2020-2021学年新疆伊犁奎屯市高一（上）期末考试数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年新疆伊犁奎屯市高一（上）期末考试数学试卷人教A版（2019），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 集合A={x∈N|lg2x≤1}，集合B={x∈Z|x2≤5}，则A∩B=( )
A.⌀B.{2}C.{1, 2}D.{0, 1, 2}

2. 已知角α的终边过点P−8m,−3，且csα=−45，则m的值是( )
A.12B.−12C.32D.−32

3. 函数fx=4−4x−ex的零点所在的区间为( )
A.−2,−1B.−1,0C.1,2D.0,1

4. 已知AB→=(2,3)，AC→=(3,t)，|BC→|=1，则AB→⋅BC→=( )
A.2B.3C.−2D.−3

5. 已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象关于( )对称.
A.点(π4,0)B.直线x=π8C.点(π8,0)D.直线x=π4

6. 已知a=lge1π，b=lgeπ，c=lgπe，则a，b，c的大小关系是( )
A.a
7. 设函数fx=2−x，x<1，lg4x，x>1，则满足fx=14的x的值为( )
A.2和2B.2和−2C.2D.2

8. 如图所示为函数y=Asinωx+φ的图象的一部分，则( )

A.y=2sin2x+π3B.y=2sin2x−π3C.y=2sin2x+π6D.y=2sin2x−π6

9. 已知a→=32,sinα，b→=csα,13且a→//b→，则锐角α的大小为( )
A.π6B.π4C.π3D.5π12

10. 已知函数fx是以周期为2的奇函数，当x∈0,1时，fx=x−12，则f−92=( )
A.12B.−12C.14D.−14

11. 在△ABC中，sinA=513，csB=35，则csC的值是( )
A.1665B.−1665C.3665D.−3665

12. 已知函数fx=cs2x+acs(π2+x)在区间(π6,π2)上是增函数，则实数a的取值范围为( )
A.[−2,+∞)B.−2,+∞C.−∞,−4D.(−∞,−4]
二、填空题

与向量a→=1,−3反向的单位向量为________.

函数y=lg0.52x+3的定义域为________．（用区间表示）

已知a→=2,3，b→=−1,1，则a→在b→方向上的投影为________.

设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=________.

三、解答题

已知α为第三象限角，且 fα=sin3π2−αcsπ2−αtan−α+πsinπ2+αcsπ2+α.
(1)化简fα；

(2)若sinα是5x2−7x−6=0的根，求fα的值．

已知奇函数y=fx 在[0,+∞)上的图象如图所示，顶点坐标为1,−1.

(1)求fx在R上的解析式并画出fx的图象；

(2)由图象指出fx的单调区间（不需要证明）.

已知▱ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是A−2,1，B−1,3，C3,4.
(1)求顶点D的坐标；

(2)求向量AB→和AD→夹角的余弦值．

已知函数f(x)=ax的图象经过点(2,14)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；

(2)若函数g(x)=x4a5，解关于t的不等式g(2t−1)
若a→与b→的夹角等于π3 ，|a→|=2，|b→|=3.
(1)求a→⋅b→的值；

(2)求2a→−b→与a→+2b→的夹角的余弦值．

已知函数f(x)=2cs2ωx−1+23csωxsinωx(0<ω<1)，直线x=π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数 f(x) 的单调递增区间；

