2021届高考数学（文）二轮复习专题十一 坐标系与参数方程（文） 学案

本部分内容主要考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化；已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程，求距离、面积等综合问题，本部分考查难度一般不大．

1．平面直角坐标系中的伸缩变换

设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，

点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念

在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；

以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为．

有序数对叫做点的极坐标，记为．

一般地，不做特殊说明时，我们认为，可取任何实数．

注：极坐标与表示同一个点．极点的坐标为．

若，则，规定点与点关于极点对称，即与表示同一点．

如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的．

极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点 (，)，但平面内任一个点的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的， (，)（极点除外）的全部坐标为(，＋)或（，＋），()．极点的极径为，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．

则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定，或，等．

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．

即一个点的极坐标是不唯一的．

3．极坐标与直角坐标的互化

设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：

，，，．

4．常见曲线的极坐标方程

5．参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

6．常见曲线的参数方程

（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程（为参数）．

设是直线上的任意一点，则表示有向线段的数量．参数的几何意义是有向线段的数量．

（2）圆的参数方程为（为参数）；

（3）椭圆的参数方程为（为参数）；

椭圆的参数方程为（为参数）；

（4）抛物线参数方程为参数，）；

参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

7．参数方程与普通方程之间的互化

在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，

必须使的取值范围保持一致．

参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，

则一定要通过．根据的取值范围导出的取值范围．

一、选择题．

1．极坐标系中，若等边的两个顶点、，那么顶点的极坐标可能是（    ）

A． B． C． D．

二、解答题．

2．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）射线的极坐标方程为，若射线与曲线的交点为 (异于点)，与直线的交点为求线段的长．

3．在直角坐标系中，直线l过点，倾斜角为．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线交曲线C于A，B两点，M为中点，且满足成等比数列，求直线的斜率．

4．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设P为曲线上的动点，求点P到的距离的最大值，并求此时点P的坐标．

5．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）若直线与曲线相交于点，求圆心在极轴上，且经过极点和点的圆的直角坐标方程．

6．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若与相交于，两点，设，求．

7．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线的交点为，．

（1）若，求；

（2）设点，求的最小值．

8．以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线，

M是上的动点，点N在射线上且满足，设点N的轨迹为．

（1）写出曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

（2）已知直线l的参数方程为 (t为参数，)，曲线截直线所得线段的中点

坐标为，求的值．

9．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知在极坐标系中曲线是以点为圆心，以1为半径的圆，以极点为坐标系原点，极轴为轴的非负半轴，且单位长度相同建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．

（1）写出的普通方程及曲线的极坐标方程；

（2）判断与是否相交，若相交，设交点为两点，求线段的长，若不相交，说明理由．

一、解答题．

1．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数，)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于､两点，求面积的最大值．

一、解答题．

1．在平面直角坐标系中，直线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）若与相交于，两点，且，求．

2．已知圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）写出点C的极坐标及圆C的极坐标方程；

（2）点AB分别是圆C和直线上的点，且，求线段AB长的最小值．

3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点，若直线与曲线相交于，两点，求的值．

4．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线、交于、两点，，求的值．

5．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的文化信息，现有一幅剪纸的设计图（如图），其中的4个小圆均过边长为2的正方形的中心，且内切于正方形的邻边，现以为极点，为极轴建立极坐标系．

（1）求圆的极坐标方程；

（2）若射线和与图中阴影部分边界有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形，求该几何图形的面积．

6．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值．

一、选择题．

1．【答案】A

【解析】由于等边的两个顶点、，

则线段的中点为极点，

由等腰三角形三线合一的性质可得，且，

，，因此，顶点的极坐标可能是，

故选A．

【点评】本题考查顶点的极坐标的求法，考查对称、中点坐标公式等基础知识，考查推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．

