沪教版高中一年级 第一学期3.2函数关系的建立教案

这是一份沪教版高中一年级 第一学期3.2函数关系的建立教案，共19页。
知识梳理与应用
基础1：根据初等函数定义、性质求解析式
【例1】（2016上海曹杨二中高一开学考试）★☆☆☆☆
幂函数的图像过点，则的解析式是______________．
【答案】
【详解】
设幂函数的解析式为，由题意可得：，解得：，
即的解析式是.
【例2】（2016上海中学高一期中）★★☆☆☆
已知二次函数，，当时，函数取到最小值，且最小值为0；
（1）求解析式；
【答案】（1）；
【详解】
解：（1）时，函数取到最小值，且最小值为0，
，，
解得，，
.
【例3】（2017上海市向明中学高三月考）★★☆☆☆
已知函数的图像过点和．
（1）求函数的解析式；
【答案】（1）；
【详解】
（1）由已知得，解得，
∴.
【练习】（2019上海市吴淞中学）★★☆☆☆
已知函数是幂函数.
求函数的解析式；
【答案】；
【详解】
函数是幂函数，则，
故
基础2：建立函数关系
本部分题目节选自解答题的小问，因此小问的题号往往只有（1）（2）.
【例4】（2021华师大二附中高一月考）★★★☆☆
游泳馆为了保持室内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施，该设施的下部是矩形，其中米，米，上部是个半圆，固定点为的中点，是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风)，是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆（和、不重合）.
（1）当和之间的距离为1米时，求此时三角通风窗的通风面积；
（2）设和之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；
【答案】（1）平方米；（2）；
【详解】
（1）当和之间的距离为1米时， 此时在上方，
且此时的边上的高为米，
又因为，所以米，
所以平方米，
即三角通风窗的通风面积为平方米；
（2）当在矩形内滑动时，，；
当在半圆区域内滑动时， ，此时，
所以，
综上可知：；
【例5】（2021黄浦区高三二模）★★☆☆☆
某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元.
（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)
【答案】（1）答案见解析；
【详解】
解：(1) 答案不唯一. 构造出一个函数；
说明是单调严格增函数；
函数的取值满足要求.
如，，就是符合企业奖励的一个函数模型.
理由：
根据一次函数的性质，易知，随增大而增大，即为严格增函数；
当时，，
当时，，即奖金金额且不超过20万元.
故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.
【练习】（2021上海闵行区高一期末）★★☆☆☆
由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且游客人均消费近似地满足（元），，.
（1）求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的函数关系式；
【答案】（1）；
【详解】
（1），
；
综合类型
综合1：已知函数的解析式，求的解析式
【例6】（2016上海格致中学高一期中）★★☆☆☆
已知函数满足：，则函数________．
【答案】
【详解】
方法一：换元法
令，则
故
故.
方法二：凑配法
，
所以
【例7】（2017上海市民办市北高级中学高一月考）★★★☆☆
已知，则=____________；
【答案】
【详解】
令，所以有，
因此有.
故答案为：
【练习】（2017上海市育才中学高一月考）★★☆☆☆
已知，则=________.
【答案】
【详解】
令，得x＝，代入已知式子，可得＝＝，故有.
故答案为：
【练习】（2018上海市新川中学高一期中）★★★☆☆
，则________.
【答案】（且）
【详解】
，设 且
即（且）
故答案为：（且）
【练习】（2018·上海市第二中学高一期中）★★★☆☆
若，则_____________.
【答案】
【详解】
令，则且，
可得，
所以.
故答案为：.
综合2：已知函数的解析式，求的解析式
【例8】（2020交大附中高一期末）★★★☆☆
若函数的解析式为，则 ．
【答案】1．
【解答】解：若为有理数，则，所以（1），
若是无理数，则，则，
故答案为：1．
【例9】（2018七宝中学高一期中）★★★☆☆
若函数，则 .
【答案】
【解答】解：令，则，
，
，
故答案为：．
【练习】（2021绿园区校级月考）★★★★☆
设，又记，，，2，3，，则 .
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：根据题意，，
则，
，
，
则，
故，
故选：．
综合3：根据函数方程求解析式
【例10】（2019徐汇区上海中学高一期末）★★★☆☆
定义在R上的函数满足：，求的解析式；
【答案】.
【详解】，①，即，②
由①②联立解得：．
【例11】（2015上海理工大学附属中学高一月考）★★★☆☆
已知函数满足，则______．
【答案】
【详解】因为，故，
故可得即.
【例12】（2016上海上外附中高一期末）★★★★☆
已知函数满足，其中且，则函数的解析式为__________.
【答案】
【详解】
由题意，用代换解析式中的，可得，…….（1）
与已知方程，……（2）
联立（1）（2）的方程组，可得，
令，则，所以，
所以.
故答案为：.
【例13】（2018·上海市金山中学高一期末）★★★★☆
设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．
【答案】
【详解】
是定义在上的函数，且对任意，恒成立，
令，得
，
即，
，
。
故答案为：
【练习】（编者精选）★★★★☆
根据下列条件，求函数的解析式；
（1）若满足，则____________；
（2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立.
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数､都成立，且；
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.
【详解】
（1）因为①
令，②
解由①②组成的方程组得.
故答案为: .
（2）将代入等式得出，
联立，变形得：，
解得.
（3）
，
令，由双勾函数的性质可得或，
，
或.
（4）因为对一切实数､都成立，且
令则，又因为
所以，即.
综合4：根据奇偶性求解析式（本讲不讲，参见第11讲）
综合5：根据对称性求解析式（本讲不讲，参见第13讲）
综合6：根据周期性（或类周期性）求解析式（本讲不讲，参见第13讲）
1、（2021春•江州区校级月考）★★☆☆☆
若，则 .
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：根据题意，，
则，故，
故选：．
2、（2018·上海闵行中学高一期中）★★☆☆☆
已知，则________
【答案】
【详解】
设，则，代入化简得到：
即
故答案为.
3、（2021上海市大同中学高一期末）★★★☆☆
已知四边形为边长为1的正方形，轴，某一直线与正方形 相交，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点部分的面积记为，则将表示为的函数，其解析式为 ______________ .
【答案】
【详解】
讨论当直线在的右侧时，即直线与正方形的交点在时，
当时，直线的左侧为三角形，
此时，
当直线与正方形的交点在时，即，
直线的左侧为五边形，
，
所以表示为的函数解析式为，
故答案为：.