专题20 导数-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）（解析版）

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专题20 导数

【母题来源】2021年高考乙卷
【母题题文】设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
【答案】1；证明见详解

【试题解析】（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，假设能取到，则，故；
当时，，单增，假设能取到，则，故；
综上所述，在恒成立
【命题意图】考查导数的概念、导数公式、求导法则、导数的几何意义及导数的应用，考查数学式子的变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力．
【命题方向】
从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，问题的难度、深度与广度在不断加大，对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
【得分要点】
1.函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，常见的题型及其解法如下：
（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
①求f ′(x)；
②确认f ′(x)在(a，b)内的符号；
③作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
（3）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
②可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
③若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
（4）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
2.函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
3.求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
4.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.


1．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）．
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据导函数的几何意义，先求斜率，再带入化简整理即可；
（2）方法一：不等式恒成立可等价转化为，构造函数，然后通过函数单调性，求最值即可；
方法二： 恒成立，即，进行同构变形，则构造函数，利用函数单调性求解不等式，进而转化为，接下来参变分离即得出结果.
【详解】
（1）根据题意可知：
，，
所以，，
所求的直线方程为，
即．
（2）方法一：，，
故不等式恒成立可等价转化为：
在上恒成立，
记，，
当时，，不合题意；
当时，．
记，，
则，
所以在上是增函数，又，，
所以使得，即①，
则当时，，即，
当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以②，
由①式可得，，
代入②式得，
因为，即，
故，，即，
所以时，恒成立，故的取值范围为．
方法二：根据已知条件可得：，，
且恒成立；
故可等价转化为：恒成立．
设，则，单调递增，
因而恒成立，即恒成立．
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，从而即为所求．
【点睛】
恒成立问题求参数的取值范围的方法：
（1）参数分离法；
（2）构造函数法：①构造函数，然后通过研究函数的单调性，求出最值，解不等式即可；②构造函数，研究函数的单调性，利用单调性解不等式，然后转化之后进行参变分离.
2．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））设函数，其中．
（Ⅰ）当时，在时取得极值，求；
（Ⅱ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求函数的导数利用求解；
（Ⅱ）根据函数的单调性可得在上恒成立，利用二次函数的最值求解.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
依题意有，故，
此时，
取得极大值，所以；
（Ⅱ）当时，，
若在上单调递增，
则在上恒成立，
设，
只需，即.
3．（2021·吉林高三其他模拟（理））已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的极值点，，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
(1)切线斜率为，根据点斜式可写出直线方程；
(2)根据，是方程的解，由二次函数根的分布情况求出的范围，再结合函数的单调性进行分析可解出此题.
【详解】
(1)当时，，
，
，
又，
切线方程为：，
即切线方程为：.
(2)，
.
令，
有两个不同的极值点、，
方程在上有两个不同的解和，
且，解得：或，
又，，，且、，
，，，.
，二次函数图象开口向下，
当时，，
，
又，
故.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
4．（2021·四川成都市·石室中学高二期中）已知函数为奇函数，且的极小值为.
（1）求和的值；
（2）若过点可作三条不同的直线与曲线相切，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）首先根据函数是奇函数求得，接着根据的极小值为求得，所以；（2）设点是曲线的切点，根据导数的几何意义求得切线方程，进而得到，构造函数，根据函数图象与有三个不同的交点求实数的取值范围.
【详解】
（1）因为是奇函数，所以恒成立，则.
所以，
所以，
则
令，解得或.
当时，，当时，.
在单调递减，在单调递增，
所以的极小值为，
由，
解得，
所以，.
（2）由（1）可知，
设点是曲线的切点，
则在点处的切线的方程为
即
因为其过点，
所以，
，
当时，，当时，，当时，
所以为极大值点，为极小值点，
由于，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
5．（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知是函数的极值点.
（1）求的值，并证明恒成立；
（2）证明：对于任意正整数，
【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由可解得；对求导，结合单调性可得的最小值为，进而可得；
（2）由（1）知，当时，，取，（，），可得，令，相加可证得结论.
【详解】
（1），，
因为，所以，
由得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，.
即当时，恒成立.
（2）由（1）知，当时，，（时取等号.）
取，（，）得，
即，令，相加得到
，
所以，，
即对任意，.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问的关键点是：证得，（，）.
6．（2021·山东高三其他模拟）已知函数，．
（1）若函数在处取得极大值，求实数的值；
（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先根据极值点对应的导数值为零求解出的可取值，然后检验的取值下在处是否取极大值，由此确定出的值；
（1）先将问题转化为“时，”，再通过换元将问题转化为“恒成立”，然后构造函数，采用分类讨论的方法分析的最小值与的关系，由此求解出的值.
【详解】
（1）因为，所以，
因为在处取极大值，所以，所以，所以
当时，，









