−1B.−1,0C.0,1D.1,2

4. 设a=0.60.4，b=0.40.6，c=0.40.4，则a，b，c的大小关系是( )
A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

5. 已知sinπ3−α=35，则cs7π6+α=( )
A.−35B.−45C.35D.45

6. 一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为( )年．
（注：剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期，精确到0.1.已知lg2≈0.301，lg3≈0.4771）
A.5.2B.6.6C.7.1D.8.3

7. 化简1sinα+1tanα1−csα=( )
A.sinαB.csαC.1+sinαD.1+csα

8. 若1a<1b<0，则下列不等式：①a+b|b|；③a2，其中正确的是( )
A.①④B.②③C.①②D.③④

9. 已知tanα=3，则sin2α−2sinαcsα=( )
A.−310B.310C.35D.−35

10. 若函数fx=1+4sinx−t在区间π6,2π上有两个零点，则实数t的取值范围( )
A.−3,5B.3,5C.−3,3∪3,5D.−3,1∪3,5

11. 已知函数fx=2xx≤0,fx−1−fx−2x>0,则f2020=( )
A.14B.−14C.12D.−12

12. 已知a>0，a≠1，f(x)=x2−ax．当x∈(−1, 1)时，均有f(x)<12，则实数a的取值范围是( )
A.(0, 12]∪[2, +∞)B.[12, 1)∪(1, 2]
C.(0, 14]∪[4, +∞)D.[14, 1)∪(1, 4]
二、填空题

sin72∘cs42∘−cs72∘sin42∘=________.

已知幂函数fx=m−12xm2−4m+3m∈R在区间0,+∞上单调递增，则m=________.

若3csα+sinα=223，则cs(π3−2α)=________.

已知函数f(x)=x2−2x，若关于x的方程|f(x)|+|f(a−x)|−t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t的取值范围是________．
三、解答题

已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}，B={x|x2−5x+4≥0}.
(1)当a=3时，求A∩B；

(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈(∁RB)”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．


(1)已知−π2
(2)若0<α<π2，−π2<β<0，csπ4+α=13，csπ4−β2=33，求csα+β2的值．

设函数fx=3sinxcsx+cs2x+a.
(1)求函数fx的最小正周期及单调递增区间；

(2)x∈−π6,π3时，函数fx的最大值与最小值的和为92，求a的值．

已知函数fx=lga3−ax+bx2，其中a>0且a≠1，a，b∈R.
(1)当a=4，b=1时，求函数fx的定义域及单调区间；

(2)当b=0时，是否存在实数a，使得函数fx在2,3上单调递增并且最大值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成的．设圆弧AB⌢，CD⌢所在圆的半径分别为r1米和r2米，圆心角为θ（弧度）.

(1)若θ=2π3，r1=3，r2=6，求花坛的面积；

(2)根据公司的要求，扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环形状花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用是90元/米，求当装饰费用最低时线段AD的长.

已知函数fx=x2+1ax+b是定义域上的奇函数，且f−1=−2.
(1)求函数fx的解析式；

(2)令gx=fx−m，若函数gx在0,+∞上有两个零点，求实数m的取值范围；

(3)令hx=x2+1x2−2tfxt<0，若对∀x1，x2∈[12,2]都有|hx1−hx2|≤154，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年安徽省淮南市某校高一(上)1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
先化简集合M，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：集合M=x|x2−2x−8≤0={x|−2≤x≤4}，
集合N=x|x≥1，
∴ M∩N= x|1≤x≤4 .
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】

