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2021年吉林省长春市东北师大附中高考数学四模试卷（理科）
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这是一份2021年吉林省长春市东北师大附中高考数学四模试卷（理科），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年吉林省长春市东北师大附中高考数学四模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣2，3）
2．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α是平面，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是（ ）
A．n≥6 B．n≥8 C．n＞10 D．n≥10
4．（5分）若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]上是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）若双曲线C：的一条渐近线被以焦点为圆心的圆x2+y2﹣4x＝0所截得的弦长为，则b＝（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（5分）函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）某高中高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．现按照分层抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间．样本数据（单位：小时）整理后得到如图所示的频率分布直方图．下列说法错误的是（ ）
A．每个年级抽取的人数分别为120、90、90人
B．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人
C．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人
D．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%
8．（5分）已知△ABC的面积是（其中b，c为△ABC的边长），则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．是直角三角形但不是等腰三角形
C．是等腰三角形但不是直角三角形
D．等腰直角三角形
9．（5分）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（IssacNewton，1643﹣1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法﹣用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0，f（x）在x0处的切线与x轴的交点为x1，f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直继续下去，得到x0，x1，x2⋯，xn，它们越来越接近r．若f（x）＝x2﹣2（x＞0），x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
11．（5分）已知f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（2，+∞） C． D．（1，+∞）
12．（5分）已知a＝log315，b＝log540，2c＝6，则（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则z＝ ．
14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为 ．
15．（5分）如图，在同一个平面内，向量与的夹角为α，且tanα＝7，向量与的夹角为45°，且，．若＝m+n（m∈R，n∈R），则n﹣m＝ ．
16．（5分）如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（1794﹣1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE＝AC，AF＝AB，于是AE+AF＝AB+AC＝BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知A1A2是椭圆的长轴，PA1垂直于桌面且与球相切，PA1＝5，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q，已知d＝q，a1+1＝b1，a2+1＝b2，a4+1＝b3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
18．（12分）近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？
愿意接种
不愿意接种
合计
男
女
合计
（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附：．
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.005
k0
3.841
6.635
7.879
19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）若直线AC与平面BCD所成的角为45°，AC＝1，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．
20．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）四点都在抛物线上，直线AP与直线BQ相交于点F，且直线AB斜率为1．
（1）求y1+y2和y1y3的值；
（2）证明直线PQ过定点，并求出该定点．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2axlnx+1有两个极值点x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线OM：θ＝α0（ρ≥0）平分曲线C2，且与曲线C1交于点A（异于O点），曲线C1上的点B满足，求△AOB的面积S．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+4|．
（1）求f（x）的最大值m；
（2）已知a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥12．
