沪教版高中一年级 第一学期3.4函数的基本性质教学设计

这是一份沪教版高中一年级 第一学期3.4函数的基本性质教学设计，共22页。
知识梳理与应用
主要考察一：奇偶性的定义与判断
1、轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
性质：对称点的连线被对称轴垂直平分.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
性质：对称点的连线被对称中心平分.
2、偶函数与奇函数
偶函数：关于原点对称，；
奇函数：关于原点对称，；
偶函数等价形式：关于原点对称，；
奇函数等价形式：关于原点对称，；
定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件.若定义域不关于原点对称，则函数必为非奇非偶函数.
3、函数运算与函数复合的奇偶性
运算或复合后定义域依然关于原点对称的情况下
运算：奇奇=奇；偶偶=偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶；
复合：奇（奇）=奇；奇（偶）=偶；偶（奇）=偶；偶（偶）=偶.
4、常见的奇偶函数模型
常见的奇函数模型：
奇次幂函数及其线性组合：；
定义域关于原点对称，函数是奇函数；
指数复合：；
对数复合：，；
；
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常见的偶函数模型：
偶次幂函数及其线性组合： ；
定义域关于原点对称，函数是偶函数；
自变量加绝对值：；
指数复合： ；
基础1：判断函数的奇偶性
【例1】（编者精选）★★☆☆☆
写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1）；；（2）；（3）；
（4）；（5）
【答案】答案见解析
【详解】
（1）此函数的定义域为R，，∴此函数为奇函数．
（2），∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（3），∴此函数的定义域为
，∴此函数为偶函数
（4），∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（5）
，，∴此函数的定义域为
∴此函数既是奇函数又是偶函数
【例2】（2021·上海徐汇区·高三二模）★★★☆☆
已知函数．针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．
【答案】当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
【详解】
函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；
代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，
若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；
又当a＝0时，，
则；
对任意x∈[﹣1，1]都成立，
综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
【练习】（2020·上海市建平中学高一月考）★★☆☆☆
已知，判断并证明的奇偶性.
【答案】奇函数．证明见解析．
【详解】
为奇函数，证明：
函数的定义域为关于原点对称．
，又.
，为奇函数．
基础2：根据函数的奇偶性求参数
【例3】（2021·上海市建平中学高一期末）★★☆☆☆
若函数是偶函数，则实数的值是（ ）．
A．-1B．0C．1D．不唯一
【答案】C
【详解】
因为函数是偶函数,
所以,即,解得: a=1
故选:C.
【例4】（2020·上海市新场中学高三月考）★★★☆☆
已知函数，若函数为奇函数，则实数为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由为奇函数，
且，可得时，，
所以，令，经检验满足
故选：B.
【练习】（2020·上海崇明区·高三月考）★★★☆☆
函数为偶函数的充要条件是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：，
则，
则函数为偶函数的充要条件是的定义域不为空集，且关于原点对称，
不等式有解，即有解，
，
.
故选：C.
主要考察二：函数的奇偶性的应用
基础1：根据奇偶性求函数值
【例5】（2021·上海高一期末）★★★☆☆
若是定义在R上的奇函数，当时，，则__________．
【答案】
【详解】
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
又由当时，，则，
所以.
【例6】（2021·上海市大同中学高三月考）★★★☆☆
定义在上的函数，其中是奇函数，满足且，则___________.
【答案】
【详解】
为奇函数，，
，解得：，.
【例7】（2020·华东师范大学第一附属中学高一月考）★★★☆☆
已知，若，则________.
【答案】-7
【详解】
因为
令，则
.
所以，.
【练习】（2019·上海市七宝中学高一月考）★★★☆☆
已知函数是奇函数，且，则________.
【答案】-5
【详解】
函数是奇函数，
即，
由，所以.
故答案为：-5
【练习】（2015·上海市南洋模范中学高三月考）★★★☆☆
设为定义在上的奇函数，当时，fx=2x+2x+m，则=_______.
