专题21 导数及其应用（解答题）-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版）

这是一份专题21 导数及其应用（解答题）-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版），共39页。试卷主要包含了已知且，函数，所以f单调递增，设函数，已知函数等内容，欢迎下载使用。

专题21 导数及其应用（解答题）

1．已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）．
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围．
【解析】（1）当时，，
令得，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增；上单调递减；
（2），设函数，
则，令，得，
在内，单调递增；在上，单调递减；
，
又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，
即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是，这即是，
所以的取值范围是．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．
故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）等价于.
设函数，则


.
（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.所以当时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.
由于，故由（ii）可得≤1.故当时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设，证明：．
【解析】（1）

．
当时，；当时，．
所以在区间单调递增，在区间单调递减．
（2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，
最小值为．而是周期为的周期函数，故．
（3）由于

，
所以．
3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求B．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【解析】（1）．依题意得，即.故．
（2）由（1）知，.
令，解得或.与的情况为：
x






+
0
–
0
+






因为，所以当时，只有大于1的零点.
因为，所以当时，f（x）只有小于–1的零点．
由题设可知，当时，只有两个零点和1.
当时，只有两个零点–1和.
当时，有三个等点x1，x2，x3，且，，．
综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.
4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）设，则，.
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，
设为.
则当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
（2）的定义域为.
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.
（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.
又，，所以当时，.从而，在没有零点.
（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.
（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.
综上，有且仅有2个零点.
【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.
【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）见解析.
【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．
因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．
由题设知，即，故直线AB的斜率．
曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，
所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．
【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.
6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0 若，b=1，则，与0 若，，则或或a=0，与0 综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．

1．从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：
（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；
（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a,b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
4．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．
5．求函数f(x)在[a,b]上最值的方法
（1）若函数f(x)在[a,b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f(x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a,b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．
6．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可．
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．
7．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．

1．已知函数，其中．
（1）若函数恰好有三个单调区间，求实数的取值范围；
（2）已知函数的图象经过点，且，求的最大值．
【试题来源】重庆市清华中学2022届高三上学期7月月考
【答案】（1）；（2）最大值为12．
【分析】（1）求导，结合函数恰好有三个单调区间得出有两个不相等的实数根，再由判别式得出实数的取值范围；
（2）先求出的值，再由导数得出的最大值．
【解析】（1）由，得．
因为存在三个单调区间
所以有两个不相等的实数根，即．
所以，即，故．
（2）因为图象经过点，所以，得
所以，，．
的单调性和极值情况列表如下：







2



0

0



0
增函数
极大值3
减函数
极小值
增函数
12
故的最大值为12．
2．已知函数．
（1）若函数在点处切线的斜率为0，求的值；
（2）在第（1）问的前提下，讨论函数的单调性及最值．
【试题来源】重庆市南开中学2022届高三上学期8月测试
【答案】（1）；（2）在内单调递减，单调递增；最小值．
【分析】（1）求解导函数，根据即可求解出a的值；
（2）根据导函数写出单调区间并求解最值即可．
【解析】（1），由题意得；
（2）由（1）有，
由解得，
所以在上 单调递减，在上单调递增．
故函数存在最小值，．
3．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【试题来源】天津市静海区第一中学2021届高三下学期5月学生学业能力调研
【答案】（1）增区间为，，减区间为；（2）存在，．
【分析】（1）将代入，求出函数的定义域以及导函数，利用导数与函数的单调性之间的即可求解．
（2）由题意可得恒成立，分离参数可得恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解．
【解析】（1）当时，
，
则．
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减．
的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）假设存在实数，使在上是增函数，
则恒成立，
即在上恒成立，
在上恒成立，
恒成立．
又，
的最小值为．
当时，恒成立．
又当时，，
当且仅当时，．
故当时，
在上单调递增．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个相异零点，求证：．
【试题来源】黑龙江省大庆市2021届高三二模（文）
【答案】（1）时，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．
【分析】（1）先求导，再对分两种情况讨论得解；
（2）要证，等价于证明，令，则，等价于证明成立，设函数，求出函数最小值即得证．
【解析】由题意得，
①时，恒成立，
所以，所以在单调递增．
②时，在上，在上，
所以在单调递减，在单调递增．
综上，时，在单调递增．
时，在单调递减，在单调递增．
（2）因为有两个相异零点，，由（1）可知，，
不妨设，因为，，
所以，，
所以，
要证，
即证，
等价于证明，而，
所以等价于证明，
也就是． （*）
令，则，
于是欲证（*）成立，等价于证明成立，
设函数，
求导得，
所以函数是上的增函数，
所以，
即成立，
所以成立．
5．已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．
【试题来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）当时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出在区间上的最值；
（2）由，分离参数得，根据函数得单调性作图，结合图象即可得出答案．
【解析】（1）当时，，，
所以在单调递减，在单调递增，
，，
所以，．
（2），则，
所以在单调递增，在单调递减，
，当时，，当时，，
作出函数和得图象，所以由图象可得，．