2021年吉林省长春市东北师大附中高考数学四模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣2，3）
【分析】先解一元二次不等式求出集合B，再求出A∪B即可．
【解答】解：∵B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝{x|x＞2或x＜﹣1}，
∴A∪B＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故选：A．
2．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α是平面，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的判定和性质进行判断即可．
【解答】解：①当l⊥m时，则l⊥α或l与α不垂直，∴充分性不成立，
②当l⊥α时，∵m⊂α，∴l⊥m，∴必要性成立，
∴l⊥m是l⊥α的必要不充分条件，
故选：C．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是（ ）
A．n≥6 B．n≥8 C．n＞10 D．n≥10
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，根据已知即可得解判断框内的条件．
【解答】解：由程序框图，其执行结果如下：
1、S＝0，n＝0：n＝2，S＝2，执行循环体；
2、S＝2，n＝2：n＝4，S＝6，执行循环体；
3、S＝6，n＝4：n＝6，S＝12，执行循环体；
4、S＝12，n＝6：n＝8，S＝20，执行循环体；
5、S＝20，n＝8：n＝10，S＝30，跳出循环体，输出S＝30；
∴框内条件应为n≥10．
故选：D．
4．（5分）若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]上是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及复合函数的单调性，即可求解
【解答】解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）＝，
令，k∈Z，可得，
当k＝0时，可得f（x）的一个减区间为，
∵f（x）在[﹣a，a]上是减函数，
∴，解得，
∴a的最大值为．
故选：B．
5．（5分）若双曲线C：的一条渐近线被以焦点为圆心的圆x2+y2﹣4x＝0所截得的弦长为，则b＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心和半径，从而得到双曲线的右焦点，然后利用直线与圆的弦长，由勾股定理和点到直线的距离公式，求解即可．
【解答】解：由圆的方程x2+y2﹣4x＝0，可得（x﹣22）+y2＝4，
故圆心为（2，0），半径为2，
所以双曲线的右焦点为（2，0），
则c＝2，
又双曲线的渐近线bx﹣ay＝0被圆截得的弦长为，
则圆心到渐近线的距离d＝，
又a2+b2＝c2＝1，解得b＝1．
故选：A．
6．（5分）函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由解析式知0＜x＜1时，y＜0，排除B、C，然后用导数研究x＞1时的单调性，得正确图形．
【解答】解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
当0＜x＜1时，lnx＜0，y＜0；当x＞1时，lnx＞0，y＞0．
故排除B、C．
＝
当1＜x＜e时，0＜lnx＜1，，y′＜0，函数递减；
当x＞e时，lnx＞1，，y′＞0，函数递增．
结合图形，可知D选项中图正确．
故选：D．
7．（5分）某高中高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．现按照分层抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间．样本数据（单位：小时）整理后得到如图所示的频率分布直方图．下列说法错误的是（ ）
A．每个年级抽取的人数分别为120、90、90人
B．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人
C．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人
D．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%
【分析】根据条件直接求出各年级抽取的人数，即可判断A；根据BCD所给的条件，结合频率分布直方图，分别判断即可．
【解答】解：对于A，高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．
按照分层抽样的方法抽取300名学生，
高一抽取：300×＝120人，
高二抽取：300×＝90人，
高三抽取：300×＝90人，故A正确；
对于B，估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为：
（0.025+0.1）×2×1200＝300人，故B正确；
对于C，估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为：
（1200+900+900）×（0.075+0.025）×2＝600人，故C正确；
对于D，估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为：
（0.075+0.025）×2＝0.2＝20%，故D错误．
故选：D．
8．（5分）已知△ABC的面积是（其中b，c为△ABC的边长），则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．是直角三角形但不是等腰三角形
C．是等腰三角形但不是直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】直接利用三角函数关系式的变换，三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】解：△ABC的面积是，
利用三角形的面积公式：，
整理得2bcsinA＝b2+c2，根据基本不等式：当a2+b2≥2ab时，
即当sinA＝1时，且b＝c等号成立．
故A＝，且b＝c．
故选：D．
9．（5分）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数诱导公式的应用求出结果．
【解答】解：已知，则cos（2）＝1﹣2＝，
所以＝，
故．
故选：A．
