备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）专题06 计数原理（解析版）

专题06   计数原理

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【试题解析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

【命题意图】

1.考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能力．

2.考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力．

【命题方向】

1.排列、组合问题一般以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类和分步计数原理，也可能与古典概型相结合进行考查.

2.高考对二项式定理的考查主要是利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型一般为选择题、填空题.

【得分要点】

1.解排列、组合综合应用问题的思路：

解排列、组合综合应用问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手，“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决.

2.排列问题与组合问题的识别方法：

若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关；

若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关.

3.解排列、组合题的“24字方针，12个技巧”：

（1）“24字方针”是解排列、组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．

（2）“12个技巧”是速解排列、组合题的捷径．即：

①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；

⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；

⑨至少(多)问题间接法；⑩选排问题先取后排法；⑪局部与整体问题排除法；⑫复杂问题转化法．

4.熟记二项式定理及通项：叫做二项式定理，为展开式的第项．

5.活用二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即.

（2）增减性与最大值：二项式系数为，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的，当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．

（3）各二项式系数的和：

的展开式的各个二项式系数的和等于，即.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即.

6.求展开式系数的最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项的系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出来，即得．

7.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如、的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令即可；对形如的式子，求其展开式各项系数之和，只需令即可．

8.若，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为.

注意：某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与的取值有关，而二项式系数与的取值无关．

1．（2021·湖南高三其他模拟）某公司销售六种不同型号的新能源电动汽车、、、、、，为了让顾客选出自己心仪的电动汽车，把它们按顺序排成一排，必须安排在前两个位置，、不相邻，则不同的排法有（    ）

A．144种 B．156种 C．160种 D．178种

【答案】B

【分析】

本题可分为安排在第一个位置、安排在第二个位置两种情况进行讨论，然后将安排在第二个位置分为第一个位置安排或、第一个位置不安排或两种情况进行讨论，即可得出结果.

【详解】

若安排在第一个位置，然后排列、、，有种，、用插空法进行排列，则这种情况共有种排法；

若安排在第二个位置，第一个位置安排或，再安排其它，则有种排法；

若安排在第二个位置，第一个位置不安排或，从、、中选一个安排在第一个位置，再排其他两个，最后用插空法排列、，有种排法，

综上所述，共有种排法，

故选：B.

2．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，那么不同的涂法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【分析】

先确定底面的涂色种数，然后依次确定侧面、平面的涂色方法种数，对侧面与侧面的所涂颜色是否相同进行分类讨论，确定侧面的涂色方法种数，利用分步和分类计数原理可得结果.

【详解】

如下图所示：

底面的涂色有种选择，侧面有种选择，侧面有2种选择.

①若侧面与侧面所涂颜色相同，则侧面有种选择；

②若侧面与侧面所涂颜色不同，则侧面有种选择，侧面有种选择.

综上所述，不同的涂法种数为种.

故选：B.

3．（2021·重庆高三三模）已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（    ）

A． B． C．9 D．10

【答案】C

【分析】

根据的展开式中各项系数之和为0，令可得参数，再根据通项公式可求解.

【详解】

的展开式中各项系数之和为0.

令得，解得.

.

则展开式的通项公式为：

则展开式的常数满足：

则或，

则该展开式的常数项是.

故选：C.

4．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）的展开式中的系数为（    ）

A．72 B．60 C．48 D．36

【答案】C

【分析】

先求得展开式中含项的系数，进而可得结果.

【详解】

的展开式的通项公式为：

.

令，得；令，得，舍去；令，得.

故的展开式中的系数为.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：

（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

5．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）某班级的六名同学计划制作一个关于清明节的宣传板，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法有多少种（    ）．

A．11种 B．15种 C．30种 D．9种

【答案】B

【分析】

利用分类加法计数原理进行分析，考虑丙是否是美工，由此展开分析并计算出不同的分工方法种数.

【详解】

解：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，

然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有种分工方法；

若丙不是美工，则丙一定是总负责人，

此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有种分工方法；

综上，共有种分工方法，

故选：B．

6．（2021·全国高三其他模拟）某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（      ）

A．80种 B．120种 C．130种 D．140种

【答案】D

【分析】

分夫妻只选一人，两人全选两种情况计算，夫妻全选时，先用用捆绑法求解.

【详解】

若夫妻中只选一人，则有种不同的方案；

若夫妻二人全选，则有中不同方案，

故总计有140种不同方案，

故选：D.

7．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）多项式的展开式中含项的系数为（     ）

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【分析】

利用杨辉三角展开，再分析展开式与相乘的积中项即可得解.