6．定义在上的关于的函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）在上恒成立，求的取值范围．
【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题
【答案】（1）在上，单调递减；在上，单调递增；（2）．
【分析】（1）直接解和即可得到的单调性；
（2）分类讨论：先判断，不合题意﹔当时，利用导数讨论单调性，求出的取值范围；当，利用导数讨论单调性，求出的取值范围；
【解析】（1），
时，，
在上，，单调递减﹔
在上，，单调递增．
（2）由（1），
若，在上，，单调递增，，不合题意﹔
若，
在上，，；
在上，，，
由题意，，
若，
在上，，单调递减，
则在上，符合题意，
综上所述，．
7．已知函数在处的切线与轴平行．
（1）求的值和函数的单调区间；
（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围．
【试题来源】天津市静海区第一中学2021届高三下学期4月学生学业能力调研
【答案】（1）-9，单调增区间为和；单调减区间为；（2）．
【分析】（1）根据即可求得的值，利用导函数求解单调区间；
（2）令，转化为有三个不同的零点．
【解析】（1）由已知得，
因为在处的切线与轴平行
所以，解得．
这时
由，解得或；
由，解．
所以的单调增区间为和；单调减区间为．
（2）令，
则原题意等价于图象与轴有三个交点．
因为，
所以由，解得或；
由，解得．
所以在时取得极大值；在时取得极小值．
依题意得，解得．
故的取值范围为．
8．设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求正整数的最小值．
【试题来源】江苏省扬州市仪征市第二中学2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】（1）答案见解析；（2）3．
【分析】（1）对a分类讨论，利用导数讨论单调性；
（2）先判断出，且，定义研究单调性，利用零点存在定理判断出的零点即可求解．
【解析】（1）．
当时，，函数在区间内单调递增，
所以，函数的单调增区间为，无单调减区间；
当时，由，得；由，得．
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为． ．
（2）由（1）知如果函数有两个零点，则，且，
即，即，．．
令
可知在区间内为增函数，且