10．（5分）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（IssacNewton，1643﹣1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法﹣用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0，f（x）在x0处的切线与x轴的交点为x1，f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直继续下去，得到x0，x1，x2⋯，xn，它们越来越接近r．若f（x）＝x2﹣2（x＞0），x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
【分析】根据题意，利用导数的几何意义求出f（x）在x0＝2处切线的方程，即可得x1＝，进而求出f（x）在x1＝处切线的方程，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣2（x＞0），则f′（x）＝2x，
x0＝2，则f′（x0）＝f′（2）＝4，f（x0）＝f（2）＝2，则f（x）在x0＝2处切线的方程为y﹣2＝4（x﹣2），
令y＝0，可得x1＝，
x1＝，则f′（x1）＝f′（）＝3，f（x1）＝f（）＝，则f（x）在x1＝处切线的方程为y﹣＝3（x﹣），
令y＝0，可得x2≈1.417，
故选：B．
11．（5分）已知f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（2，+∞） C． D．（1，+∞）
【分析】首先画出函数的图象，根据图象得t＞0时有三个零点，求出当x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推导得出结果．
【解答】解：函数的图象如图所示，
函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
即方程f（x）＝t有三个不同的实数根x1，x2，x3，由图知t＞0，
当x＞0时，，
∵，
∴f（x）≤1，当且仅当x＝1时取得最大值，
当y＝1时，x1＝﹣1，x2＝x3＝1，
此时，
由，可得，
∴，x2x3＝1，
∴，
∴，
∵0＜t＜1，
∴的取值范围是（3，+∞）．
故选：A．
12．（5分）已知a＝log315，b＝log540，2c＝6，则（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【分析】比较a，b，c与的大小，再利用作差法和基本不等式的公式，比较a，b的大小，即可求解．
【解答】解：a＝log3（3×5）＝1+log35 ＝，
b＝log540＝log5（5×8）＝1+log58 ，
2c＝6，c＝log26＝log2（2×3）＝1+log23 ，
∵a﹣b＝（1+log35）﹣（1+log58）＝log35﹣log58＝＝＝，
综上所述，c＞a＞b．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则z＝ ﹣1+i ．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝，
故答案为：﹣1+i．
14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为 4 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，2），
由z＝x+y，得y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．
故答案为：4．
15．（5分）如图，在同一个平面内，向量与的夹角为α，且tanα＝7，向量与的夹角为45°，且，．若＝m+n（m∈R，n∈R），则n﹣m＝ ．
【分析】以O为原点建立平面直角坐标系，结合两角和差公式，写出点A，B，C的坐标，根据平面向量的坐标运算，可得关于m和n的方程组，解之即可．
【解答】解：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（1，0），
∵tanα＝7，∴cosα＝，sinα＝，
∵，∴C（，），
又向量与的夹角为45°，
∴cos（α+45°）＝cosαcos45°﹣sinαsin45°＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣）＝﹣，
∴sin（α+45°）＝＝，
∴B（﹣，），
∵＝m+n，
∴（，）＝m（1，0）+n（﹣，），即，解得，
∴n﹣m＝．
故答案为：．
16．（5分）如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（1794﹣1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE＝AC，AF＝AB，于是AE+AF＝AB+AC＝BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知A1A2是椭圆的长轴，PA1垂直于桌面且与球相切，PA1＝5，则椭圆的离心率为 ．
【分析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出a，c，得出离心率．
【解答】解：圆O切A1A2于F1，切A1P于E，A1P＝5，球半径为2，
所以EP＝3，
tan∠EPO＝，tan∠A1PA2＝＝，
在△A1PA2中，A1P＝5，
所以A1A2＝A1P×＝12，
所以2a＝12，解得a＝6，
根据椭圆在圆锥中的截面与二面球相切的切点为椭圆的焦点知：
球O与A1A2相切的切点F1为椭圆的一个焦点，且A1F1＝2，
所以a﹣c＝2，c＝4，
所以椭圆的离心率为e＝＝，
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q，已知d＝q，a1+1＝b1，a2+1＝b2，a4+1＝b3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式将已知条件转化为基本量表示，求解方程组即可得到答案；
（2）求出数列的通项公式，然后由错位相减法求解即可．
【解答】解：（1）因为d＝q，a1+1＝b1，a2+1＝b2，a4+1＝b3，
所以，解得，
所以an＝2n﹣1；；
（2）因为，
所以，
则，
两式相减可得，
＝
＝．
18．（12分）近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？
愿意接种
不愿意接种
合计
男
女
合计
（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附：．
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.005
k0
3.841
6.635
7.879
【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（2）设事件A为至少有一份担心疫苗安全性，事件B为另一份担心疫苗有效性，则P（A）＝1﹣，P（AB）＝，再结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）2×2列联表：