【解答】
解：由题设得¬p:∃x∈R，有x2+1≤0成立.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
由函数的解析式可得f(0)f1<0，再根据fx是R上的增函数，可得函数在区间0,1上有唯一零点，由此可得选项．
【解答】
解：因为函数fx=ex+2x−3在R上是增函数，
且f0=1−3<0，f1=e+2−3>0，
因为f0f1<0，
所以函数在区间0,1上有零点．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
根据指数函数幂函数的单调性和取值范围进行比较即可
【解答】
解：∵ 指数函数y=0.4x为减函数，
∴ 0.40.6<0.40.4，即b∵ 幂函数y=x0.4在(0,+∞)单调递增，
∴ 0.60.4>0.40.4，即a>c，
∴ a>c>b.
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
直接利用诱导公式，构造即可得出答案.
【解答】
解：cs7π6+α=cs3π2−π3−α
=−sinπ3−α=−35.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
根据实际问题选择函数类型
对数的运算性质
【解析】
设所需的年数为x，得方程500(1−10%)x=500×12，两边取对数，再用换底公式变形，代入已知数据可得x的近似值，四舍五入即可得出正确答案．
【解答】
解：设该元素的质量衰减到一半时所需要的年数为x，可得
500(1−10%)x=500×12，
化简，得0.9x=12，
即x=lg0.912=lg12lg0.9=−lg22lg3−1≈−0.3012×0.4771−1=6.6.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
根据同角关系，直接化简，即可得到答案.
【解答】
解：原式=1sinα+csαsinα(1−csα)
=1+csα1−csαsinα
=1−cs2αsinα=sin2αsinα=sinα.
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
不等式比较两数大小
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由1a<1b<0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误．
【解答】
解：∵ 1a<1b<0，
∴ b0，
∴ a+b<0∴ −b>−a>0，则|b|>|a|，故②错误；
由于 ba>0，ab>0，
∴ ba+ab>2ba⋅ab=2，故④正确.
综上，①④正确.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由题意得到sin2α−2sinαcsα=tan2α−2tanαtan2α+1，将tanα=3代入即可得到答案.
【解答】
解：∵ tanα=3，
∴ sin2α−2sinαcsα
=sin2α−2sinαcsαsin2α+cs2α
=tan2α−2tanαtan2α+1
=9−69+1
=310.
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
函数的零点
【解析】
直接作出图象，利用图象得交点确定范围即可.
【解答】
解：由题意，令f(x)=1+4sinx−t=0，可得sinx=t−14
因为f(x)在区间π6,2π上有两个零点，
所以sinx=t−14在π6,2π上有两个根，
即函数y=sinx与y=t−14在区间π6,2π有两个交点，
如图画出y=sinx的图象，
由图象可知，sinπ6解得3故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
函数的周期性
【解析】
由题设得得f(x−3)=−f(x)，即f(x−6)=−f(x−3)=f(x)，
所以当x>0时,6为函数的周期，可得解.
【解答】
解：由f(x)=f(x−1)−f(x−2)，
可得f(x−1)=f(x−2)−f(x−3)，
所以f(x−3)=−f(x)，
即f(x−6)=−f(x−3)=f(x)，
所以当x>0时，函数的周期为6，
f(2020)=f(4)=−f(1)
=−f(0)−f(−1)
=−1−2−1=−12.
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
指、对数不等式的解法
函数恒成立问题
【解析】
由题意可知，ax>x2−12在(−1, 1)上恒成立，令g(x)=ax，m(x)=x2−12，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．
【解答】
解：若当x∈(−1, 1)时，均有f(x)<12，
即ax>x2−12在(−1, 1)上恒成立，
令g(x)=ax，m(x)=x2−12，