+



单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
所以在处取极大值，符合题意；
（2）当时， ，．
又因为对，不等式，所以时，，
所以时，，
令，因为为上的增函数，且的值域为，所以，
故问题转化为“恒成立”，不妨设，所以，
当时，，所以在上单调递增，且，
所以当时，，这与题意不符；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，所以，
记，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
又因为，即，所以.
【点睛】
方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
7．（2021·浙江高二期末）已知函数的一个极值点是．
（Ⅰ）当时，求b的值，并求的单调增区间；
（Ⅱ）设，若，使得成立，求实数a的范围．
【答案】（Ⅰ），的单调增区间为；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）求出函数导数，可得，即可解得，令即可求得单调递增区间；
（Ⅱ）求出函数导数，由题可得出且，根据导数得出函数的单调性，可求得的最大值，即可求得的范围.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
的一个极值点是，则，即，解得，
此时由解得，
所以，的单调增区间为；
（Ⅱ），是极值点，
则，解得且，
因为，因此由知在单调递增，在单调递减，
，
则由题可得，解得，.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是得出且，，从而判断出的单调性.
8．（2021·全国高二单元测试）已知函数f(x)＝x3﹣ax2+（a+3）x﹣2a﹣1，其中a∈R．
（1）若函数f(x)在x＝1处取极大值，确定函数f(x)的单调性；
（2）证明：函数f(x)只有一个零点．
【答案】（1）f(x)在（﹣∞，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求出函数的导数，根据＝0，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据f(x)＝（x2﹣x+2）（x+1+﹣a），函数f(x)只有1个零点，即函数g(x)＝x+1+﹣a只有1个零点，根据函数g(x)的单调性证明即可．
【详解】
解：（1）＝3x2﹣2ax+a+3，
由题意＝6﹣a＝0，解得a＝6，
故＝3（x﹣1）（x﹣3），
令＞0，解得x＞3或x＜1；令＜0，解得1＜x＜3，
故f(x)在（﹣∞，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增；
（2）证明：f(x)＝（x3+3x﹣1）﹣a（x2﹣x+2），
∵x2﹣x+2＞0恒成立，且＝x+1+，
∴f(x)＝（x2﹣x+2）（x+1+﹣a），
故函数f(x)只有1个零点即函数g(x)＝x+1+﹣a只有1个零点，
由＝＞0恒成立，故函数g(x)在R递增，
又g(x)＝x+1+﹣a，
故当2x﹣3＞0时，g(x)＞x+1﹣a且当x＞a﹣1时，x+1﹣a＞0，
令x0＝max{，a﹣1}，则当x＞x0时，g(x)＞0，
从而g(x)在x＞x0时无零点，
当2x﹣3＜0时，g(x)＜x+1﹣a且当x＜a﹣1时，x+1﹣a＜0，
令x1＝min{，a﹣1}，则当x＜x1时，g(x)＜0，
故g(x)在x＜x1时无零点，
根据零点存在定理以及g(x)在R上为增函数，
g(x)在（x1，x0）上只有1个零点，
故函数f(x)只有一个零点．
【点睛】
方法点睛：函数的零点问题的求解，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得到，画出的图象分析得解）.解题时，要根据已知条件灵活选择方法求解.
9．（2021·江苏高二专题练习）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）增区间是，减区间是．（2）
【分析】
（1）求导函数，利用得增区间，得减区间；
（2）求导函数，由在上有两个不等实根可得参数范围．
【详解】
（1），，，
当，即时，，