愿意接种
不愿意接种
合计
男
30
10
40
女
50
5
55
合计
80
15
95
∵，
∴有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．
（2）设事件A为至少有一份担心疫苗安全性，事件B为另一份担心疫苗有效性，
则P（A）＝1﹣，P（AB）＝，
故P（B|A）＝．
19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）若直线AC与平面BCD所成的角为45°，AC＝1，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．
【分析】（1）由已知，取BD中点E，连接AE，CE，可得AE⊥BD，CE⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面ACE，从而得到BD⊥AC；
（2）由（1）知，BD⊥平面ACE，可得平面ACE⊥平面BCD，则∠ACE为直线AC与平面BCD所成的角为45°，求解三角形证明AE⊥EC，得AE⊥平面BCD，取CD中点G，连接AG，EG，得∠AGE为二面角A﹣CD﹣B的平面角，再求出二面角的余弦即可．
【解答】解：（1）证明：在△ACB与△ACD中，由BC＝CD，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，
得△ACB≌△ACD，则AB＝AD，
取BD中点E，连接AE，CE，可得AE⊥BD，CE⊥BD，
又AE∩CE＝E，∴BD⊥平面ACE，而AC⊂平面ACE，
∴BD⊥AC；
（2）由（1）知，BD⊥平面ACE，BD⊂平面BCD，
∴平面ACE⊥平面BCD，且平面ACE∩平面BCD＝CE，
可知∠ACE为直线AC与平面BCD所成的角为45°，
在等腰直角三角形BCD中，求得CE＝，
又AC＝1，∠ACE＝45°，
则AE2＝AC2+CE2﹣2AC•CE•cos45°
＝，
∴AE2+CE2＝AC2，即AE⊥CE，则AE⊥平面BCD．
取CD中点G，连接EG，则EG⊥CD，连接AG，则AG⊥CD，
即∠AGE为二面角A﹣CD﹣B的平面角．
在Rt△AEG中，EG＝＝，
又，∴＝，
∴cos．
即二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．
20．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）四点都在抛物线上，直线AP与直线BQ相交于点F，且直线AB斜率为1．
（1）求y1+y2和y1y3的值；
（2）证明直线PQ过定点，并求出该定点．
【分析】（1）分别设出直线AB，AP的方程，并与抛物线联立，结合韦达定理，即可分别求解．
（2）设直线PQ方程为x＝ty+n，联立直线PQ与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4ty﹣4n＝0，再结合韦达定理，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线AB的斜率为1，
∴可设直线AB方程为y＝x+b，
联立直线AB与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4y+4b＝0，
△＝16﹣16b＞0，即b＜1，
，
∵焦点F（1，0），
∴设直线AP方程为x＝my+1，
联立直线AP与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4my﹣4＝0，
△＝16m2+16＞0，．
（2）设直线PQ方程为x＝ty+n，
联立直线PQ与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4ty﹣4n＝0，
△＝16t2+16n＞0，y3+y4＝4t，y3y4＝﹣4n，
由（1）知y1y3＝﹣4，同理y2y4＝﹣4，
故y1+y2＝，
∵由（1）知y1+y2＝4，
∴n＝t，
∴直线PQ的方程为x＝ty+1＝t（y+1），过定点（0，﹣1）．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2axlnx+1有两个极值点x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：．
【分析】（1）利用f（x）的二阶导数，对a进行分类讨论，求解即可；
（2）将所要证明的不等式转化为，通过构造函数，结合导数判断函数的单调性进行证明即可．
【解答】（1）解：因为f（x）＝x2﹣2axlnx+1有两个极值点x1，x2，
所以g（x）＝f'（x）＝2x﹣2a（1+lnx）有两个零点，
又g'（x）＝2﹣，
①当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，至多1个零点，不符合题意；
②当a＞0时，令g'（x）＝0，解得x＝a，
当0＜x＜a时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，
当x＞a时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（a）＝﹣2alna，
（i）当0＜a＜1时，g（x）min＝g（a）＝﹣2alna＞0，此时无零点；
（ii）当a＝1时，g（x）min＝g（a）＝﹣2alna＝0，此时1个零点；
（iii）当a＞1时，g（x）min＝g（a）＝﹣2alna＜0，
又，
且g（2a2）＝4a2﹣2a（1+ln（2a2））＝2a（2a﹣2lna﹣1﹣ln2）＞0，
所以g（x）在，（a，2a2）上各有一个零点，
则f（x）有两个零点．
综上所述，实数a的取值范围为a＞1；
（2）证明：不妨设0＜x1＜x2，
则所要求证的不等式可变形为，
即，
即，
令F（x）＝，
则F'（x）＝，
故F（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
所以，
故．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线OM：θ＝α0（ρ≥0）平分曲线C2，且与曲线C1交于点A（异于O点），曲线C1上的点B满足，求△AOB的面积S．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为y2＝4x；
曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；
（2）射线OM：θ＝α0（ρ≥0）平分曲线C2，则该直线经过圆心，
所以，
y2＝4x转换为极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，与曲线C1交于点A（异于O点），
所以，整理得；
曲线C1上的点B满足，所以，