所以存在
当时，；当时，．
所以，满足条件的最小正整数
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
9．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）当|时，函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）
【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值；（2）．
【分析】（1）对函数求导，对参数分情况讨论，求得函数的单调区间，结合单调性求得函数的极值；（2）由（1）可知，，当时，利用单调性得出不可能，故当时，利用函数的单调性分情况讨论列出不等式组求得结果．
【解析】（1）由题意知，，
所以当时，，所以在上递减，无极值；
当时，令，
所以在上递减，上递增，
所以当时，取到极小值，无极大值，
综上，当时，无极值；
当时，则当时，有极小值，无极大值．
（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，
所以至多一个零点，不符合题意；
当时，在上递减，上递增，
若，即，则在上单调递增，至多有一个零点，也不符合题意；
若，即，则在上单调递减，至多有一个零点，也不符合题意；
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
则或
综上可得实数的取值范围为
10．已知函数，且曲线在处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求的取值范围．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）由题意求出切点的坐标，切线的斜率，用点斜式求出切线的方程．
（2）由题意，当时，恒成立．利用导数求得在上的最小值，可得的范围．
【解析】（1）对于函数，当时，，
，
则切线的斜率为，
故此处的切线方程为，即．
再根据曲线在处的切线方程为，
可得，且，
，且．
（2）对任意，都有恒成立，
当时，恒成立．
，则，由于，，而是上的增函数，
故存在实数，使，故在上小于零，在上大于零，
故在上递减，在上递增，
故的最小值为．
而，故在上，恒成立，即在上单调递减．
当时，，故在上单调递增，
故的最小值为，
，故的范围为，．
11．已知函数，．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：．
【试题来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）求的定义域，求，由可得或，对与大小关系讨论，并判断的正负，即可判断函数的单调性；
（2）原式等价于，而，故只需证，即证明，只需证明即可，利用导数研究其单调性即可．
【解析】（1），其定义域为，
，当时，或，
①当，即时，时，；，时；时，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增；
②当，即时，时，；
所以在单调递增；
③当，时，时，；时，；时，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增；
④当，即时，时，；时， ，
所以在单调递减，在单调递增．
（2）原式等价于，
因为，所以只需证，
即证明，
而，记，则，
所以在单调递减，又，，
故存在，使得，即，
，
记在上单调递减，，
故只需证：，即
因为，所以在上单调增，成立，
所以原不等式成立．
12．已知函数．
（1）若轴是曲线的一条切线，求的值；
（2）若当时，，求的取值范围．
【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，设切点为，由导数的几何意义可得，结合切点在曲线上即可求解；
（2）由题意知对于恒成立，构造函数
，则，，通过三次求导，讨论的单调性，即可得最值，进而可得的取值范围．
【解析】（1）根据题意，设切点为，
由可得，
切线的斜率，
因为切点在曲线上，所以，
由可得，解得或（舍），
当时，
所以的值为．
（2）若当时，，
则对于恒成立，
令，只需，，
，则，
，，
，所以在单调递增，
当即时，，此时，
所以在单调递增，
所以，
可得在单调递增，
所以符合题意，
当即时，，
因为在单调递增，
所以存在使得，
此时当时，；当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
因为，
所以当时，；
此时在单调递减，
所以当时，，
不满足恒成立，
综上所述：的取值范围为．
【名师点睛】求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可．
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解．此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解．
13．已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）设，若有两个零点，求的取值范围．
【试题来源】陕西省汉中市2021届高三下学期高考一模（理）
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）当时，，对其求导判断单调性，比较极值和端点值即可得最值；
（2）求出，再分情况，和时，判断函数的单调性以及极值，求解函数的零点，即可求解．
【解析】（1）当时，，可得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，，，
所以，．
（2）因为，
可得．
①当时，，此时只有一个零点，故不成立；
②当时，在上单调递减，在上单调递增．
因为，，
当时，；
当时，，．
有两个不同的零点，成立；
③当时，令，得或．
当时，，恒成立，
在上单调递增，至多有一个零点；
当时，即．
若或，则；若，则．
在和上单调递增，在上单调递减．
当时，即．
若或，则；若时，则．
在和上单调递增，在上单调递减．
当时，，
．
仅有一个零点，不合题意．
综上，有两个零点，的取值范围是．
【名师点睛】利用导数研究函数的最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；
②在定义域内，解不等式和得到单调性；
③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可．
14．已知函数．
（1）讨论的单调性：
（2）若在定义城上有两个极值点，求证：．
【试题来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二）
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）分类讨论含参数的函数的单调区间，由于需要讨论的正负，因此需要结合开口方向、有无实数根以及有实数根的情况下根与0的关系进行分类讨论；
（2）结合（1）可知此时，且．进而将转化为，从而构造函数，通过研究函数的性质即可证出结论．
【解析】（1）函数的导数是
设，则．当，且时，对称轴，判别式，因此讨论的分界点为．记．
当时，有
x





