专题09 数学与生活-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）（解析版）

专题09   数学与生活

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ）

A．表高 B．表高

C．表距 D．表距

【答案】A

【试题解析】如图所示：

由平面相似可知，，而，所以

，而，

即＝．

故选：A.

【命题意图】

1.相识三角形问题

2.考察数学与生活问题

3.考查学生的阅读理解能力

【命题方向】

最近3年每年都会出现数学应用问题，也是命题的热点问题。预测在2022年的高考过程中也会出现一个数学应用题目的出现

【得分要点】

1.   会分析并提取数学问题
2.   建立数学模型，并提取相关数据。
3.   通过数学模型解决相关题目

一、单选题

1．（2021·河南郑州市·高二期末）胡夫金字塔的形状为正四棱锥.年，英国作家约翰·泰勒在其《大金字塔》一书中提出：埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，即．已知四棱锥底面是边长约为英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上条件，的长度（单位：英尺）约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用勾股定理可得，可得出，可解得，即可得解.

【详解】

由已知可得平面，平面，，

，，，由勾股定理可得，即，

，又因为，所以，，即，

解得.

故选：D.

2．（2021·广东高三其他模拟）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，，据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

计算出，利用二倍角的余弦公式可求得，然后利用诱导公式可求得的值.

【详解】

由题意可得，且，

所以，，

因此，.

故选：A.

3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明.相传它是在商代由商高发现，故又人有称之为商高定理.我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”.西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数､弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……，如勾为21，则弦为（    ）

A．217 B．219 C．221 D．223

【答案】C

【分析】

根据“弦与股长相差为1”列方程，解方程求得弦.

【详解】

设弦为，则股为，

.

故选：C

4．（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设球的半径为，可得出圆柱的底面半径与高，利用球体的表面积公式以及圆柱的表面积公式可得结果.

【详解】

设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，

则圆柱的表面积为，球的表面积为．

所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为．

故选：C．

5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O是六角形的对称中心，A，B是六角形的两个顶点，动点P在六角形上(内部以及边界).若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设，，求的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，再根据对称可得最小值.

【详解】

如图，设，，求的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，讨论如下：

当点P在A处时，，，故；

当点P在B处时，，，故；

当点P在C处时，，故；

当点P在D处时，，故；

当点P在E处时，，故；

当点P在F处时，，故.

于是的最大值为5.

根据其对称性可知的最小值为，故的取值范围是.

故选：C.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是根据题意得出只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可.

6．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设，，设数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求得，利用等比数列的求和公式可求得，利用分组求和法可求得，由已知条件可得出关于的不等式，即可得解.

【详解】

，则，故数列是公比为的等比数列，

则，

所以，，

由可得，

，所以，即.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

7．（2021·陕西西安市·高新一中高三二模（理））鼎被誉为中国历史上的传国重器，是青铜器文化的代表，是国家权力的象征，有着鼎盛千秋的寓意.年在河南安阳出土的后母戊鼎是一件形制巨大、工艺精巧、威武庄严的商后期青铜祭器，该器重，口长，口宽，连耳高，厚，某中学青铜文化研究小组的同学发现鼎的耳、身、足的高度之比约为．据此推算，后母戊鼎的器腹容积最贴近的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题中信息求出鼎的器腹容积，即可得出合适的选项.

【详解】

由题意可知鼎的器腹容积约为，

与选项C最贴近，

故选：C．

8．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（理））我国宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出了三斜求积公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”，即，其中S，a，b，c分别表示三角形的面积和三边，a为大斜，b为中斜，c为小斜.若某三角形的大斜､中斜和小斜边上的高分别为1，，，则此三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据高可设，，，分别利用面积公式和三斜求积公式表示出面积即可求得，得出面积.

【详解】

由题可知；

不妨设，，，则.

将三边代入三斜求积公式中可得.

故由面积可列出方程，解得，

所以.

故选：B.