故．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+4|．
（1）求f（x）的最大值m；
（2）已知a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥12．
【分析】（1）根据已知条件，结合绝对值三角不等式公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求证．
【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣2|﹣|x+4|≤|x﹣2﹣（x+4）|＝6，当且仅当x≤﹣4时等号成立，
故f（x）的最大值m＝6．
（2）证明：∵由（1）可知，a+b+c＝6，a＞0，b＞0，c＞0，
∴3（a2+b2+c2）＝2（a2+b2+c2）+（a2+b2+c2）
＝（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）+（a2+b2+c2）
≥2ab+2bc+2ac+（a2+b2+c2）＝（a+b+c）2＝36 （当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立），
∴a2+b2+c2≥12，即得证．
2021年吉林省长春市东北师大附中高考数学四模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣2，3）
2．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α是平面，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是（ ）
A．n≥6 B．n≥8 C．n＞10 D．n≥10
4．（5分）若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]上是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）若双曲线C：的一条渐近线被以焦点为圆心的圆x2+y2﹣4x＝0所截得的弦长为，则b＝（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（5分）函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）某高中高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．现按照分层抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间．样本数据（单位：小时）整理后得到如图所示的频率分布直方图．下列说法错误的是（ ）
A．每个年级抽取的人数分别为120、90、90人
B．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人
C．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人
D．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%
8．（5分）已知△ABC的面积是（其中b，c为△ABC的边长），则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．是直角三角形但不是等腰三角形
C．是等腰三角形但不是直角三角形
D．等腰直角三角形
9．（5分）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（IssacNewton，1643﹣1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法﹣用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0，f（x）在x0处的切线与x轴的交点为x1，f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直继续下去，得到x0，x1，x2⋯，xn，它们越来越接近r．若f（x）＝x2﹣2（x＞0），x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
11．（5分）已知f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（2，+∞） C． D．（1，+∞）
12．（5分）已知a＝log315，b＝log540，2c＝6，则（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则z＝ ．
14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为 ．
15．（5分）如图，在同一个平面内，向量与的夹角为α，且tanα＝7，向量与的夹角为45°，且，．若＝m+n（m∈R，n∈R），则n﹣m＝ ．
16．（5分）如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（1794﹣1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE＝AC，AF＝AB，于是AE+AF＝AB+AC＝BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知A1A2是椭圆的长轴，PA1垂直于桌面且与球相切，PA1＝5，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q，已知d＝q，a1+1＝b1，a2+1＝b2，a4+1＝b3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
18．（12分）近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？
愿意接种
不愿意接种
合计
男
女
合计
（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附：．
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.005
k0
3.841
6.635
7.879
19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）若直线AC与平面BCD所成的角为45°，AC＝1，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．
20．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）四点都在抛物线上，直线AP与直线BQ相交于点F，且直线AB斜率为1．
