2021届高考数学（文）二轮专题三 不等式、复数、算法（文） 学案

1．不等式

高考中，不等式部分主要考查利用基本不等式求最值及线性规划问题，还有利用不等式的性质比较大小也是高考的热点，另外一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围．

2．复数

复数主要考查复数的概念及四则运算．

3．算法

算法主要考查程序框图的循环结构，以输出结果为主，且常与函数、数列等知识综合命题．

一、不等式

1．不等式的基本性质

（1）（对称性）

（2），（传递）

（3）（加法单调性）

（4），（同向不等式相加）

（5），（异向不等式相减）

（6），

（7），（乘法单调性）

（8），（同向不等式相乘）

（9），（同向不等式相除）

（10），（倒数关系）

（11），且（乘方法则）

（12），且（开方法则）

（13）；；

2．一元二次不等式

（1）一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一般先将二次项系数化为正数，再判断的符号，然后解对应的一元二次方程，最后写出不等式的解．

（2）一元不等式的恒成立问题

对于

对于恒成立的条件为：二次项系数；

对于恒成立的条件为：，．

3．分式不等式

对于分式不等式：先移项通分标准化，则；．

4．基本不等式

，当且仅当时等号成立．

二、复数

1．形如的数叫做复数，复数通常用字母表示．

全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母表示．其中，分别叫做复数的实部与虚部．

2．复数相等

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．

如果，那么且．

特别地，，．

两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．

3．复数的分类

复数，时为实数；时为虚数，，时为纯虚数，

即复数（，）．

4．复平面

直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数对应复平面内的点．

5．共轭复数

（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

复数的共轭复数用表示，即如果，那么．

（2）共轭复数的性质

①；②非零复数是纯虚数；③，；④；；．

（3）两个共轭复数的积

两个共轭复数，的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即．

6．复数的模

向量的模叫做复数的模(或长度)，记作或．

由模的定义可知（显然，）．

当时，复数表示实数，此时．

7．复数的加法与减法

两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，

即．

8．复数的乘法

（1）复数的乘法法则

复数乘法按多项式乘法法则进行，设，，

则它们的积．

（2）复数乘法的运算律

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何，

有① (交换律)；

② (结合律)；

③ (分配律)．

9．复数的除法

复数除法的实质是分母实数化，

即．

三、算法

程序框图（也叫流程图、算法框图）是由一些框图和带箭头的流线组成的，其中框图表示各种操作的类型，框图中的文字和符合表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序．流程图通常由输入、输出框、

流程线、处理框、判断框、起止框等构成．

一、选择题．

1．已知，且，．若，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，满足，则的最大值为（    ）

A．0 B．1 C． D．2

3．已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（    ）

A．  B．

C． D．

4．若正实数，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

5．设复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

6．执行右面的程序框图，若输入的分别为1，2，3，则输出的（    ）

A． B． C． D．

7．关于的不等式的解集为，且：，则（    ）

A． B． C． D．

8．若正实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9．若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

