高中数学专题复习：专题复习（七）——坐标系与参数方程 Word版含解析学案

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专题复习（七）—— 坐标系与参数方程（一）知识梳理1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点，叫做极点，自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点，极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点M的极角，记为.有序数对叫做点M的极坐标，记作.一般地，不作特殊说明时，我们认为可取任意实数.特别地，当点在极点时，它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示: (2)互化公式：设是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是()，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下，由确定角时，可根据点所在的象限取最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线 注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式，其中，只有的极坐标满足方程. 5.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.6.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一.应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同. 7．圆的参数设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则.这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度.圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：.  8．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为.注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似.9．双曲线的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中.焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为以上参数都是双曲线上任意一点的离心角.10．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为.11．直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为.（1）直线参数方程中参数t的几何意义：表示直线上任一点到定点的距离.当点在上方时，；当点在下方时，；当点与重合时，.（2）关于直线参数t的重要结论：设直线与曲线交于，两点，对应的参数分别为，，直线上一定点①曲线的弦长为②线段的中点对应的参数；当定点刚好为线段的中点时，，即.③④（3）利用直线参数t的几何意义解题需满足两点：（两者缺一不可，此即为直线的标准参数方程）①直线的参数方程里t的两个系数必须满足平方和等于1；（设，则）②要求的距离里涉及到的定点必须是直线的参数方程里的定点.注：如果不是直线的标准参数方程，而非要利用参数t的几何意义求解的话，那就只能先把直线的参数方程转化为直线的标准参数方程，才可以利用几何意义求解 .（二）典例剖析考点一：平面直角坐标系中的伸缩变换 例1：在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C1：x2＋y2＝36变为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)P、Q分别为C1与C2上的点，求|PQ|的最小值与最大值．解：　(1)设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，则，∴4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.∴曲线C1在伸缩变换后得椭圆C2：＋＝1.(2)C1是以O为圆心，半径r＝6的圆，C2是以O为中心，长半轴长a＝3，短半轴长b＝2的椭圆(如下图)．∴|PQ|min＝r－a＝6－3＝3. |PQ|max＝r＋a＝6＋3＝9.考点释疑：平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．　考点二：极坐标与直角坐标的互化 例2：(1)点的互化] ①把点M的极坐标化成直角坐标；②把点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标．解：(1)①∵ x＝－5cos ＝－，y＝－5sin＝－，∴ 点M的直角坐标是 . ② ρ＝＝＝2，tan θ＝＝ .∵点M在第三象限，ρ>0，∴最小正角θ＝ .∴ 点M的极坐标是 .(2)方程互化]在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.(ρ≥0,0≤θ<2π)①求圆O和直线l的直角坐标方程；②当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．解：①圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.②由①知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．考点释疑：极坐标与直角坐标互化的注意点：①在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．②在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．　　考点三：参数方程、普通方程、极坐标方程、直角坐标方程互化例3：(1) 在平面直角坐标系中，求曲线C：(t为参数)的普通方程．解： x＝2＋t，所以t＝x－2，代入y＝1＋t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.曲线C的普通方程为x－y－1＝0.(2) 已知曲线C的参数方程为(t为参数)，求曲线C的极坐标方程.解：将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将，代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.曲线C的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(3)已知曲线C的极坐标方程为，求曲线C的直角坐标方程.解：由得  将代入上式，得，即曲线C的直角坐标方程为.(4)已知直线的普通方程为，求直线的参数方程.解：直线的倾斜角为，且直线上一定点为（1，2）直线的参数方程为，即.考点释疑：消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．　　