(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g(2α+π3)=65，α∈(0,π2)，求sinα的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年新疆伊犁奎屯市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
指、对数不等式的解法
一元二次不等式的解法
【解析】
可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：由题意可得，A={1, 2}，B={−2, −1, 0, 1, 2}，
故A∩B={1, 2}．
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
利用任意角的三角函数得r=−8m2+−32=64m2+9，
所以csα=−8m64m2+9=−45，得解.
【解答】
解：由题设得r=−8m2+−32=64m2+9，
所以csα=−8m64m2+9=−45，
解得m=12.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)=4−4x−ex单调递减，
f(0)=3>0，f(1)=−e<0，
由函数的零点判断定理可知，函数f(x)的零点所在区间为(0, 1).
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积的坐标表达式
向量模长的计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ AB→=(2,3)，AC→=(3,t),
∴ BC→=AC→−AB→=(1,t−3).
又∵ |BC→|=1，
∴ 12+(t−3)2=1,
解得：t=3，
∴ AB→⋅BC→=2.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的对称性
三角函数的周期性及其求法
【解析】
利用正弦函数的周期公式可先求得ω，再利用正弦函数的性质得到答案．
【解答】
解：∵ω>0，T=2πω=π，
∴ω=2，
∴f(x)=sin(2x+π4)，
∴其对称中心为：(kπ2−π8,0)，k∈Z，
故A，C不符合；
令2x+π4=kπ+π2，k∈Z，
得x=kπ2+π8，k∈Z.
当k=0时，直线x=π8即为函数f(x)的一条对称轴，
故B符合，C不符合.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用对数的运算性质a=lge1π=−lgeπ<−lgee=−1，
b=lgeπ>lgee=1，0
【解答】
解：由题设得，
a=lge1π=−lgeπ<−lgee=−1，
b=lgeπ>lgee=1，
0故a故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
对数及其运算
【解析】
利用分段函数讨论，在利用指数与对数的运算可得解.
【解答】
解：当x<1时，得2−x=14，
即2−x=2−2，解得x=2与x<1矛盾.
当x>1时，得lg4x=14，
解得x=414=2214=212=2.
故满足fx=14的解为x=2.
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由图象确定A,ω，再将π6,2代入y=2sin2x+φ解得φ=2kπ+π6,k∈Z，得解.
【解答】
解：由图象得A=2，T2=2π3−π6，
则T=π.
又T=2πω，
解得ω=2，
所以y=2sin2x+φ.
将π6,2代入y=2sin2x+φ，
解得φ=2kπ+π6，k∈Z，
所以y=2sin2x+π6.
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
平行向量的性质
二倍角的正弦公式
【解析】
利用向量共线得sinαcsα=12，再利用二倍角公式以及α∈0,π2，可得解.
【解答】
解：由题知a→//b→，得32×13−sinαcsα=0，
解得sinαcsα=12，即sin2α=1.
∵ α为锐角，即α∈0,π2，
∴ 2α∈0,π，
∴ 2α=π2，即α=π4.
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
函数的周期性
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知函数fx是以周期为2的奇函数，
所以f−92=f(−52)=f(−12)
=−f12=−12−12=−14.
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的余弦公式
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由csB的值及B为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB大于sinA，得到A为锐角，由sinA的值求出csA的值，将csC变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：在△ABC中，sinA=513，csB=35，
∴ sinB=1−cs2B=45>513=sinA，
∴ A为锐角，
∴ csA=1−sin2A=1213，
则csC=−cs(A+B)
=−csAcsB+sinAsinB
=−1213×35+513×45=−1665．