当，即时，，
所以的增区间是，减区间是．
（2），
，
由题意在上有两个不等实根．即有两个实根．
设，则，
时，，所以时，，递增，时，，递减，
，，，
所以当时，在上有两个实根．有两个极值点．
【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究函数的极值点问题，解题关键是把极值点的个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，从而研究函数的单调性与极值可得．
10．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，且极小值大于，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，；（2）．
【分析】
（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）求得，当时，不满足条件，当时，利用导数求得函数的极小值，根据，得到，当时，的极小值，根据求得，即可求解．
【详解】
（1）当时，，则，
令，解得或，
当或时，，故的单调增区间为，，
当时，，故的单调增区间为，
所以的单调增区间为，单调减区间为，．
（2）由函数，
可得，
当时，，解得，不满足条件，
当时，，解得或，
因为函数有两个极值点，故，
当时，，函数在时取到极小值
，
由题意，解得，即，故；
当时，，在时取到极小值，
由题意，解得，故．
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】
解答有关函数的极值问题的方法与策略：
1、求得函数的导数，不要忘记定义域，求得方程的根；
2、判定的根的左右两侧的符号，确定函数的极值点或函数的极值；
3、注意的根不是函数极值点的充要条件，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
11．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（理））已知函数.
（1）求的极值；
（2）证明：.
【答案】（1）极小值为2，无极大值；（2）证明见解析.
【分析】
(1)对函数求导，求为正为负的x范围，进而求得极值；
(2)先讨论时与的最值，x>3时构造函数不断求导，讨论单调性即可得解.
【详解】
（1）的定义域为，，在上单调递增，且，
由，得，则的单调递减区间为，由，得，则的单调递增区间为，
所以时，取得极小值，极小值为2，无极大值；
（2）设，
令，得；令，得或.
所以当时，取得极大值，且极大值为2，0 由（1）知，，故当时，.
设，
，令，
设，易知在上单调递增，
则，在上单调递增，
从而，则在上单调递增，
则，从而在上单调递增，
所以，故当时，，
从而成立.
【点睛】
关键点睛：在指定区间上某些函数不等式恒成立问题，可以把区间分成几段，再讨论在各段上恒成立即可.
12．（2021·贵州高三二模（理））已知函数，为函数的导数，证明：
（Ⅰ）在区间上存在唯一极大值点；
（Ⅱ）在区间上有唯一零点.
【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）证明见详解.
【分析】
（Ⅰ）先对函数求导，再令，再对求导，根据导数的方法判定其单调性，即可得出极大值点，从而可得结论成立；
（Ⅱ）先对函数求导，先研究时，根据函数单调性，以及零点存在性定理，判定函数在区间上有一个零点；再研究，判定此时恒成立，即可证明结论成立.
【详解】
（Ⅰ）由可得，
令，，
则，
令，则，
因为，所以，，
即在上恒成立，
所以在上单调递减；
因为，，
由零点存在性定理可得：存在唯一，使得；
所以当时，，即；当时，，即；
即在上单调递增；在上单调递减，
所以在区间上存在唯一极大值点；
即在区间上存在唯一极大值点；
（Ⅱ）因为，
当时，显然恒成立，所以在上单调递减；
又，，
根据零点存在性定理，存在唯一的，使得，
即函数在区间上有一个零点；
当时， ，，
所以恒成立，
因此在区间上没有零点；
综上，在区间上有唯一零点.
【点睛】
思路点睛：
利用导数的方法判定函数极值点个数、零点个数等问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的方法判定函数单调性，从而可得函数的极值等.