由图象知：若0当a>1时，g(−1)≥m(1)，即a−1≥1−12=12，此时a≤2，此时1综上12≤a<1或1故选B．
二、填空题
【答案】
12
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
逆用两角差的正弦公式即可求得答案．
【解答】
解：∵ sin72∘cs42∘−cs72∘sin42∘
=sin(72∘−42∘)
=sin30∘
=12.
故答案为：12.
【答案】
0
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】
根据幂函数的定义和性质先求出m．
【解答】
解：∵ f(x)是幂函数，
∴ (m−1)2=1，解得m=2或m=0.
若m=2，则f(x)=x−1，
在(0, +∞)上单调递减，不满足条件；
若m=0，则f(x)=x3，
在(0, +∞)上单调递增，满足条件.
故答案为：0.
【答案】
−59
【考点】
二倍角的余弦公式
两角和与差的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：3csα+sinα=2cs(π6−α)=223，
∴ cs(π6−α)=23.
则原式=cs[2(π6−α)]=2cs2(π6−α)−1
=2×(23)2−1=−59.
故答案为：−59.
【答案】
(1,32)
【考点】
根的存在性及根的个数判断
带绝对值的函数
【解析】
令h(x)=|f(x)|+|f(a−x)|，从而可判断h(x)的图象关于x=a2对称，从而可得a=1；进而化简h(x)=|x2−2x|+|(1−x)2−2(1−x)|，再作图求解即可．
【解答】
解：令h(x)=|f(x)|+|f(a−x)|，则h(a−x)=h(x)，
故h(x)的图象关于x=a2对称，
又∵ 方程|f(x)|+|f(a−x)|−t=0有4个不同的实数根，
且所有实数根之和为2，
∴ 2a=2，解得a=1，
故h(x)=|f(x)|+|f(a−x)|
=|x2−2x|+|(1−x)2−2(1−x)|
=|x2−2x|+|x2−1|
=2x2−2x−1，x≤−1,−2x+1,−12,
作函数h(x)=2x2−2x−1，x≤−1,−2x+1,−12,的图象如图，
关于x的方程|f(x)|+|f(a−x)|−t=0有4个不同的实数根可转化为
函数h(x)=|x2−2x|+|x2−1|与y=t有四个不同的交点，
故结合图象可知，实数t的取值范围为(1,32).
故答案为：(1,32).
三、解答题
【答案】
解：(1)当a=3时，集合A={x|−1≤x≤5}，
B={x|x2−5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，
∴ A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}.
(2)∵ 若a>0，且“x∈A”是“x∈(∁RB)”的充分不必要条件，
∴ A是(∁RB)的真子集，且A≠⌀，
∵ A={x|2−a≤x≤2+a}(a>0)，∁RB={x|1∴ 2−a>1，2+a<4，a>0，
解得0∴ a的取值范围是{a|0【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
（1）a＝3时化简集合A，根据交集的定义写出A∩B；
（2）根据若a>0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可
【解答】
解：(1)当a=3时，集合A={x|−1≤x≤5}，
B={x|x2−5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，
∴ A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}.
(2)∵ 若a>0，且“x∈A”是“x∈(∁RB)”的充分不必要条件，
∴ A是(∁RB)的真子集，且A≠⌀，
∵ A={x|2−a≤x≤2+a}(a>0)，∁RB={x|1∴ 2−a>1，2+a<4，a>0，
解得0∴ a的取值范围是{a|0【答案】
解：(1)∵sinx+csx=15，
两边平方可得sinx+csx2=1+2sinxcsx=125，
∴ 2sinxcsx=−2425，
∴ sinx−csx2=1−2sinxcsx=4925，
又∵ −π20，
∴ sinx−csx=−75.
(2)∵ 0 ∴ π4<π4+α<3π4，
又∵ csπ4+α=13，
∴ sinπ4+α=223，
∵ −π2<β<0，
∴ π4<π4−β2<π2，
又∵ csπ4−β2=33，
∴ sinπ4−β2=63，
∴ csα+β2=csπ4+α−π4−β2
=csπ4+αcsπ4−β2+sinπ4+αsinπ4−β2
=13×33+223×63=539.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的余弦公式
【解析】
（1）∵sinx+csx=15，