【详解】

由杨辉三角知，

的 展开式的项有，

所以展开式中含项的系数为4.

故选：D

8．（2021·全国高三其他模拟）的展开式中，x2的系数是（    ）

A．250 B．520 C．205 D．502

【答案】C

【分析】

利用的展开式的通项公式可求出结果.

【详解】

因为，

的展开式的通项公式为，,

所以x2的系数为.

故选：C

9．（2021·江苏高二月考）在的二项展开式中，的系数是（    ）

A．8 B． C．10 D．

【答案】D

【分析】

利用二项式定理的通项公式，直接求出的系数．

【详解】

的二项展开式的通项公式为：，

要求的系数，只需，解得：r=1.

所以的系数是：.

故选：D.

10．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）二项式的展开式中，的系数为（    ）

A．10 B．20 C．40 D．80

【答案】C

【分析】

利用二项展开式的通项公式可得，求出的值，即可得到答案；

【详解】

，

，

，

故选：C.

二、填空题

11．（2021·湖北省直辖县级行政单位·高三其他模拟）某商场在舂节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满300元，则可以从“福”字､春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件.若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是___________.

【答案】

【分析】

结合排列组合与古典概型概率计算公式即可求出结果.

【详解】

解：四人领取3种礼品有种领取法，有且仅有2人领取的礼品种类相同的方法为，所以所求概率为.

故答案为：.

12．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三其他模拟）甲、乙、丙、丁、戊5个人分到，，三个班，要求每班至少一人，则甲不在班的分法种数有______.

【答案】100

【分析】

根据甲自己去一个班、甲和其他四人中一人去一个班，甲和其他四人中二人去一个班进行分类讨论进行求解即可.

【详解】

根据题意有以下三类情况：

1、甲单独去一个班，则有种方法，剩下四人就分两组去剩下的二个班，

（1）每班都有2人，则有种方法；

（2）一班1人，一班3人，则有种方法，

因此甲单独去一个班，共有种方法；

2、甲和剩下4人中其中一人去一个班，则有种方法，

剩下的3人分两组分别去剩下的2个班，则有种方法，

因此甲和剩下4人中其中一人去一个班，共有种方法；

3、甲和剩下4人中其中二人去一个班，则有种方法，

因此剩下的2人去剩下的2个班，共有种方法，

所以甲和剩下4人中其中二人去一个班共有，

所以甲不在班的分法种数有种方法，

故答案为：100

13．（2021·江苏高三其他模拟）为了强化劳动观念，弘扬劳动精神，某班级决定利用班会课时间进行劳动教育.现要购买铁锹､锄头､镰刀三种劳动工具共10把，每种工具至少购买1把，则不同的选购方法共有___________种.

【答案】36

【分析】

设购买铁锹把，锄头把，镰刀把，则，然后依次对x=1，x=2，x=3，…x=8分类求解即可．

【详解】

设购买铁锹把，锄头把，镰刀把，则，

当时，，有8种选购方法；

当时，，有7种选购方法；

以此类推，共有种不同的选购方法.

故答案为：36.

14．（2020·石家庄市藁城区第一中学高三其他模拟（理））中国古代的五经是指：《诗经》､《尚书》､《礼记》､《周易》､《春秋》，甲､乙､丙､丁､戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有___________.

【答案】54

【分析】

根据题意，分2种情况讨论：①甲选择了《春秋》，②甲没有选择《春秋》，分析每种情况下的分法数目，由加法原理计算可得答案．

【详解】

根据题意，分2种情况讨论：

①，甲选择了《春秋》，乙有3种选法，将剩下的三本书全排列，对应丙、丁、戊3人，有种情况，则此时有种分法；

②，甲没有选择《春秋》，则甲的选法有3种，乙的选法有2种，将剩下的三本书全排列，对应丙、丁、戊3人，有种情况，则此时有种分法；

则一共有种选法.

故答案为：54．

15．（2021·河南商丘市·高二月考（理））从的展开式的各项系数中任意选取两个数，这两个数的商的不同的结果有_______________种.

【答案】7

【分析】

根据题意，写出的展开式即可得到答案.

【详解】

根据题意，，

故展开式的各项系数只出现3个不同的数字，故从的展开式的各项系数中任意选取两个数，这两个数的商的不同的结果有种.

故答案为：7.

16．（2021·北京高三其他模拟）已知的展开式中第四项的系数是10，则实数的值是______.

【答案】

【分析】

利用二项展开式的通项公式，求出第四项的系数，列出方程，求解a的值即可.

【详解】

的展开式的通项公式为，

因为的展开式中第四项的系数是10，

所以，解得.

故答案为：