（1）求y1+y2和y1y3的值；
（2）证明直线PQ过定点，并求出该定点．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2axlnx+1有两个极值点x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线OM：θ＝α0（ρ≥0）平分曲线C2，且与曲线C1交于点A（异于O点），曲线C1上的点B满足，求△AOB的面积S．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+4|．
（1）求f（x）的最大值m；
（2）已知a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥12．
2021年吉林省长春市东北师大附中高考数学四模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣2，3）
【分析】先解一元二次不等式求出集合B，再求出A∪B即可．
【解答】解：∵B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝{x|x＞2或x＜﹣1}，
∴A∪B＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故选：A．
2．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α是平面，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的判定和性质进行判断即可．
【解答】解：①当l⊥m时，则l⊥α或l与α不垂直，∴充分性不成立，
②当l⊥α时，∵m⊂α，∴l⊥m，∴必要性成立，
∴l⊥m是l⊥α的必要不充分条件，
故选：C．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是（ ）
A．n≥6 B．n≥8 C．n＞10 D．n≥10
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，根据已知即可得解判断框内的条件．
【解答】解：由程序框图，其执行结果如下：
1、S＝0，n＝0：n＝2，S＝2，执行循环体；
2、S＝2，n＝2：n＝4，S＝6，执行循环体；
3、S＝6，n＝4：n＝6，S＝12，执行循环体；
4、S＝12，n＝6：n＝8，S＝20，执行循环体；
5、S＝20，n＝8：n＝10，S＝30，跳出循环体，输出S＝30；
∴框内条件应为n≥10．
故选：D．
4．（5分）若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]上是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及复合函数的单调性，即可求解
【解答】解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）＝，
令，k∈Z，可得，
当k＝0时，可得f（x）的一个减区间为，
∵f（x）在[﹣a，a]上是减函数，
∴，解得，
∴a的最大值为．
故选：B．
5．（5分）若双曲线C：的一条渐近线被以焦点为圆心的圆x2+y2﹣4x＝0所截得的弦长为，则b＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心和半径，从而得到双曲线的右焦点，然后利用直线与圆的弦长，由勾股定理和点到直线的距离公式，求解即可．
【解答】解：由圆的方程x2+y2﹣4x＝0，可得（x﹣22）+y2＝4，
故圆心为（2，0），半径为2，
所以双曲线的右焦点为（2，0），
则c＝2，
又双曲线的渐近线bx﹣ay＝0被圆截得的弦长为，
则圆心到渐近线的距离d＝，
又a2+b2＝c2＝1，解得b＝1．
故选：A．
6．（5分）函数y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由解析式知0＜x＜1时，y＜0，排除B、C，然后用导数研究x＞1时的单调性，得正确图形．
【解答】解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
当0＜x＜1时，lnx＜0，y＜0；当x＞1时，lnx＞0，y＞0．
故排除B、C．
＝
当1＜x＜e时，0＜lnx＜1，，y′＜0，函数递减；
当x＞e时，lnx＞1，，y′＞0，函数递增．
结合图形，可知D选项中图正确．
故选：D．
7．（5分）某高中高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．现按照分层抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间．样本数据（单位：小时）整理后得到如图所示的频率分布直方图．下列说法错误的是（ ）
A．每个年级抽取的人数分别为120、90、90人
B．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人
C．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人
D．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%
【分析】根据条件直接求出各年级抽取的人数，即可判断A；根据BCD所给的条件，结合频率分布直方图，分别判断即可．
【解答】解：对于A，高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．
按照分层抽样的方法抽取300名学生，
高一抽取：300×＝120人，
高二抽取：300×＝90人，
高三抽取：300×＝90人，故A正确；
对于B，估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为：
（0.025+0.1）×2×1200＝300人，故B正确；
对于C，估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为：
（1200+900+900）×（0.075+0.025）×2＝600人，故C正确；
对于D，估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为：
（0.075+0.025）×2＝0.2＝20%，故D错误．
故选：D．
8．（5分）已知△ABC的面积是（其中b，c为△ABC的边长），则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．是直角三角形但不是等腰三角形
C．是等腰三角形但不是直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】直接利用三角函数关系式的变换，三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】解：△ABC的面积是，
