数学高中一年级 第一学期3.4函数的基本性质教案

这是一份数学高中一年级 第一学期3.4函数的基本性质教案，共20页。
知识梳理与应用
主要考察一：单调性的定义
1、函数单调性的定义：
对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量，
当时总有，则称函数在区间是严格增函数，此时称区间为函数的严格增区间；
当时总有，则称函数在该区间是严格减函数，此时称区间为函数的严格减区间．
此外，如果总成立，就称函数在区间是增函数；二如果总成立，就称函数在区间是减函数.
上述性质统称为函数的单调性.
2、函数单调性的两种等价定义
对于区间上任意给定的两个自变量，
（1）在上是增（减）函数；
（2）在上是增（减）函数．
基础1：定义法证明单调性
【例1】（2021·上海市行知中学高一月考）★☆☆☆☆
已知函数．
（1）证明：函数在上严格增函数.
【详解】
（1）任取，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以函数在上严格增函数.
【练习】（2021·上海市西南位育中学高一期末）★★☆☆☆
已知，判断函数的单调性并证明.
【答案】为上的增函数，证明见解析.
【详解】
，函数为上的严格增函数，证明如下：
任取、，且，
，
，，，即，
因此，函数为上的增函数.
主要考察二：函数单调性的判断
基础1：函数运算判断单调性
两个函数在给定区间上都有意义，则
增+增=增；增-减=增；
减+减=减；减-增=减.
若函数的函数值恒为正数，则
1/增=减；1/减=增.
【例2】（2021·上海市大同中学高一期末）★☆☆☆☆
判断函数的单调性并说明理由.
【答案】单调递增
【详解】
函数是严格增函数；
因为函数在上严格单调递增，函数在上严格单调递减，则由单调函数的运算性质可知，函数是严格增函数.
【例3】（2019·上海市进才中学高一月考）★★☆☆☆
函数的最大值为______．
【答案】1
【详解】
由可得，
，
因为恒大于0，且在严格单调递增，
所以在严格单调递减，
所以时最大为，
故函数的最大值为，
故答案为：
【练习】（2019·上海市七宝中学高一月考）★★☆☆☆
函数的最大值为________.
【答案】
【详解】
函数的定义域为，
函数在上是增函数，
函数在上是减函数，
根据结论：增函数减函数增函数，
函数在上是增函数，
当时，函数有最大值，
故答案为：
基础2：复合函数的单调性
设在区间上，的值域为，
若在区间上的单调性和在区间上的单调性相同，则复合函数是严格增函数；
若在区间上的单调性和在区间上的单调性不同，则复合函数是严格减函数.
即“同增异减”.
【例4】（2021春•徐汇区期末）★★☆☆☆
函数的单调减区间是 ．
【答案】
【解答】解：函数的单调减区间，即，在的条件下，函数的增区间．
利用二次函数的性质可得，在的条件下，函数的增区间为，
故答案为：．
【例5】（2021春•徐汇区校级期中）★★★☆☆
已知函数在，上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解答】解：因为函数在，上单调递减，
所以，，且，
所以，，所以，的取值范围为．
【练习】（2017·上海市晋元高级中学高一月考）★☆☆☆☆
函数的严格增区间是______．
【答案】
【详解】
令,则,
由题知:,解得或,
故函数在上单调递减,在上单调递增,
又在定义域上单调递增,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
故答案为:.
【练习】（2020秋•浦东新区校级期末）★★★☆☆
已知函数，若函数在严格增函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解答】解：在严格增函数，
，解得或，
的取值范围是．
故答案为：．
基础3：分段函数的单调性
【例6】（2019秋•浦东新区校级期末）★★★☆☆
若函数严格递增，则实数的取值范围是
A．，B．，C．D．
【答案】
【解答】解：函数单调递增，
由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得且．
但应当注意两段函数在衔接点处的函数值大小的比较，
即，可以解得，
综上，实数的取值范围是，．
【练习】（2020秋•宝山区校级期末）★★★☆☆
函数是定义在上的单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解答】解：时，函数为，一次函数是增函数，
，解得
又时，函数为，对数函数是增函数，
同时，当时，一次函数的取值小于或等于对数函数的取值，
故，解之得，
综上所述，可得实数的取值范围是.
进阶1：抽象函数的单调性
【例7】（编者精选）★★★★★
定义在上的函数满足①对任意，都有；②当时，有．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】
证明：对f(x)+f(y)=f()中的x，y，令x=y=0，得f(0)=0，
再令y=－x，又得f(x)+f(－x)=f(0)=0，即f(－x)=－f(x)，
∴f(x)在x∈(－1，1)上是奇函数.
设－1＜x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f()，
∵－1＜x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，1－x1x2>0.
∴＜0，又，
所以，
所以由②知f()>0，从而f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在x∈(－1，0)上是单调递减函数,根据奇函数的图像关于原点对称，
知f(x)在x∈(0，1)上仍是递减函数，且f(x)＜0,
，
，
，
时，，
，故原不等式成立.
【练习】（2019·上海普陀区·曹杨二中高一月考）★★★★☆
已知是定义在R上不恒为0的函数，且满足对任意，．判断的奇偶性和单调性，并说明理由；
【答案】（1）0；（2）奇函数，递增，理由见解析；
【详解】
（1）记①，②，
在①中取得．
若存在，使得，
则对任意，，
与不恒为0矛盾．
所以时，，所以函数的零点是0
（2）在①中取得，
即．
所以是奇函数．
，，时，
，可得．
所以函数在上递增．
（3）①由中取，得（1）（1）．
因为（1），所以（1），
对任意正整数，由①，，
，
又因为，所以时，；
②对任意有理数，，由①，
，
所以，即对一切，．
若存在，使得，不妨设（否则以代替，代替即可），
则存在有理数，使得（例如可取，，．
但，与的递增性矛盾．
所以时，．
综合类型
综合1：根据单调性解函数不等式
（1）单调奇偶混合型
奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；
偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
【例8】（2020·上海市实验学校高一期末）★★★☆☆
（2020·上海市实验学校高一期末）已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是______.
【答案】
【详解】
是偶函数，，
∴不等式等价为，
在区间单调递增，
，解得.
故答案为：.
【例9】（2020·上海高一期末）★★★★☆
已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则关于x的不等式的解是________.
【答案】
【详解】
因为，所以.
因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增.
设，在上为偶函数，且在上单调递增.
所以，即.
所以，解得.
故答案为：.
【练习】（2017·上海高一期末）★★★☆☆
（2017·上海高一期末）已知函数是上的奇函数，且在区间单调递增，若，则不等式的解集是__________．
【答案】
【详解】
函数是上的奇函数，在区间单调递增
∴函数在上单调递增，且，
∵，即．
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
那么：，即或，
∴得：或．
故答案为：．
（2）单调特值混合型
【例10】（2017·上海高三一模改）★★★★☆
不等式的解集是__________.
【答案】A
【详解】构造函数由在是减函数，及，可得.故选A.
【练习】（2020·上海高三一模）★★★★☆
设，则不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】
由题意，函数，
根据初等函数的性质，可得函数为单调递减函数，且，
则不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
1、（2018·上海格致中学高一期中）★★★☆☆
已知函数,若在上是严格增函数，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】
根据题意，设，则，
若在上是增函数,则
在上为增函数，且恒成立，
则有,解可得,
即的取值范围为．
2、（2020·上海曹杨二中高一月考）★★★☆☆
已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
解：因为是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减,由偶函数的对称性可知，函数在区间上单调递增，
解得即，
故答案为：.