平方可得sinx+csx2=1+2sinxcsx=125，
∴ 2sinxcsx=−2425，
从而sinx−csx2=1−2sinxcsx=4925，
又∵ −π20，
∴ sinx−csx=−75 .
（2）∵ 0又∵ csπ4+α=13，
∴ sinπ4+α=223，
∵ −π2<β<0,∴π4<π4−β2<π2，又∵ csπ4−β2=33∴sinπ4−β2=63，
∴ csα+β2=csπ4+α−π4−β2
=csπ4+αcsπ4−β2+sinπ4+αsinπ4−β2
=13×33+223×63=539 .
【解答】
解：(1)∵sinx+csx=15，
两边平方可得sinx+csx2=1+2sinxcsx=125，
∴ 2sinxcsx=−2425，
∴ sinx−csx2=1−2sinxcsx=4925，
又∵ −π20，
∴ sinx−csx=−75.
(2)∵ 0 ∴ π4<π4+α<3π4，
又∵ csπ4+α=13，
∴ sinπ4+α=223，
∵ −π2<β<0，
∴ π4<π4−β2<π2，
又∵ csπ4−β2=33，
∴ sinπ4−β2=63，
∴ csα+β2=csπ4+α−π4−β2
=csπ4+αcsπ4−β2+sinπ4+αsinπ4−β2
=13×33+223×63=539.
【答案】
解：(1)∵ fx=3sinxcsx+cs2x+a
=32sin2x+1+cs2x2+a
=sin2x+π6+a+12，
∴ T=2π2=π，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，可得
函数fx的单调递增区间为kπ−π3,kπ+π6,k∈Z.
(2)∵ x∈−π6,π3⇒2x+π6∈−π6,5π6，
∴ 当2x+π6=−π6时，fxmin=−12+a+12=a，
当2x+π6=π2时，fxmax=1+a+12=a+32，
∴ 由题意可得a+a+32=92⇒a=32.
【考点】
正弦函数的周期性
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
（1）∵ fx=3sinxcsx+cs2x+a=32sin2x+1+cs2x2+a
=sin2x+π6+a+12，
∴ T=2π2=π，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2可得
函数fx的单调递增区间为kπ−π3,kπ+π6,k∈Z .
（2）∵ x∈−π6,π3⇒2x+π6∈−π6,5π6，
所以当2x+π6=−π6时，fxmin=−12+a+12=a，
当2x+π6=π2时，fxmax=1+a+12=a+32，
所以，由题意可得a+a+32=92⇒a=32 .
【解答】
解：(1)∵ fx=3sinxcsx+cs2x+a
=32sin2x+1+cs2x2+a
=sin2x+π6+a+12，
∴ T=2π2=π，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，可得
函数fx的单调递增区间为kπ−π3,kπ+π6,k∈Z.
(2)∵ x∈−π6,π3⇒2x+π6∈−π6,5π6，
∴ 当2x+π6=−π6时，fxmin=−12+a+12=a，
当2x+π6=π2时，fxmax=1+a+12=a+32，
∴ 由题意可得a+a+32=92⇒a=32.
【答案】
解：(1)当a=4，b=1时，函数f(x)=lg4x2−4x+3，
因为x2−4x+3>0⇒x<1或x>3，
从而f(x)的定义域为(−∞,1)∪(3,+∞)，
因为函数f(x)=lg4x2−4x+3，
是由y=lg4u与u(x)=x2−4x+3复合而成，
又因为y=lg4u是单调递增函数，
u(x)=x2−4x+3的图象关于直线x=2对称，
所以u(x)=x2−4x+3在(−∞,1)单调递减，在(3,+∞)单调递增，
由复合函数的单调性可知，
f(x)=lg4x2−4x+3的单调递减区间为(−∞,1)，单调递增区间为(3,+∞).
(2)当b=0时，f(x)=lga3−ax+bx2=lga3−ax，
由y=lgau与u(x)=3−ax复合而成，
因为a>0且a≠1，
所以u(x)=3−ax在[2,3]上单调递减，
又因为函数f(x)在[2,3]上单调递增，
所以y=lgau应单调递减，
所以0由对数的真数大于0可知，u(x)min=u(3)=3−3a>0⇒a<1，
因为f(x)max=f(3)=lga3−3a=1，
所以3−3a=a⇒a=34∈(0,1)，
故存在实数a=34满足题意．
【考点】
函数的定义域及其求法
函数的单调性及单调区间
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
对数函数图象与性质的综合应用
复合函数的单调性
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)当a=4，b=1时，函数f(x)=lg4x2−4x+3，
因为x2−4x+3>0⇒x<1或x>3，
从而f(x)的定义域为(−∞,1)∪(3,+∞)，