【答案】
【详解】
由题意，因为函数是上的奇函数，则，
解得，即当时，函数，
又由.
故答案为：.
基础2：根据奇偶性画函数图像
【例8】（2016·上海松江区·高一期末）★★☆☆☆
已知函数;
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）画出函数的图像；
【答案】（1）；（2）是偶函数；（3）图像见解析.
【详解】
解：（1），
，解得．
函数的定义域为．
（2），
函数是偶函数．
（3）由（2）知当时，，
当时，，
且，
先作出时，的图象，
再由偶函数的图像关于轴对称的性质作出时，的图像，
由此能画出函数的图像，如下图所示．
【例9】（2019·上海市高桥中学高一期末）★★☆☆☆
定义在上的奇函数在轴右侧的图象如图所示：
（1）将该函数图像补完整;
（2）求不等式的解集.
【答案】（１）见解析（２）见解析
【详解】
（１）根据函数的奇偶性可得该函数图像：
（２）设点Ａ点坐标为 ，点Ｂ点坐标为，其中
由图像可知不等式的解集为： ．
【练习】（2020·上海市杨浦高级中学高一期中）★★★☆☆
设函数
（1）求定义域D；
（2）在平面直角坐标系中画出函数的图像；
（3）试说明函数图像关于y轴对称；
（4）解不等式．
【答案】（1）；（2）图像见解析；（3）答案见解析；（4）．
【详解】
根据题意得，所以
所以函数的定义域
由当且时，，当且时，
其图像如下:
设，则
所以函数为偶函数，则图像关于y轴对称.
（4）若时，，即，解得，所以
若，，则恒成立，所以无解，
若，，则恒成立，所以成立，
综上，的解集是．
进阶1：根据奇偶性求解析式
【例10】（2015·上海市七宝中学高一期中）
已知定义在上的奇函数，当时，，则的解析式是________.
【答案】
【详解】
因为是定义在上的奇函数，所以：
当时，，
当时，，，又有，
所以，
所以.
故答案为：.
【练习】（2019·上海复旦附中高一期中）★★★☆☆
设函数为定义在上的奇函数，且当时，.求函数的解析式；
【答案】；
【详解】
（1）令则，由于函数为奇函数，故.所以函数的解析式为.
进阶2：根据奇偶性求函数最值相关问题
【例11】（2020·上海高一专题练习）★★★★☆
若，都是奇函数，在上有最大值，则在上有（ ）.
A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值
【答案】C
【详解】因为、为奇函数，∴为奇函数．
又有最大值5， ∴在上有最大值3，
∴在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．故选：C
【例12】（2020·上海高三其他模拟）★★★★☆
函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.
【答案】
【详解】
因为
设，
所以 ；
则是奇函数，
所以在区间上的最大值为，即，
在区间上的最小值为，即，
∵是奇函数，
∴， 则 .
故答案为：2．
【练习】（2019·宝山区·上海交大附中高一期中）★★★★☆
已知、是常数，且，若函数的最大值为10，则的最小值为_____.
【答案】
【详解】
函数，
设，其定义域，
则
所以为奇函数，
可得的最大值点和最小值点关于原点对称，
，
所以，
所以.
故答案为：.
1、（2021·上海黄浦区·高三一模）★★★☆☆
已知实数是常数，函数.求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
【答案】（1）定义域为，为偶函数，理由见解析；
【详解】
（1）实数是常数，函数，
由，解得.
函数的定义域是.
对于任意，有,，即对都成立(又不恒为零)，
∴函数是偶函数.
2、（2016·上海上外附中高一期末）★★★☆☆
已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求当时的解析式.
【答案】
【详解】
由题意知，函数是定义在上的奇函数，当时，，
设，则，可得，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以时，函数的解析式为.
3、（2020·上海青浦区·高一期末）★★★★☆
已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则______.
【答案】2
【详解】
，
令，
，
为奇函数，设的最大值为，则最小值为，
则的最大值为，最小值为，
所以.
故答案为:2.