沪教版4.2指数函数的图像与性质教学设计

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知识梳理与题型整理
主要考察一：函数图像的变换
左加右减
1、平移变换：
上加下减
函数的图像 函数的图像；
函数的图像 函数的图像；
注意：左右平移必须直接作用在上，例如，是向右平移1个单位.
y坐标不变,x坐标伸缩
为原来的1/kk>0
2、伸缩变换：
函数的图像 函数的图像；
x坐标不变,y坐标伸缩
为原来的k倍k>0
函数的图像 函数的图像；
y轴左侧清除，
右侧对称到左侧
3、翻折变换：
函数的图像 函数图像；
x轴下方翻折到上方，
上方保留

函数的图像 函数图像；
注意：左右翻折变换绝对值必须直接作用在上，例如，是先右左翻折变换为，再由向右平移2个单位.
图像关于y轴对称
4、对称变换：
图像关于x轴对称
函数的图像 函数的图像；
图像关于原点对称
函数的图像 函数的图像；
图像关于y=x对称
函数的图像 函数的图像；
函数的图像 函数的图像；
示例：绘画的图像
（注意：绘画时注意图像变换的顺序）
观察解析式，根源是指数函数的图像；
伸缩变换，绘画的图像（直接作用在上）;
翻折变换，的图像（绝对值直接作用在上）：的图像轴左侧部分擦除，右侧部分关于轴对称到左边来；

左右平移变换，的图像（-2直接作用在上）：的图像向右平移2个单位；

上下平移变换，绘画 ；
翻折变换，绘画.
基础1：判断函数图像的变换
【例1】（2020·上海市洋泾中学高三期中）★☆☆☆☆
得到的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）
A．先纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位
B．先纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再向右平移个单位
C．先向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
D．先向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
【答案】D
【例2】（2017·上海高三学业考试）★★☆☆☆
下列函数中，图像为下图的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由图像可知： 定义在上的偶函数，
对于AC，为非奇非偶函数，可排除AC；
对于D，当时，，与图像不符，可排除D；
对于B，，可知图像与函数相符，B正确.
故选：B.
【练习】（2019秋•浦东新区校级期中）★★☆☆☆
将函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得图像经过怎样的变换才能得到的图像
A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位
C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位
【答案】
【解答】解：根据题意，函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，其解析式为，
要得到的图像，需要将的图像向右平移4个单位，
故选：．
【练习】（2018·上海市宜川中学高一月考）★★★☆☆
若函数的图像(如下图)由图像平移所得,则_____.
【答案】
【详解】
因为，是由的图像向右平移个单位，向上平移个单位得到的，
又由图像可得：函数的图像是由的图像向右平移两个单位，向下平移一个单位得到，
因此，故.
故答案为.
基础2：根据函数图像的变换求函数值、函数解析式
【例3】（2019秋•杨浦区校级期末）★★☆☆☆
将函数的图像向右平移2个单位后，得到函数的图像，则 ．
【答案】0
【解答】解：将函数的图像向右平移2个单位后，得到函数的图像，即，则（2），
故答案为：0.
【例4】（编者精选）★★☆☆☆
函数的图像向下平移1个单位，再绕原点旋转180°所得函数的解析式是__________.
【答案】.
【详解】
函数的图像向下平移1个单位得到函数的图像，
设绕原点旋转180°所得函数为，
若点在函数上，则在函数的图像上，
所以，即，所以.
故答案为：.
【例5】（2017•崇明县二模）★★★☆☆
若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 ．
【答案】0
【解答】解：函数的图像与函数的图像关于直线对称，
，
设，
则，
解得或（舍去），
即，
解得.
【练习】（2019秋•浦东新区校级月考）★★☆☆☆
函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与的图像关于轴对称，则 ．
【答案】
【解答】解：根据题意，与函数的图像关于轴对称的函数为，
将其向左平移1个单位长度后的图像对应的解析式为，
故答案为：.
【练习】（2020秋•闵行区期末）★★☆☆☆
若函数的图像与的图像关于直线对称，则 ．
【答案】3
【解答】解：函数的图像与的图像关于直线对称，
故和互为反函数，令，求得，
可得（9），
故答案为：3．
【练习】（2014秋•宝山区校级期中）★★★☆☆
若函数的图像与的图像关于轴对称，则 ．
【答案】
【解答】解：在函数的图像上任取，点关于对称的点为，
在的图像上，所以．
，
故答案为：．
函数图像的应用
综合1：根据函数图像的变换求函数的对称轴/对称中心（参见第13讲）
综合2：根据函数的图像解不等式
【例6】（2021·上海高一期末）★★★☆☆
已知函数，的图像如图所示，则不等式的解集是________.
【答案】
【详解】
与轴的交点为，
当时，，则，解得，此时无解，
当时，，则，解得，，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
【例7】（2016·上海黄浦区·格致中学高三月考）★★★☆☆
已知函数是偶函数，是奇函数，它们的定义域为，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集为_________．
【答案】．
【详解】
解：，由不等式，可知，的函数值同号，即．
根据图像可知，当时，其解集为：，
∵是偶函数，是奇函数，
∴是奇函数，
∴当时，的解集为：，
综上：不等式的解集是，
故答案为．
【例8】（2018·上海交大附中高三期末）★★★★☆
已知函数，设，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】
画出函数的图像如下图所示，而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.根据图像可知
【练习】（2018·上海市行知中学）★★★☆☆
函数的图像如下，，不等式的解集是（ ）.
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【详解】
根据图像可知，其自变量；由于，对于不等式而言，.当时，，故不是不等式的解.
当时，，故是不等式的解.
当时，，故是不等式的解.
当时，，故不是不等式的解.
综上所述，不等式的解集为.
故选B.
【练习】（2015·上海市松江二中高一期中）★★★☆☆
已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，则不等式的解集是__________.
【答案】
【详解】
要使求不等式的解集，由图像可知，
当时，， 此时满足；
又函数是定义在上的奇函数， 所以其图像关于原点成中心对称，做出草图，如下图所示：
由图像可知，当时，，此时满足；
当时，，显然满足不等式；
综上所述，不等式的解集是．
故答案为．
1、（2018秋•大同中学高三上期中14）★★☆☆☆
将函数的图像沿轴负方向移动1个单位，再沿轴负方向移动2个单位，得到图像，在下列函数的图像中，与图像关于直线对称的是 .
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】
将函数的图像沿轴负方向移动1个单位，得到，
再沿轴负方向移动2个单位，得到图像，
则图像的对应的函数为：，
图像关于直线对称的是．
故选：．
2、（2019·上海曹杨二中高一月考）★★★☆☆
已知函数是定义在区间上的奇函数,当时，图像如图所示，则不等式的解为____________.
【答案】
【详解】
函数是定义在区间上的奇函数.
当时，根据图像知的解为；
当时，，满足；
当时，根据奇函数性质知的解为；
综上所述：的解为.