2021届高考数学（文）二轮专题十二 不等式选讲（文） 学案

本部分主要考查均值不等式的应用，含绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，恒成立问题，利用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明不等式，柯西不等式的应用等．总体而言难度不大．

知识点1．含绝对值不等式的解法

1．绝对值三角不等式

（1）定理1：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立；

（2）性质：；

（3）定理2：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值不等式的解法

（2）和型不等式的解法

①；

②或．

（3）和型不等式的解法

解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；

解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想．

知识点2：不等式的证明方法

1．基本不等式

定理一：设则，当且仅当时，等号成立．

定理二：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立．

定理三：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立．

2．不等式的证明方法

（1）比较法

①作差比较：；

②作商比较：，．

（2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；

（3）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立；

（4）反证法

①作出与所证不等式相反的假设；

②从条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．

（5）放缩法：要证，可寻找合适的中间量有，从而证得．

一、解答题．

1．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记集合，若，求实数的取值范围．

2．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

3．已知函数的最小值为m．

（1）画出函数的图象，利用图象写出函数最小值；

（2）若，且，求证：．

4．求证：．

5．若．求证：．

6．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为，正数，满足，求的最小值．

一、解答题．

1．已知函数，，．

（1）当时，解不等式；

（2）对任意，，若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

一、解答题．

1．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对任意实数及恒成立，求实数的取值范围．

2．设函数 ()．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围．

3．已知函数．

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

4．设函数，．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若函数恰有三个零点，求实数的取值范围．

5．已知函数的最小值为1．

（1）求不等式的解集﹔

（2）若，求的最大值．

6．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同．

（1）求实数，的值；

（2）求函数的最大值及取最大值时的值．

7．（1）比较与的大小；

（2）已知，，且，证明：．

8．已知函数．

（1）证明：时，；

（2）证明：．

一、解答题．

1．【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）依题意．

当时，，则，故；

当时，，则，无解；

当时，，则，故，

故不等式的解集为或．

（2）依题意，，

而，

则可知，即的值域为，

因为，故，则，

故实数的取值范围为．

【点评】本题考查绝对值不等式的求解，解题的关键是根据绝对值为0时端点分段讨论取绝对值进行求解．

2．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），即为，

等价于或或，

解得，

即不等式的解集为．

（2）因为，

当且仅当时取最小值，

所以由恒成立，可得，

即，解得，

故实数的取值范围是．

【点评】绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

3．【答案】（1）图象见解析，最小值为3；（2）证明见解析．

【解析】（1），

图象如图所示：

由图可知当时取得最小值．

（2）由题意得，

，，，

三式相加并整理得

两边同时加：，并配方得，

，成立．

【点评】本题考查绝对值函数的性质和利用基本不等式证明其它不等式，属基础题．画图象时关键是根据绝对值得零点分段，然后分段绘制函数的图象，证明不等式时要注意使用基本不等式，并注意时当配凑，配方以便使用已知条件证明结论．

4．【答案】证明见解析．

【解析】证明：因为，

所以

．

【点评】本题考查了放缩法证明不等式，关键在于放缩的度的掌握，属于中档题．

5．【答案】证明见解析．

【解析】，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，

设，，，

则在上单调递减，所以，

所以当时，，

所以．

【点评】证明不等式通常利用通分、因式分解、配方等变形，变形是为了更有利于判断符号．

6．【答案】（1）；（2）最小值为1．

【解析】（1），

由，得或或，

解得或，

故不等式的解集为．

（2）由绝对值三角不等式的性质，可知，

当且仅当时取“”号，

，即．

，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为1．

【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

一、解答题．

1．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

不等式，即，即，

解得或(舍去)，

由，解得或．

所以不等式的解集是．

（2）由题意知，只需满足即可．

，，

依题意，当时，，

由一次函数性质知，在上单调递增，在和上单调递减，

．

由，得，即．

所以实数a的取值范围是．

【点评】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集．

一、解答题．

1．【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）当时，不等式为．

所以或或，

解得或，

综上所述，不等式的解集为或．

（2），

而，当且仅当时等号成立．

即当x和a变化时，的最小值为2，

因为不等式对任意实数x及a恒成立，

∴，∴．

【点评】本题是含参数的不等式恒成立问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集的对立面(如的解集是空集，则恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔ ，恒成立⇔ ．

2．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

当时，，无解；

当时，由，可得；

当时，由，可得，

故不等式的解集为．

（2）因为恒成立，即，

∵，

∴．

当或时，不等式显然成立；

当时，，得，则，

故的取值范围为．

【点评】绝对值不等式的解法，

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

3．【答案】（1）最小值为；（2）．

【解析】（1）当时，，

由解析式可知，在和上单调递减，且在处连续，在上单调递增，

故在处取得最小值，且，所以的最小值为．

（2），，，

又，，，，

．

即在上恒成立，

令在上单调递减，，

，解得，

综上，的取值范围为．

【点评】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图象在 上方即可)；

③讨论最值或恒成立．

4．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）若，不等式，即，

则或

或，

解得或或，

故原不等式的解集为．

（2）由，得，

设，，

在平面直角坐标系中做出的大致图象，如图所示，

结合图象分析，可知当，即时，

、的图象有三个不同的交点，

故函数恰有三个零点时，实数的取值范围是．

【点评】函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．

5．【答案】（1）；（2）3．

【解析】（1）∵，

当且仅当时，取得最小值．

又∵的最小值为1，∴，

∵，∴．

∴，等价于．

当时，所求不等式等价于，解得，符合题意；

当时，所求不等式等价于，解得，与条件矛盾；

当时，所求不等式等价于，解得，符合题意，

综上，原不等式的解集为．

（2）∵，∴，

∴，

∴．

当且仅当时，取得最大值3．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

6．【答案】（1），；（2）时，的最大值为41．

【解析】（1）由，得或，

即或．

∴不等式的解集为或，

∴不等式的解集为或；

从而，为方程的两根，

，则．

（2）因为函数的定义域为，

又，，

由柯西不等式可得：

，

当且仅当，即时等号成立，

，此时．

【点评】求解本题第一问的关键在于利用绝对值不等式的解法求出不等式解集，再利用三个二次之间关系的求解即可；第二问求解时，只需直接利用柯西不等式求解即可，要熟记柯西不等式．

7．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为，

所以，

因为，，所以．

（2）证明：因为（当且仅当时，等号成立），

（当且仅当时，等号成立），

所以，

当且仅当时，等号成立，

因为，所以，

当且仅当时，等号成立，

所以．

【点评】（1）不等式的大小比较，可利用作差法或作商法，前者需要定号，后者需要和1比较大小且需注意代数式的符号．

（2）利用基本不等式证明不等式，注意将目标代数式配凑成与已知条件相关的新的代数式．

8．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）时，，

故为增函数，．

（2）由（1）知：，

令时，有，

故，，…，，

将式相加得：，

∴．

【点评】（1）利用函数的导函数确定函数单调性证明函数不等式．

（2）由（1）结论，令有，应用累加求和求证不等式．