10．复数 (为虚数单位)在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

11．（多选）设为复数，．下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

12．若复数z为纯虚数，且，则（    ）

A． B． C． D．2

13．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A． B． C． D．

14．运行如图所示的程序框图，若输入的值为时，输出的的值为，则判断框中可以填（    ）

A． B． C． D．

二、填空题．

15．已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_______．

16．若函数的定义域为R，则的取值范围为_______．

17．已知实数满足，则的取值范围是__________．

18．若满足约束条件，则的最大值         ．

19．已知，且满足，则的最大值为____________．

20．在中，，则的最大值为_________．

21．已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为        ．

22．已知复数满足（是虚数单位），则________．

一、选择题．

1．（多选）已知，则的值可以为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

2．（多选）已知，，且，则（    ）

A．  B．

C． D．

一、选择题．

1．复数，则复数在复平面内所对应的点在第（    ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

二、填空题．

2．已知，函数，若对任意，恒成立，

则的取值范围是__________．

3．已知，且，则的最小值为_________．

4．不等式的解集为________．

5．能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________．

6．执行如图所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值为________．

一、选择题．

1．【答案】D

【解析】，

当时，，，

，，；

当时，，

观察各选项可知选D．

【点评】在解不等式时，一定要注意对分为和两种情况进行讨论，

否则很容易出现错误．

2．【答案】D

【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，

在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2，

故选D．

【点评】本题考点为线性规划的基本方法．

3．【答案】A

【解析】由知所以，，选A．

【点评】本题将函数不等式结合，利用函数的性质即可解题，属于基础题型．

4．【答案】C

【解析】变形得，因为，是正实数，

则，

当且仅当时，取最小值，故选C．

【点评】在基本不等式中，遇到已知条件为时，需要先变形为，

然后利用乘“”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值．

5．【答案】C

【解析】，，，，

，故，，故选C．

【点评】此题主要考了复数的运算以及复数的概念，属于基础题．

6．【答案】D

【解析】根据题意由成立，则循环，即；

又由成立，则循环，即；

又由成立，则循环，即；

又由不成立，则出循环，输出．

【点评】此题主要考查框图中循环结构的运行，过程当中，要注意计算不要出错．

7．【答案】A

【解析】因为关于的不等式的解集为，

所以，

又，所以，解得，

因为，所以，故选A．

【点评】本题考查了二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．

8．【答案】D

【解析】，，，，

，

（当且仅当，取等号），故选D．

【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．

9．【答案】D

【解析】由题意，，且，所以，

又，所以，，所以，，

所以，，

当且仅当，即，时，等号成立．

故选D．

【点评】本题考查了对数的运算法则，基本不等式性质，属于中档题．

10．【答案】B

【解析】，故对应的点在第二象限．

【点评】本题考查了复数的运算，复数平面的概念．

11．【答案】BC

【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；

由，可得，

因为，所以，即，B正确；

因为，，

而，所以，所以，C正确；

取，显然满足，但，D错误，

故选BC．

【点评】本题考点为复数的概念以及复数的运算，属于中档题．

12．【答案】D

【解析】由题意，复数，

因为复数为纯虚数，所以，解得，故选D．

【点评】本题考点为复数的概念以及复数的运算，属于基础题．

13．【答案】B

【解析】初始值，，

第一步：，，进入循环；

第二步：，，进入循环；

第三步：，，进入循环；

第四步：，，进入循环；

因此的取值情况以为周期，

又除以余，当时，结束循环，此时对应的的值为，

即输出的值为，

故选B．

【点评】考点：框图的循环结构流程图，属于基础题型．

14．【答案】B

【解析】运行该程序：输入，

第一次循环：，，；

第二次循环：，，；

第三次循环：，，，

因为输出的的值为，所以判断框中可以填，故选B．

【点评】本题考查了循环结构，对于循环次数不大的，一般是逐个循环，计算求解．注意计算的准确性，

属基础题．

二、填空题．

15．【答案】

【解析】因为不等式在R上恒成立．

∴，解得，

故答案为．

【点评】本题为一元二次不等式恒成立问题，属于基础题型．

16．【答案】

【解析】恒成立恒成立，

【点评】此题主要考查了函数的定义域和根式有意义的条件，属于中档题．

17．【答案】

【解析】画出不等式组表示的平面区域，

由图可知原点到直线距离的平方为的最小值，为，

原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为，

因此的取值范围为．

【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围．

18．【答案】

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，

由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，

由图可知，点与原点连线的斜率最大，故的最大值为3．

【点评】此题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

19．【答案】3

【解析】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力．

因为，所以，

当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为3．

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，不等式的解法，属于基础题．

20．【答案】

【解析】由余弦定理：，即，

整理可得：，解得：，

当且仅当时等号成立，

则，即的最大值为．

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，基本不等式等知识点．在运用基本不等式时，一定要注意在使用不等式时，判断符号能否成立．

21．【答案】

【解析】因为函数的图象开口向上的抛物线，

所以要使对于任意的都有成立，

，解得，

所以实数的取值范围为．

【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了利用“三个二次”的结合求解参数的取值范围，是中档题．

22．【答案】5

【解析】由，得，

则|z|=．

故答案为5．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

一、选择题．

1．【答案】CD

【解析】因为，所以，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故．

故选CD．

【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

2．【答案】ABD

【解析】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，所以，

当且仅当时，等号成立，故D正确，

故选ABD．

【点评】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养．

一、选择题．

1．【答案】A

【解析】，

对应的点为，在第一象限，故选A．

【点评】本题考查了复数的代数形式以及几何意义，关键是利用进行化简．

二、填空题．

2．【答案】

【解析】分类讨论：①当时，，即，

整理可得，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，，即，整理可得，

由恒成立的条件可知，，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为．

【点评】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立⇔；

（2）恒成立⇔．有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

3．【答案】

【解析】由可知，且，

因为对于任意，恒成立，

结合均值不等式的结论可得：．

当且仅当，即时等号成立．

综上可得的最小值为．

【点评】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；

二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

4．【答案】

【解析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，

根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．

∵，∴

∵是一个递增函数，∴，

故答案为．

【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．

5．【答案】

【解析】，矛盾，

所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题．

【点评】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．

6．【答案】4

【解析】由程序框图知，当时，

第一次循环：“”否，“是奇数”是，则，；

第二次循环：“”否，“是奇数”否，则，；

第三次循环：“”否，“是奇数”否，则，；

满足条件“”，结束循环，

输出的值为4，故答案为4．

【点评】含有循环结构的程序框图问题，根据框图的结构，逐次循环，注意条件的检验是关键．