考点四：参数方程的应用 例4：已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|+|MB|与|MA|·|MB|的值．解：(1)由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ.将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入ρ2＝2ρcos θ得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.(2)将(t为参数)代入x2＋y2－2x＝0，得t2＋5t＋18＝0.设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，.，例5：已知直线:．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝3 .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(2，1)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|+|MB|与|MA|·|MB|的值．解：(1)由ρ＝3得ρ2＝9将ρ2＝x2＋y2代入，得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝9 .(2)将 消去t，得.  过定点（2，1），倾斜角为的直线的标准参数方程为将代入x2＋y2＝9，得设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，.，考点释疑：解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式；利用直线参数t的几何意义解题时，参数方程必须是直线的标准参数方程才可以用几何意义求解（参数t的两个系数的平方和等于1，且涉及到的定点必须是参数方程里的定点，两者缺一不可），如果不是直线的标准参数方程，而非要用参数t的几何意义求解的话，那就只能先把直线的参数方程转化为直线的标准参数方程才可以用几何意义求解 .考点五：求参数方程条件下的最值 例6：已知曲线C1的参数方程是C1：(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝a(a＞0)，直线l的极坐标方程是ρsin＝1，曲线C2与直线l有两交点A，B.(1)求C2与l的普通方程，并求a的取值范围；(2)设P为C1上任意一点，当a＝2时，求△PAB面积的最大值．解：(1)由ρ＝a(a＞0)得ρ2＝a2，即C2的普通方程为x2＋y2＝a2.由ρsin＝1得ρsin θ＋ρcos θ＝1，即l的普通方程为x＋y－2＝0.曲线C2与直线l有两交点A，B 圆心到直线的距离d＝＜a，得  a的取值范围为(1，＋∞)．(2)设P(cos φ，4sin φ)当a＝2时，|AB|＝2＝2，P到直线l：x＋y－2＝0的距离为d＝＝≤，所以△PAB面积的最大值S＝|AB|dmax＝×2×＝.考点释疑：求参数方程中最值问题的三个策略：①曲线方程上的点用参数方程表示；直线用普通方程表示；利用相关距离公式将目标转化为求以参数为变量的函数的最值；②当曲线是圆时，数形结合更快捷方便；③利用直线参数方程中参数的几何意义时，需特别注意方向性．（三）历年高考真题训练1、（2011年高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数），M是C1上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线C2.（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.         2、（2012年高考全国卷Ⅰ）已知曲线的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程式.正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为.（Ⅰ）求点的直角坐标；（Ⅱ）设为上任意一点，求的取值范围.          3、（2013年高考全国卷Ⅰ）已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标．           4、（2014年高考全国卷Ⅰ）已知曲线：，直线：（为参数）.（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.           5、（2015年高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：，圆C2：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为，设C2与C3的交点为M，N，求的面积．              6、（2016年高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：.（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为，其中满足，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.             7、（2017年高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，直线l的参数方程为.（Ⅰ）若，求C与l的交点坐标；（Ⅱ）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.              历年高考真题训练参考答案1、  解：（Ⅰ）设，则由已知得由于点在上    的参数方程为（为参数）.（Ⅱ）由得将代入上式，得曲线的极坐标方程为同理得，曲线的极坐标方程为射线与的交点的极径为射线与的交点的极径为.2、解：（Ⅰ）由已知得，点的极坐标分别为       ，同理可得点的直角坐标分别为     （Ⅱ）设（其中）         的取值范围为.3、解：（Ⅰ）将消去参数t，得(x－4)2＋(y－5)2＝25即：x2＋y2－8x－10y＋16＝0将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.（Ⅱ）由ρ＝2sin θ得  C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0由 解得或C1与C2交点的极坐标分别为，.4、解：（Ⅰ）由得，曲线的参数方程为 由消去，得直线的普通方程为（Ⅱ）设（其中）则点P到直线：的距离为     又5、解: （Ⅰ）将代入，(x－1)2＋(y－2)2＝1中，得的极坐标方程为的极坐标方程为       （Ⅱ）将代入，得，解得=，=|MN|=－=   又的半径为1.6、解：（Ⅰ）由（t为参数，a＞0）得， ①∴是以为圆心，为半径的圆而方程①即为将代入上式，得的极坐标方程为．（Ⅱ）由两边同乘以，得，即    ②将：化为普通方程为由题意知：和的公共方程所在直线即为①—②得：，即为∴   ∴7、解：（Ⅰ）由得，即由消去参数，得直线的普通方程为当时，代入可得直线为由得或与的交点坐标为或（Ⅱ）设上任意一点为（其中）则到直线：的距离为即，化简可得，又  或或