备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）专题04 函数及其性质（解析版）

专题04   函数及其性质

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【试题解析】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】

本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

【命题意图】

（1）考察函数奇偶性的概念

（2）考察函数平移变换、以及函数的图像

（3）函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力

【命题方向】

函数的单调性与最值、奇偶性以及函数图象是历年高考考查的重点，具体要求为：

（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.

【得分要点】

1．知道函数奇偶性的定义及图象特点

判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．

2．熟悉函数奇偶性的几个重要结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：

（3）若奇函数的定义域包括，则．

（4）若函数是偶函数，则．

（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．

一、单选题

1．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ）

A． B．0 C．2 D．50

【答案】C

【分析】

化简得 ，利用是上的奇函数得函数是周期函数可解.

【详解】

又是上的奇函数

∴函数的周期

又,，

，

故选：C

2．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】

由为奇函数且对任意，，可得函数的周期为4，再奇函数的性质可得，从而可求出，进而可求得的值

【详解】

解：因为为奇函数，即，

因为对任意，，

所以，

当时，，

所以，

所以，则.

故选：C.

3．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A、B、D，对C，采用导数法，函数函数图象可判断正确

【详解】

对A，为奇函数，值域为，故A错；

对B、，函数为“对勾函数”因为，所以，故B错误；

对C，为奇函数，当时，因为，故在为增函数，时，函数值为0，当时，，，画出图形如图：

所以，故C正确；

对D，，函数为奇函数，值域为，故D错误；

故选：C

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与值域的判断，属于基础题

①判断函数奇偶性除了定义法外，还可采用口诀进行判断：

奇函数=奇函数奇函数=奇函数 偶函数；

②对于常见函数类型，应熟记于心，比如反比例函数，对勾函数；

③对于复杂函数，研究值域时，可采用导数进行研究

4．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，

对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，

对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，

对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，

故选：．

5．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（    ）

A．5 B．-2 C．1 D．2

【答案】D

【分析】

先根据对称性分析出的奇偶性，然后根据分析出为周期函数并求解出一个周期，根据奇偶性和周期性求解出的值.

【详解】

由函数的图象关于直线对称可知，函数的图象关于y轴对称，故为偶函数，

又由，得，

所以是周期为的偶函数.

所以，

故选：D.

【点睛】

结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：

（1）若函数的图象关于直线对称，则为偶函数；

（2）若函数的图象关于点成中心对称，则为奇函数.

6．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））若是上周期为5的奇函数，且满足，，则等于（    ）

A．-2 B．2 C．-1 D．1

【答案】C

【分析】

根据函数的周期性与奇偶性计算可得；

【详解】

解：∵若是上周期为5的奇函数，∴，，∴，，∴，

故选：C.

7．（2021·浙江高一期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

对于A：利用函数奇偶性判断即可；

对于B：利用函数奇偶性判断即可；

对于C：先利用函数奇偶性判断偶函数，再判断单调性；

对于D：利用函数奇偶性判断即可.

【详解】

对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误；

对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误；

对于C：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确；

对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误.

故选：C

【点睛】

（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；

（2）函数奇偶性的应用：

①一般用或；

②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或 .

8．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））下面四个函数中既为奇函数，又在定义域上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

通过对每个选项函数奇偶性和单调性的判断，从而得到正确答案.

【详解】

A选项，是奇函数，在定义域单调递增；

B选项，是奇函数，在和单调递减，

但在其定义域并不单调；

C选项，既不是奇函数也不是偶函数，在其定义域单调递减；

D选项，是奇函数，且满足定义域上单调递减.

故选D.

二、多选题

9．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知定义在R上的奇函数对都有，则下列判断正确的是（    ）

A．是周期函数且周期为4 B．关于点对称

C．的图象关于直线对称 D．在上至少有5个零点

【答案】ACD

【分析】

ABC选项根据函数的奇偶性和对称性化简得出结论；D选项利用奇偶性得到，以及周期性和对称性得出结论.

【详解】

A选项：因为，

所以，所以函数周期为4，故A项正确；

B选项：因为，且，

所以，所以的图象关于直线对称，故B项错误；

C选项：因为，所以，

又因为，所以

所以的图象关于直线对称，故C项正确；

D选项：因为为定义在R上的奇函数，

所以，因为，所以

因为，所以，

所以，因为，

所以，故D项正确.

故选：ACD．

10．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】

由函数奇偶性的定义结合函数的单调性，逐项判断即可得解.

【详解】

对于A，设，该函数的定义域为R，

且，所以该函数为奇函数，

又函数在上恒成立且单调递增，

所以函数在上单调递减，故A正确；

对于B，设，该函数的定义域为R，

且，所以该函数为奇函数，

又在上单调递增，

所以函数在上单调递增，故B错误；

对于C，设，该函数的定义域为，

且，所以该函数为奇函数，

又在上单调递减，

所以函数在（0,1 ）单调递减，故C正确；

对于D，设，定义域为R，

且当时，；当时，，

所以该函数为奇函数，

当时，，单调递减，故D正确.

故选：ACD.

11．（2021·重庆市育才中学高三二模）已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．若是偶函数，则 B．若函数是偶函数，则

C．若，函数存在最小值 D．若函数存在极值，则实数a的取值范围是

【答案】ACD

【分析】

根据函数的奇偶性可判定A正确，B不正确；当时，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，可判定C正确，求出函数的导数，根据，以及对数函数的性质，得到关于的不等式，求得的范围，可判定D正确.

【详解】

对于A、B中，函数的定义域为，且，

则，则，

则，故恒成立，故，故A正确，B错误；

对于C中，当时，，可得，

令，即，解得，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，所以C正确；

对于D中：，

因为存在极值，则有零点，令，即，

所以，则，即，解得，所以D正确.

故选：ACD

【点睛】

解答有关函数的极值问题的方法与策略：

1、求得函数的导数，不要忘记定义域，求得方程的根；

2、判定的根的左右两侧的符号，确定函数的极值点或函数的极值；

3、注意的根不是函数极值点的充要条件，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

三、填空题

12．（2021·全国高三其他模拟（理））函数是定义在上的奇函数，当时，，则______．

【答案】11

【分析】

根据奇函数性质求出函数的解析式，然后逐层代入即可.

【详解】

，，当时，，

即，

，，．

故答案为：11.

13．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高二期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则______．

【答案】1

【分析】

奇函数的周期为4，分别求得，则问题可以转化为，从而求得结果.

【详解】

由题知，奇函数的周期为4，，

，，又，则，

，，

则，

故答案为：1

14．（2021·全国高三其他模拟）已知奇函数的定义域为，且当时，，若，则实数________．

【答案】1

【分析】

根据定义在上的奇函数的性质，可得且，代入计算即可得解；