0
+

单调递减
极小值点
单调递增
当时，有
x

1



0
+

单调递减
极小值点
单调递增
当时，有
x







0
+
0


单调递减
极小值点
单调递增
极大值点
单调递减
当时，有在上单调递减．
综上可知，取，
则当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递减．
（2）由（1）的结论可知，此时，且．
从而


设函数，则，
于是在区间上单调递增，
因此．
【名师点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明．
15．已知函数，（，为自然对数的底数）．
（1）若函数在上有零点，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期入学考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断函数的单调性，结合零点存在定理进行求解即可；
（2）化简不等式，构造新函数，运用分类讨论思想，利用导数判断该函数的单调性，结合单调性进行求解即可．
【解析】（1），设，．
当时，，递增；
当时，，递减．
所以的最大值即的极大值为，
所以在上递减，即在上递减，
若函数在上有零点，则，则．
（2），即，
化简，设，
，，，
（ⅰ），即时，令，，
所以在区间上单调递增，所以，
所以在区间上单调递增，恒成立，
即恒成立；
（ⅱ），即时，当时，恒成立，
所以在区间上单调递减，
所以恒成立，即不成立；
当时，，，
，所以，又，
所以在区间上单调递增，
所以在区间上存在唯一的零点，设为，
当时，所以在区间上单调递减，
所以，即在区间上不成立．
综上所述，实数的取值范围为．
【名师点睛】函数零点问题往往根据导数判断函数的单调性，结合零点存在定理进行求解；不等式恒成立问题往往是通过构造新函数，利用导数判断其单调性，利用单调性进行求解．
16．已知函数，其中实数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：关于x的方程有唯一实数解．
【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（一）
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）求导函数，分，，三种情况讨论导函数的符号，从而得出函数的单调性；
（2）依题意 问题转化为方程有唯一的实数解，令，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性，以及特殊点的函数的符号，根据零点存在定理可得证．
【解析】（1）依题意，，
当时，当，，函数单调递增．
当时，时，当，，函数单调造增；当，，函数单调递减；，，函数单调递增．
当时，时，当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减；
，，函数单调递增．
（2）依题意，，即，
令，
则；
当时，令，则在R上单调递增，
因为，
，当时，，单调递增，所以，
所以，
故存在唯一实数，使得，即，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
，
故当时，函数恰有1个零点；
即关于x的方程有唯一实数解．
【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
17．已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若，任意，不等式恒成立时最大的记为，当时，求的取值范围．
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（一）
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）求导可得，然后分及两种情况讨论即可得出单调性；
（2）依题意，分析可知，而，构造，则，令，求的导数，讨论在上的单调性，然后区分为，，分别讨论求出最值即可．
【解析】（1）因为，所以，
因为，．
所以①当时，，所以的减区间为，没有增区间；
②当时，
当时，，当时，，
所以的增区间为，减区间为．
（2）若，，
即，，
令，
令，则在上恒成立
所以函数在上递增；
①当时，即，
因为，所以时，，，
所以在上递增；所以，即．
②当，即时，，，所以在上递减；
所以，即．
③当时，又在上递增；
存在唯一实数，使得，即，
则当时，，即，
当时时，，即，
所以．
所以．因为，
所以．
综上所述，．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，推理能力及计算能力，属于较难题目．
18．已知，
（1）求在处的切线方程以及的单调性；
（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：．
【试题来源】重庆市第七中学2021届高三下学期高考仿真模拟
【答案】（1），在上递减，上递增；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用导数的几何意义求处的坐标及切线斜率，写出切线方程，再讨论的符号，得到的单调区间；
（2）由题意得，利用导数求的单调区间，根据其零点个数求参数a的范围，由，令且得，应用分析法，要证只需证即可，构造函数并应用导数求其最值，即可证明结论．
【解析】（1），定义域为，
所以，则，又，
所以切线方程为，
令，得，令得
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）且，若，得，
当，，，；
所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，则满足，
所以，故，又，令
由，有，即，
，
要证，需证，需证，即，由，需证：，
令，则，
令，则，故在上递增，；
所以，故在上递增，；
，得证．
【名师点睛】第二问，首先利用函数的单调性求单调区间，再根据零点的个数求参数范围，最后令，由得，应用分析法证明结论转化为证，构造函数结合导数证明即可．
19．已知函数．
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：．
【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）当时，显然无零点；当时，考查函数图象与函数图象的公共点个数，数形结合可得结果；
（2）由（1）得，将要证不等式转化为，根据是函数的两个零点得，不等式转化为，不妨设，令，通过换元不等式转化为，构造函数，由单调性可证得不等式成立．
【解析】（1），
①当时，，因为，所以无零点；
②当时，，下面考查函数图象与函数图象的公共点个数．
当二者相切时，设切点为，则，解得，即函数图象与函数图象相切．
由图可知，当时，两函数图象有且只有一个公共点，即有1个零点；当，即时，两函数图象无公共点，即无零点；当，即时，两函数图象有2个公共点，即有2个零点．
综合①②可知，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点．

