高中数学高考课后限时集训29 平面向量的基本定理及坐标表示 作业

平面向量的基本定理及坐标表示

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一、选择题

1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b等于(　　)

A．(6,3)　　　　　　　　 B．(－2，－6)

C．(2,1)   D．(7,2)

B　[2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．]

2．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)   B．(2，＋∞)

C．(－∞，＋∞)   D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

D　[由题意可知a与b不共线，即3m－2≠2m，∴m≠2.故选D.]

3．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)

A．c＝a＋b   B．c＝－a－b

C．c＝a＋b   D．c＝a－b

A　[设c＝xa＋yb，易知

∴

∴c＝a＋b.故选A.]

4.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于(　　)

A.   B.

C．1   D.

A　[法一：＝＋＝＋

＝＋(＋)＝－，

所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.

法二：本题也可以用特例法，如取ABCD为正方形，解略．]

5．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，则t＝(　　)

A．0   B.

C．－2   D．－3

C　[由题意得a－b＝(2，－1)，2a＋tb＝(2－t,2＋2t)．因为(a－b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)＝(－1)×(2－t)，解得t＝－2，故选C.]

6．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)

A．a－b

B.a－b

C．a＋b

D.a＋b

D　[连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，

所以＝＋＝b＋a.]

7．(2019·厦门模拟)已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)

A．2   B.

C．3   D．4

C　[∵·＝0，∴⊥，

以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，

＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．

∵tan 30°＝＝，∴m＝3n，即＝3，故选C.]

二、填空题

8．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为        ．

(－3，－5)　[∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，

∴＝－＝－＝(－3，－5)．]

9．已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝        .

2　[由＝(＋－)＝(＋)知，点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以＝(－2,2)．

故||＝＝2.]

10．平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝        .(用e1，e2表示)

－e1＋e2　[如图，＝－＝＋2＝＋

＝－＋(－)

＝－e2＋(e2－e1)

＝－e1＋e2.]

1．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为(　　)

A．e1＋e2

B．－2e1＋e2

C．2e1－e2

D．2e1＋e2

B　[以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意可得e1＝(1,0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3,1)，因为a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，则解得

故a＝－2e1＋e2.]

2.(2019·南充模拟)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝(　　)

A．－   B.

C．－   D.

D　[由题可得A(2,0)，B，C.因为＝λ＋μ，所以由向量相等的坐标表示可得解得所以＝，故选D.]

3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝        .

3　[由已知条件得＋＝－，M为△ABC的重心，∴＝(＋)，

即＋＝3，则m＝3.]

4．如图，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，则＝        ；＝        .(用e1，e2表示)．

－e1＋e2　－e1＋e2　[设＝x，＝y，则＝x，＝－y.

由＋＝，＋＝，

得

①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，

所以＝－e1＋e2.

同理可得y＝(－2e1＋e2)，

即＝－e1＋e2.]

1．已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点M，N，且＝x，＝y(x，y＞0)，则3x＋y的最小值是(　　)

A.   B.＋

C.   D.

B　[设BC的中点为D，

则＝＝＋＝＋.

∵M，G，N三点共线，∴＋＝1.

又x＞0，y＞0，

∴3x＋y＝(3x＋y)＝＋＋≥＋2＝＋.

当且仅当＝，即x＝＋时取等号，

∴3x＋y的最小值是＋.故选B.]

2．矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为        ．

　[建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)．

∵AP＝，∴x2＋y2＝.

点P满足的约束条件为

∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，∴(x，y)＝λ(，0)＋μ(0，)，

∴∴x＋y＝λ＋μ.

∵x＋y≤＝＝，当且仅当x＝y时取等号，

∴λ＋μ的最大值为.]