二、解答题．

2．【答案】（1），；（2）1．

【解析】（1）由，可得，

所以曲线的普通方程为，

由，所以，

所以直线的直角坐标方程为．

（2）曲线的方程可化为，所以曲线的极坐标方程为，

由题意设，

将代入；

将代入，可得，

所以．

【点评】本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：

1．直角坐标系下的弦长公式或；

2．利用直线参数方程的几何意义可知；

3．极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长．

3．【答案】（1）l的参数方程为 (t为参数)，C的直角坐标方程为；（2）斜率为．

【解析】（1）因为直线l过点，倾斜角为，

所以直线l的参数方程为 (t为参数)；

因为，所以，

所以曲线C的直角坐标方程为．

（2）将直线l的参数方程为 (t为参数)代入，

可得，

设A，B所对应的参数为，所以，，

因为成等比数列，

所以，即，

解得，，

故直线l的斜率为．

【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题．

4．【答案】（1）；；（2），．

【解析】（1）对于曲线有，所以的普通方程为．

对于曲线有，，

，即的直角坐标方程为．

（2）联立，整理可得，

，所以椭圆与直线无公共点，

设，

点到直线的距离为，

当时，取最大值为，

此时点的坐标为．

【点评】本题主要考查极坐标和参数方程的运算，以及点到直线距离公式的使用，属于中档题．

5．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）曲线C的参数方程为 (m为参数)，

两式平方相减得曲线C的普通方程为．

直线l的极坐标方程为，则，

转换为直角坐标方程为．

（2）由，得，所以点P的直角坐标为，

设圆心为，则，解得，

所以，圆的直角坐标方程为．

【点评】（1）关键点：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于．

（2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标；

求圆的方程可根据圆心和半径，得出圆的方程．

6．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由，得，

由，得，

将，代入可得．

（2）经检验在曲线上，

则曲线的参数方程可写为（为参数），

代入曲线，得，

设，两点对应的参数分别为，，则由韦达定理得，

故．

【点评】本题解题的关键是理解直线参数方程中的几何意义．

7．【答案】（1）3；（2）．

【解析】（1）由曲线的极坐标方程得，

化为直角坐标方程为，即．

将直线的参数方程代入其中，得．

当时，上述方程即，解得，，

所以．

（2）由根与系数的关系可知：，，

所以，

其中，当时取等号，

所以的最小值为．

【点评】直线参数方程的几何意义：

（1）直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离即．

如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，

即．

（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上两点间的距离不管两点在哪里，总有．

8．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设，因为，可得，

代入满足的方程，可得，

即，两边同乘以并展开整理得，

又由，，

所以的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得，

可得，

又由直线的参数方程经过点，可得，

即，即，

因为，所以．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

9．【答案】（1）的普通方程为，曲线的极坐标方程为；（2）相交，长度为．

【解析】（1）的普通方程为，

由，，

曲线圆心的直角坐标为，

曲线的直角坐标方程为，

由，得，

所以曲线的极坐标方程．

（2）曲线圆心的直角坐标为，半径，

所以圆心到直线的距离为，

所以与是相交，．

【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．

一、解答题．

1．【答案】（1）的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）最大值是．

【解析】（1）将直线的参数方程 (为参数，)中的参数消去，

得到直线的普通方程，为，

由曲线的极坐标方程，可得，

又，，∴曲线的直角坐标方程为，

即．

（2）把直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，

得，

设､对应的参数分别为､，则，，

由参数的几何意义知：

，

又点到直线的距离，

∴的面积：

，

当，即时等号成立，故的面积的最大值是．

【点评】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化，关键是能够根据参数的几何意义将已知弦长用韦达定理的形式表示，再利用点到直线的距离表示三角形的高．

一、解答题．

1．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，得．

又，，

的直角坐标方程为．

（2）直线的参数方程为（其中为参数，），

将它代入，得，

设，对应的参数分别为，，则，，

，

又，，，

即．

【点评】直角坐标方程与极坐标方程互化的关键是利用公式，求直线与圆锥曲线的弦长时，

利用直线参数方程的几何意义更简单．

2．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由参数方程知：，

由知：圆C的方程为，

∴点C的极坐标是，

又，

∴圆C的极坐标方程为．

（2）在中，，

由题意知：直线l为，点C到直线的距离，

∴，故当时，线段AB的长取得最小值．

【点评】由参数方程结合同角三角函数的平方关系可得普通方程，应用将方程转化为极坐标方程；由余弦定理得到关于的函数，根据点线距离求得的范围，应用函数性质即可求的最小值．

3．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由曲线的参数方程，

得．

∵，

∴曲线的普通方程为．

由，得．

∵，，

∴直线的直角坐标方程为．

（2）设直线的参数方程为（为参数，），设在直线的参数方程中点，所对应的参数分别为，，

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理得，，

则有，．

∴．

【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查与弦长有关问题的求解．

（1）将参数方程化为普通方程式，只需要将原式合理变形，进行消参即可；将极坐标方程化为直角坐标方程为利用求解；

（2）过点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)，且的几何意义为：是直线上任一点到的距离，设，是直线上任意两点，则有，，．

4．【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．

【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），

转换为，

所以①，②，

②①得．

曲线的极坐标方程为，

根据，转换为直角坐标方程为．

（2）点在直线上，

转换为参数方程为为参数），

代入，得到和为点和对应的参数），

所以，，

所以．

【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，

（1）公式可实现极坐标方程与直角坐标方程的互化；

（2）直线的标准参数方程中参数具有几何意义：过的直线的参数方程为（为参数），则．从向上的点对应，向下的点对应参数．

5．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意，，所以，

设圆的半径为，则，即，解得，

所以圆的直角坐标方程为，即，又，所以，所以．

（2）圆的直角坐标方程为，

则圆的极坐方程为，

当时，；

当时，，

所以的面积．

【点评】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化，以及极坐标下两点的距离公式的应用，属于中档题．

6．【答案】（1）；（2）4．

【解析】（1）可知曲线的普通方程为，

所以曲线的极坐标方程为，

即．

（2）由（1）不妨设，，，

，

所以面积的最大值为4．

【点评】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题．属于中档题．