（2）由（1）知，当时，，即对任意，．
因为函数有2个零点，由（1）知，，所以，即．
要证，即证，只需证．
因为是函数的两个零点，所以，两式相减得，所以只需证．
不妨设，则，即证，令，即证．
令，则，所以函数在上单调递增．
所以对任意，，即成立．
故原不等式成立．
【名师点睛】第（2）问的关键点是通过层层转化，把要证的不等式转化为时，，最终通过构造函数，由单调性证得不等式成立．
20．已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当时，若方程有两个不等实数根，求实数m的取值范围，并证明．
【试题来源】新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学2021届高三上学期第四次月考（理）
【答案】（1）；（2）；证明见解析．
【分析】（1）由已知得在上恒成立，利用参数分离知在上恒成立，构造函数，利用导数求即可得解．
（2）由题知有两个不等实数根，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值，即可求得m的取值范围，利用，构造函数，结合导数可知，即，即可得证．
【解析】（1）由在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，即求，求导，
当时，，所以在上单调递减，
所以实数a的取值范围是
（2）当时，有两个不等实数根，
所以有两个不等实数根，令，
则，令，得
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以时，函数取得极小值，也即是最小值
所以实数m的取值范围是，
易知，因为，所以，所以，
所以，
因为
令，则，
所以在上单调递增，故，即
所以，所以．
【名师点睛】本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图象在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立．
21．已知函数，．
（1）记，试讨论函数的单调性；
（2）若曲线与曲线在处的切线都过点（0，1）．求证：当时，．
【试题来源】陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模（理）
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导数，计算，求出切线方程，求出的值，从而求出的解析式，问题转化为证明，构造函数，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
【解析】（1），，
记，
当时，，在单调递增，
当时，，
有异号的两根，，
所以，，，在单调递减，
，，，在单调递减，
（2）证明：因为，，
所以，在处的切线方程为，过点得，
，在处的切线方程为，过点得，
所以，，
要证：，即证：，
即证：，
构造函数，则，
因为时，，
所以时，，在单调递减，
所以时，，在单调递增，
所以，故原不等式成立．
【名师点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查导数证明不等式，解决本题的关键点将证明问题变形为，对恒成立，对函数求导判断出单调性和最值，可得命题成立．
22．已知函数（其中，）
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意的均满足，试确定的取值范围．
【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期开学摸底
【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）．
【分析】（1）由，得到，，然后由导数法求解；
（2）由，得到，将，转化为，令，设，，再分和讨论证明．
【解析】（1）当时，，，
，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由，得，
当时，，等价于，
令，则，
设，，
则，
（1）当时，，
则，
记，，
则
，列表讨论：



1



-
0
+



极小值

所以，所以．
（2）当时，，
令，，则，
故在上单调递增，所以，
由（1）得，所以，
所以，
由（1）（2）知对任意，，，
即对任意，均有
综上所述，所求的的取值范围是．
【名师点睛】本题第二问的关键是根据任意的均满足，通过，得到，由，令，证明，，而得解．