因为函数f(x)=lg4x2−4x+3，
是由y=lg4u与u(x)=x2−4x+3复合而成，
又因为y=lg4u是单调递增函数，
u(x)=x2−4x+3的图象关于直线x=2对称，
所以u(x)=x2−4x+3在(−∞,1)单调递减，在(3,+∞)单调递增，
由复合函数的单调性可知，
f(x)=lg4x2−4x+3的单调递减区间为(−∞,1)，单调递增区间为(3,+∞).
(2)当b=0时，f(x)=lga3−ax+bx2=lga3−ax，
由y=lgau与u(x)=3−ax复合而成，
因为a>0且a≠1，
所以u(x)=3−ax在[2,3]上单调递减，
又因为函数f(x)在[2,3]上单调递增，
所以y=lgau应单调递减，
所以0由对数的真数大于0可知，u(x)min=u(3)=3−3a>0⇒a<1，
因为f(x)max=f(3)=lga3−3a=1，
所以3−3a=a⇒a=34∈(0,1)，
故存在实数a=34满足题意．
【答案】
解：(1)花坛的面积等于扇形OCD的面积减去扇形OAB的面积，
即S=12r22θ−12r12θ=9πm2.
(2)AB⌢的长为r1θ，CD⌢的长为r2θ，
线段AD的长为r2−r1，
由题意S=12r22θ−12r12θ=12(r1θ+r2θ)(r2−r1)=32m2，
∴(r1θ+r2θ)=64(r2−r1)，
设(r2−r1)=x，x>0，
则装饰总费用y=45×2×(r2−r1)+90(r2θ+r1θ)
=90x+64x≥90×2x⋅64x=1440，
当且仅当x=8时，即线段AD的长为8米时，ymin=1440.
【考点】
扇形面积公式
根据实际问题选择函数类型
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)花坛的面积等于扇形OCD的面积减去扇形OAB的面积，
即S=12r22θ−12r12θ=9πm2.
(2)AB⌢的长为r1θ，CD⌢的长为r2θ，
线段AD的长为r2−r1，
由题意S=12r22θ−12r12θ=12(r1θ+r2θ)(r2−r1)=32m2，
∴(r1θ+r2θ)=64(r2−r1)，
设(r2−r1)=x，x>0，
则装饰总费用y=45×2×(r2−r1)+90(r2θ+r1θ)
=90x+64x≥90×2x⋅64x=1440，
当且仅当x=8时，即线段AD的长为8米时，ymin=1440.
【答案】
解：(1)∵ f−1=−2，又f(x)是奇函数，∴ f(1)=2，
∴2−a+b=−2,2a+b=2,
解得a=1,b=0,
∴ f(x)=x+1x.
(2)函数gx在(0,+∞)上有两个零点，即x2−mx+1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，
须满足Δ=m2−4>0,m>0,
解得m>2．
(3)由题意知h(x)=x2+1x2−2tx+1x.
令z=x+1x，y=z2−2tz−2，
由(1)可知函数z=x+1x在12,1上单调递减，在[1,2]上单调递增，
∴ z∈2,52.
∵ 函数y=z2−2tz−2的对称轴方程为z=t<0，
∴ 函数y=z2−2tz−2在2,52上单调递增.
当z=2时，ymin=−4t+2；当z=52时，ymax=−5t+174，
即hxmin=−4t+2，hxmax=−5t+174.
又∵ 对任意的∀x1，x2∈12,2都有|h(x1)−h(x2)|≤154恒成立，
∴ h(x)max−h(x)min≤154，
即−5t+174−(−4t+2)≤154，
解得t≥−32.
又∵ t<0，
∴ t的取值范围是−32≤t<0.
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数单调性的判断与证明
由函数零点求参数取值范围问题
函数恒成立问题
【解析】

暂无
暂无
【解答】
解：(1)∵ f−1=−2，又f(x)是奇函数，∴ f(1)=2，
∴2−a+b=−2,2a+b=2,
解得a=1,b=0,
∴ f(x)=x+1x.
(2)函数gx在(0,+∞)上有两个零点，即x2−mx+1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，
须满足Δ=m2−4>0,m>0,
解得m>2．
(3)由题意知h(x)=x2+1x2−2tx+1x.
令z=x+1x，y=z2−2tz−2，
由(1)可知函数z=x+1x在12,1上单调递减，在[1,2]上单调递增，
∴ z∈2,52.
∵ 函数y=z2−2tz−2的对称轴方程为z=t<0，
∴ 函数y=z2−2tz−2在2,52上单调递增.
当z=2时，ymin=−4t+2；当z=52时，ymax=−5t+174，
即hxmin=−4t+2，hxmax=−5t+174.
又∵ 对任意的∀x1，x2∈12,2都有|h(x1)−h(x2)|≤154恒成立，
∴ h(x)max−h(x)min≤154，
即−5t+174−(−4t+2)≤154，
解得t≥−32.
又∵ t<0，
∴ t的取值范围是−32≤t<0.