专题04 指数函数与对数函数-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（原卷版）

专题04  指数函数与对数函数

1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）

A．1.5  B．1.2

C．0.8  D．0.6

【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）

【答案】C

【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解．

【解析】由，当时，，

则．故选C．

1．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)

A．1.2天  B．1.8天

C．2.5天       D．3.5天

2．【2020年高考全国I卷理数】若，则

A．  B． 

C．  D．

3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）

A．60        B．63    

C．66        D．69

4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则

A．a<b<c  B．b<a<c 

C．b<c<a  D．c<a<b

5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则

A．ln(y−x+1)>0      B．ln(y−x+1)<0  

C．ln|x−y|>0       D．ln|x−y|<0

6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则

A．  B．

C．  D．

7．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a>b，则

A．ln(a−b)>0         B．3a<3b        

C．a3−b3>0        D．│a│>│b│

8．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1   B．10.1

C．lg10.1     D．10−10.1

9．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A． B．   

C． D．

11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则

A．（log3）＞（）＞（） 

B．（log3）＞（）＞（）

C．（）＞（）＞（log3）

D．（）＞（）＞（log3）

指、对数的计算问题相对比较基础，细心计算即可。另外，指、对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.

1．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般的，声音的强度用（）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用（单位：分贝，，其中是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度的取值范围是（     ）

A．  B．

C．  D．

2．已知，，，则

A．  B．

C．  D．

3．设，则的大小关系为

A．  B．

C．  D．

4．设，则的大小关系是

A． B．

C． D．

5．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：，联系两个天体的星等､和它们对应的亮度､.这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是，猎户星座的“参宿一”星等是，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的倍.（当较小时，）

A．  B．

C．  D．

6．已知 则

A．  B．2

C．  D．

7．已知，，，则a，b，c的大小关系是

A．  B．

C．  D．

8．已知，，，则，，，则

A．  B．

C．  D．

9．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”.该办法已于2020年4月开始施行.通常我们以分贝为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：.若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为

A．4  B．100

C．40000  D．10000

10．已知、、，且、、，下列不等式正确的是

A．  B．

C．  D．

11．已知，，，则

A．  B．

C．  D．

12．已知实数满足：，，则

A．  B．

C．  D．

13．已知，，，则、、的大小关系为

A． B．

C． D．

14．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是

A．  B．

C．  D．

15．设，则的大小关系是

A．  B．

C．  D．

16．若，，，，则，，大小关系正确的是

A． B．

C． D．

17．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的 以下，则至少需要过滤的次数为

(参考数据，)

A．10  B．12

C．14  D．16

18．若，则的大小关系是

A． B．

C． D．

19．若，则

A． B．

C． D．

20．已知，则的大小关系为

A．  B．

C．  D．

21．若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是

A． B．

C． D．

22．若非零实数满足，则与最接近的整数是

A．3  B．4

C．5  D．6

23．设，，，则a，b、c的大小关系为

A．  B．

C．  D．

24．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是

A．a＜b＜2  B．b＜a＜2

C．2＜a＜b  D．2＜b＜a

25．某市政府为加强数学科学研究，计划逐年加大研发资金投入.已知市政府1980年全年投入研发资金100万元，2020年全年投入研发资金500万元，若每年投入的研发资金的增长率相同.则该市政府2021年全年投入的研发资金约为(本题可用自然对数的近似公式：时，，参考数据：)

A．515  B．520

C．525  D．530

26．设，，则

A．  B．

C．  D．

27．已知，则

A．  B．

C．  D．

28．设，，，则

A． B．

C． D．

29．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为（为原污染物总量）．要能够按规定排放废气，则需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（参考数据：取）

A．13  B．14

C．15  D．16

30．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为（为原污染物总量），要能够按规定排放度气，则需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（参考数据；取）

A．14  B．15

C．16  D．17