9．（2021·浙江高一期末）阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

首先理解题意，直接求解圆柱的体积，即可得圆柱底面的半径，再求圆柱的表面积.

【详解】

由题意可知，，，

设圆柱底面半径为，则，得，

则圆柱的表面积.

故选：C

二、多选题

10．（2021·福建厦门市·高三二模）达芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数则以下正确的是（    ）

A．是奇函数 B．在上单调递减

C．， D．，

【答案】BCD

【分析】

根据题意写出函数的解析式，由函数奇偶性的定义，即可判断选项A是否正确；根据导数在函数单调性中的应用以及复合函数的单调性，即可判断选项B是否正确；由基本不等式，即可判断选项C是否正确；再根据选项C，结合特称命题的特点，即可判断选项D是否正确.

【详解】

由题意可知，，定义域为

所以，所以是偶函数；故选项A错误；

函数的导数为，

所以当时，，当时，，

所以函数，单调递减区间为 ，单调递增区间为，

又，所以函数在上单调递增，

由复合函数的单调性可知，在上单调递减，故选项B正确；

由基本不等式可知，，当且仅当时取等号；故选项C正确；

由C可知，，，所以，使得成立，故选项D正确；

故选：BCD.

11．（2021·广东茂名市·高三二模）古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5m，C与F间的距离小于11m，则该古建筑中A与B间的距离可能是（    ）（参考数据：，，，，，）

A．26.8m B．30.1m C．27m D．29.2m

【答案】AC

【分析】

设，，由题设可知，，结合已知条件列不等式组，求的范围即可确定正确选项.

【详解】

设，，

∵矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，

∴有，，，，，，

由题设得：，解得．

故选：AC．

三、填空题

12．（2021·全国高三其他模拟）若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是一个“函数”，试写出一个“函数”：__________．

【答案】 (答案不唯一).

【分析】

根据得到，即写一个周期为1的函数即可.

【详解】

当时，由得，所以只需写一个周期为1的函数，

所以满足条件的函数可以为.

故答案为： (答案不唯一).

13．（2021·河南高一三模）折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.用时须展开，成扇形，聚头散尾.如图，某折扇的扇骨长度，扇面长度，已知折扇展开所对圆心角的弧度为，则扇面的面积为___________.

【答案】

【分析】

由扇形面积公式即可求出.

【详解】

由题可知，扇面的面积为.

故答案为：.

14．（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.

【答案】25

【分析】

分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.

【详解】

由题意可得，大正方形的边长为：，

则其面积为：，

小正方形的面积：，

从而.

故答案为：25.

15．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三其他模拟）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为___________

【答案】

【分析】

先分析所有表示的数的种数，然后考虑所表示的数不大于的种数：①下珠在个、十位档上、②下珠在百位档上，根据种数相除即可求解出数字不大于的概率，则所表示的数字大于的概率可求.

【详解】

由题意，在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，

再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有种，

①当在个､十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个､十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有种；

②当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个､十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有种；

所以所拨数字大于300的概率为，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于理解每个位档上一个算珠所表示的数字大小以及“正难则反”思想的运用，利用排列组合的思想先分析数字小于的种数，最后结合古典概型的概率计算方法完成求解.

16．（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则________，其在点处的切线方程为________．

【答案】       

【分析】

利用复合函数的求导法则可求得，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程.

【详解】

，故，则.

故曲线在点处的切线方程为.

故答案为：；.

17．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽形容他创立的“割圆术”说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”即用正边形进行内外夹逼，可以求得圆周率的精确度较高的近似值.借用这种“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线，再进行相关计算.若函数，则曲线在点处的切线方程为___________；用此结论计算：___________.

【答案】       

【分析】

利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据题意得出，由此可求得结果.

【详解】

由题意知的定义域为，，

故曲线在点处的切线的斜率为，

所以切线的方程为.

因为非常接近，所以有，

则.

故答案为：；.