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
复合函数的单调性
【解析】
利用二倍角化简得到f(x)=−2sinx+a42+1−a28,令t=sinx,则fx=gt=−2t+a42+1−a28,
根据t=sinx在区间π6,π2上是增函数可得t∈12,1,即可得解实数a的取值范围
【解答】
解：f(x)=1−2sin2x−asinx
=−2sinx+a42+1+a28.
令t=sinx，
则gt=−2t+a42+1+a28.
由于f(x)在区间π6,π2上是增函数，
∴ g(t)在区间12,1上是增函数，
∴ −a4≥1，
∴ a≤−4，
∴ 实数a的取值范围为(−∞,−4].
故选D．
二、填空题
【答案】
−1010,31010
【考点】
单位向量
【解析】
利用设a→=1,−3的反向单位向量为−a→a→，可得解.
【解答】
解：由题设a→=1,−3的反向单位向量为：
−a→|a→|=−1,−312+−32=−1010,31010.
故答案为：−1010,31010.
【答案】
−32,+∞
【考点】
对数函数的定义域
【解析】
利用对数的真数大于0，可得解.
【解答】
解：由题设得，2x+3>0，
解得，x>−32，
所以函数的定义域为−32,+∞.
故答案为：−32,+∞.
【答案】
22
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的投影
【解析】
利用a→⋅b→=2×−1+3×1=1，b→=2，
所以a→在b→方向上的投影为a→csθ=a→⋅b→b→得解.
【解答】
解：由题设得a→⋅b→=2×−1+3×1=1，
|b→|=2，
所以a→在b→方向上的投影为：
|a→|cs=|a→|⋅a→⋅b→|a→||b→|=12=22.
故答案为：22.
【答案】
2
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=(x+1)2+sinxx2+1
=x2+2x+1+sinxx2+1
=1+2x+sinxx2+1.
令g(x)=2x+sinxx2+1，
则g(−x)=−g(x)，则g(x)为奇函数.
设x=−x1时，g(x)取得最小值，此时f(x)亦取得最小值
m=1+−2x1−sinx1−x12+1
=1−2x1+sinx1x12+1,
根据奇函数关于原点对称，则x=x1时，g(x)取得最大值
M=1+2x1+sinx1x12+1.
则m+M=2.
故答案为：2.
三、解答题
【答案】
解：(1)fα=−csαsinα−tanαcsα−sinα=−tanα．
(2)因为5x2−7x−6=5x+3x−2=0，
所以sinα=−35或sinα=2（舍）.
因为α为第三象限角，
所以csα=−45，
所以tanα=34，
即fα=−tanα=−34．
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fα=−csαsinα−tanαcsα−sinα=−tanα．
(2)因为5x2−7x−6=5x+3x−2=0，
所以sinα=−35或sinα=2（舍）.
因为α为第三象限角，
所以csα=−45，
所以tanα=34，
即fα=−tanα=−34．
【答案】
解：(1)设fx=ax−12−1.
∵ f0=0，
∴ a=1，
∴ fx=x2−2x，x≥0.
当x<0时，−x>0，
则f−x=−x2−2−x=x2+2x．
又fx是奇函数，
∴ fx=−f−x=−x2−2x．
∴ fx=x2−2x，x≥0，−x2−2x，x<0.
作出图象，如图所示．
(2)由图知，函数fx的单调递增区间是(−∞,−1]，[1,+∞)，
单调递减区间是−1,1．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数图象的作法
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设fx=ax−12−1.
∵ f0=0，
∴ a=1，
∴ fx=x2−2x，x≥0.
当x<0时，−x>0，
则f−x=−x2−2−x=x2+2x．
又fx是奇函数，
∴ fx=−f−x=−x2−2x．
∴ fx=x2−2x，x≥0，−x2−2x，x<0.
作出图象，如图所示．
(2)由图知，函数fx的单调递增区间是(−∞,−1]，[1,+∞)，
单调递减区间是−1,1．
【答案】
解：(1)设Dx,y，
由题可知AB→=DC→，AB→=1,2，
所以1,2=3−x,4−y，
即x=2，y=2，
所以点D的坐标为2,2．
(2)由(1)可知AB→=1,2，AD→=4,1，
所以|AB→|=5，|AD→|=17．
设AB→与AD→的夹角为θ，
则csθ=AB→⋅AD→|AB→||AD→|=4+25×17=68585．
【考点】
平行向量的性质
平面向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设Dx,y，
由题可知AB→=DC→，AB→=1,2，
所以1,2=3−x,4−y，
即x=2，y=2，
所以点D的坐标为2,2．
(2)由(1)可知AB→=1,2，AD→=4,1，
所以|AB→|=5，|AD→|=17．
设AB→与AD→的夹角为θ，
则csθ=AB→⋅AD→|AB→||AD→|=4+25×17=68585．
【答案】
解：(1)∵ 函数f(x)=ax的图象经过点(2,14)，
∴ f(2)=a2=14，解得a=12．
(2)由(1)知，a=12，
∴ g(x)=x4a5=x25，且g(x)为定义在R上的偶函数，
在(−∞, 0)上递减，在(0, +∞)上递增，
