沪教版高中一年级 第一学期2.2一元二次不等式的做法教案及反思

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知识梳理与应用
主要考察：二次函数的区间最值
一元二次函数在给定区间上的值域（以为例）：
设，
1．当时，的值域为；
2. 当时, ，；
此时根据二次函数的轴对称性，两个区间端点，距离对称轴较远的那一个端点函数值更大，即：
（1）当时，；
（2）当时，；
3. 当时，的值域为.
基本思路：
判断二次函数的对称轴与给定区间的位置关系；
判断二次函数在给定区间上的单调性；
确定二次函数在给定区间的最值；
基础类型：不含参二次函数的区间最值
【例1】（2021·上海市延安中学高一期末）★★☆☆☆
函数在区间上的值域为____________.
【答案】
【详解】函数的对称轴为，所以可知函数在上是减函数，在上是增函数，所以函数最小值为，又因为时，；时，，所以函数最大值为，所以值域为.
故答案为：.
【练习】（2020·上海高一专题练习）★★☆☆☆
求函数的值域______________．
【答案】
【详解】由题意，知：且，
∴，所以函数值域为.
进阶类型一：含参情况下二次函数的的区间最值
当含有参数的时候，二次函数的对称轴与区间的位置关系无法确定，此时需要分类讨论对称轴与区间的位置关系：
（1）轴动区间定
【例2】（2017·上海市七宝中学高一期中）★★★☆☆
设二次函数在区间上的最大值、最小值分别为，集合.
（1）若，且，求；
（2）若，且，记，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1），
，，有两根为1，2．
由韦达定理得
（2）若，方程有两相等实根，
根据韦达定理得到，，所以，，
，，
其对称轴方程为
，
则（）
又（）在区间，上为单调递增的，
当时，（）
（2）轴定区间动
【例3】（2017·上海曹杨二中）★★★☆☆
设，函数的最小值为.
（1）求的解析式
（2）画出函数的大致图形
（3）求函数的最值
【答案】（1）；（2）作图见详解；
（3）最小值为，无最大值
【详解】
（1）由于函数对称轴为，
当时，函数在闭区间上单调递增，
故函数的最小值为；
当，即时，故函数的最小值；
当，即时，函数在闭区间上单调递减，
故函数的最小值为；
综上所述，，
（2）作出的图像，如图所示：


（3）由（2）的图像，函数的最小值为，无最大值.
综上所述，函数的最小值为，无最大值.
（3）已知区间最值求参数
【例4】（2016·上海华师大二附中高一期中）★★★★☆
已知函数；
（1）若函数在区间上的最小值为，求实数的取值范围；
（2）是否存在整数，，使得关于的不等式的解集恰好为，若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在整数，，，或，，使得关于的不等式的解集恰好为
【详解】
解：（1）函数的对称轴为，
①当，即时，，不满足，
②当，即时，符合题意.
③，即时，.
综上：实数的取值范围：.
（2）假设存在整数，，使得关于的不等式的解集恰好为，即的解集为.可得，.
即的两个实数根为，.即可得出.，.
，当时，不存在，舍去，
当时，，或，.
故存在整数，，且，或，，使得关于的不等式的解集恰好为.
【练习】1、（2021·上海市大同中学高一期末）★★★☆☆
已知，，，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求函数的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，，其中.
①当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，；
②当时，函数在区间上单调递增，此时，.
综上所述，；
（2）当时，，其中.
①当时，函数在区间上单调递增，；
②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，；
③当时，函数在区间上单调递减，所以，.
综上所述，.
【练习】2、（2020·上海市行知中学高一月考）★★★☆☆
已知函数．
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）若函数在区间上有最小值，求的值．
【答案】（1）值域为；（2）或或．
【详解】
（1）当时，，其对称轴为
所以，
所以函数在区间上的值域为
（2）函数图象的对称轴为
当，即时，在区间上单调递增，
解得或（舍）
当，即时，在区间上单调递减，区间上单调递增
解得
当，即时，在区间上单调递减，
解得或（舍）
综上：或或
进阶类型二：复合二次形式函数最值
【例5】（2018·上海市罗店中学高一期末）★★★☆☆
已知函数
（1）若，求的值域；
（2）当时，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【详解】
解：（1）当时,
则
因为,所以,.
（2）令,因为,故,
函数可化为,
当时,；
当时,；
当时,；
综上,.
【练习】（2021·上海高三三模）★★★★☆
已知函数.
（1）设是图像上的两点，直线斜率存在，求证：；
（2）求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，；当时，.
【详解】
（1）∵单调递增，单调递减，
∴在定义域上是单调增函数，而，
∴恒成立，结论得证.
（2）由题意，有且，
令，则，开口向上且对称轴为，
∴当，即时，，即；
当，即时，，即；
1、（2020·上海市嘉定区第二中学高一月考）★★★★☆
已知函数.
（1）若时，函数的最大值也是，求的值.
（2）若函数，求函数的最小值.（提示，或）
（3）若函数，，求函数的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）时，函数的最大值为；时，函数的最大值为.
【详解】
（1）在上递增，的最大值为，
解得（舍去），或.
（2）设，则或，
则，
对称轴为，离对称轴较近，时，.
（3），
抛物线开口向上，对称轴为，函数在上递减，在上递增，
当时，离对称轴较远，；
当时，离对称轴较远，，
综上可得，时，函数的最大值为；时，函数的最大值为.