∴ 不等式g(2t−1)不等式g(|2t−1|)即|2t−1|<|t+1|，
平方得3t2−6t<0，
解得0即不等式的解集为(0, 2)．
【考点】
一元二次不等式的解法
指数函数的定义、解析式、定义域和值域
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）根据指数函数过点，代入即可求a的值；
（2）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可．
【解答】
解：(1)∵ 函数f(x)=ax的图象经过点(2,14)，
∴ f(2)=a2=14，解得a=12．
(2)由(1)知，a=12，
∴ g(x)=x4a5=x25，且g(x)为定义在R上的偶函数，
在(−∞, 0)上递减，在(0, +∞)上递增，
∴ 不等式g(2t−1)不等式g(|2t−1|)即|2t−1|<|t+1|，
平方得3t2−6t<0，
解得0即不等式的解集为(0, 2)．
【答案】
解：(1)a→⋅b→=|a→||b→|csπ3=2×3×12=3．
(2)由(1)得，a→⋅b→=3，
则2a→−b→⋅a→+2b→
=2|a→|2+3a→⋅b→−2|b→|2
=8+9−18=−1，
|2a→−b→|=2a→−b→2
=4|a→|2−4a→⋅b→+|b→|2
=16−12+9=13，
|a→+2b→|=a→+2b→2
=|a→|2+4a→⋅b→+4|b→|2
=4+12+36=213.
设2a→−b→和a→+2b→的夹角为θ，
则csθ=2a→−b→⋅a→+2b→|2a→−b→||a→+2b→|
=−113×213=−126．
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)a→⋅b→=|a→||b→|csπ3=2×3×12=3．
(2)由(1)得，a→⋅b→=3，
则2a→−b→⋅a→+2b→
=2|a→|2+3a→⋅b→−2|b→|2
=8+9−18=−1，
|2a→−b→|=2a→−b→2
=4|a→|2−4a→⋅b→+|b→|2
=16−12+9=13，
|a→+2b→|=a→+2b→2
=|a→|2+4a→⋅b→+4|b→|2
=4+12+36=213.
设2a→−b→和a→+2b→的夹角为θ，
则csθ=2a→−b→⋅a→+2b→|2a→−b→||a→+2b→|
=−113×213=−126．
【答案】
解：(1)∵ 函数f(x)=2cs2ωx−1+23csωxsinωx(0<ω<1)，
∴ f(x)=cs(2ωx)+3sin(2ωx)
=2sin(2ωx+π6)(0<ω<1)．
∵ 直线x=π3是函数f(x)图象的一条对称轴，
∴ 2ω⋅π3+π6=kπ+π2，k∈Z，
∵ (0<ω<1)，
∴ ω=12．
∴ f(x)=2sin(x+π6)，
令−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得：−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z，
∴ 函数f(x)的单调递增区间为：[−2π3+2kπ,π3+2kπ]，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)=2sin(x+π6)，
可得g(x)=2sin[12(x+2π3)+π6]=2cs12x．
由g(2α+π3)=65，α∈(0,π2)，
可得2cs[12(2α+π3)]=65，
故cs(α+π6)=35．
∴ sin(α+π6)=1−cs2(α+π6)=45.
∴ sinα=sin[(α+π6)−π6]
=sin(α+π6)csπ6−cs(α+π6)sinπ6
=45×32−35×12
=43−310．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
正弦函数的单调性
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为2sin(2ωx+π6)，根据直线x=π3是f(x)图象的一条对称轴，故2sin(2ω⋅π3+π6)=2，故有2ω⋅π3+π6=kπ+π2，k∈z，再由0<ω<1，求出ω 的值．
【解答】
解：(1)∵ 函数f(x)=2cs2ωx−1+23csωxsinωx(0<ω<1)，
∴ f(x)=cs(2ωx)+3sin(2ωx)
=2sin(2ωx+π6)(0<ω<1)．
∵ 直线x=π3是函数f(x)图象的一条对称轴，
∴ 2ω⋅π3+π6=kπ+π2，k∈Z，
∵ (0<ω<1)，
∴ ω=12．
∴ f(x)=2sin(x+π6)，
令−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得：−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z，
∴ 函数f(x)的单调递增区间为：[−2π3+2kπ,π3+2kπ]，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)=2sin(x+π6)，
可得g(x)=2sin[12(x+2π3)+π6]=2cs12x．
由g(2α+π3)=65，α∈(0,π2)，
可得2cs[12(2α+π3)]=65，
故cs(α+π6)=35．
∴ sin(α+π6)=1−cs2(α+π6)=45.
∴ sinα=sin[(α+π6)−π6]
=sin(α+π6)csπ6−cs(α+π6)sinπ6
=45×32−35×12
=43−310．