利用三角形的面积公式：，
整理得2bcsinA＝b2+c2，根据基本不等式：当a2+b2≥2ab时，
即当sinA＝1时，且b＝c等号成立．
故A＝，且b＝c．
故选：D．
9．（5分）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数诱导公式的应用求出结果．
【解答】解：已知，则cos（2）＝1﹣2＝，
所以＝，
故．
故选：A．
10．（5分）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（IssacNewton，1643﹣1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法﹣用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0，f（x）在x0处的切线与x轴的交点为x1，f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直继续下去，得到x0，x1，x2⋯，xn，它们越来越接近r．若f（x）＝x2﹣2（x＞0），x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
【分析】根据题意，利用导数的几何意义求出f（x）在x0＝2处切线的方程，即可得x1＝，进而求出f（x）在x1＝处切线的方程，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣2（x＞0），则f′（x）＝2x，
x0＝2，则f′（x0）＝f′（2）＝4，f（x0）＝f（2）＝2，则f（x）在x0＝2处切线的方程为y﹣2＝4（x﹣2），
令y＝0，可得x1＝，
x1＝，则f′（x1）＝f′（）＝3，f（x1）＝f（）＝，则f（x）在x1＝处切线的方程为y﹣＝3（x﹣），
令y＝0，可得x2≈1.417，
故选：B．
11．（5分）已知f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（2，+∞） C． D．（1，+∞）
【分析】首先画出函数的图象，根据图象得t＞0时有三个零点，求出当x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推导得出结果．
【解答】解：函数的图象如图所示，
函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
即方程f（x）＝t有三个不同的实数根x1，x2，x3，由图知t＞0，
当x＞0时，，
∵，
∴f（x）≤1，当且仅当x＝1时取得最大值，
当y＝1时，x1＝﹣1，x2＝x3＝1，
此时，
由，可得，
∴，x2x3＝1，
∴，
∴，
∵0＜t＜1，
∴的取值范围是（3，+∞）．
故选：A．
12．（5分）已知a＝log315，b＝log540，2c＝6，则（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【分析】比较a，b，c与的大小，再利用作差法和基本不等式的公式，比较a，b的大小，即可求解．
【解答】解：a＝log3（3×5）＝1+log35 ＝，
b＝log540＝log5（5×8）＝1+log58 ，
2c＝6，c＝log26＝log2（2×3）＝1+log23 ，
∵a﹣b＝（1+log35）﹣（1+log58）＝log35﹣log58＝＝＝，
综上所述，c＞a＞b．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则z＝ ﹣1+i ．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝，
故答案为：﹣1+i．
14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为 4 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，2），
由z＝x+y，得y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．
故答案为：4．
15．（5分）如图，在同一个平面内，向量与的夹角为α，且tanα＝7，向量与的夹角为45°，且，．若＝m+n（m∈R，n∈R），则n﹣m＝ ．
【分析】以O为原点建立平面直角坐标系，结合两角和差公式，写出点A，B，C的坐标，根据平面向量的坐标运算，可得关于m和n的方程组，解之即可．
【解答】解：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（1，0），
∵tanα＝7，∴cosα＝，sinα＝，
∵，∴C（，），
又向量与的夹角为45°，
∴cos（α+45°）＝cosαcos45°﹣sinαsin45°＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣）＝﹣，
∴sin（α+45°）＝＝，
∴B（﹣，），
∵＝m+n，
∴（，）＝m（1，0）+n（﹣，），即，解得，
∴n﹣m＝．
故答案为：．
16．（5分）如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（1794﹣1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE＝AC，AF＝AB，于是AE+AF＝AB+AC＝BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知A1A2是椭圆的长轴，PA1垂直于桌面且与球相切，PA1＝5，则椭圆的离心率为 ．
【分析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出a，c，得出离心率．
【解答】解：圆O切A1A2于F1，切A1P于E，A1P＝5，球半径为2，
所以EP＝3，
tan∠EPO＝，tan∠A1PA2＝＝，
在△A1PA2中，A1P＝5，
所以A1A2＝A1P×＝12，
所以2a＝12，解得a＝6，
根据椭圆在圆锥中的截面与二面球相切的切点为椭圆的焦点知：
球O与A1A2相切的切点F1为椭圆的一个焦点，且A1F1＝2，
所以a﹣c＝2，c＝4，
所以椭圆的离心率为e＝＝，
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q，已知d＝q，a1+1＝b1，a2+1＝b2，a4+1＝b3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式将已知条件转化为基本量表示，求解方程组即可得到答案；
（2）求出数列的通项公式，然后由错位相减法求解即可．
【解答】解：（1）因为d＝q，a1+1＝b1，a2+1＝b2，a4+1＝b3，
所以，解得，
所以an＝2n﹣1；；
（2）因为，
所以，
则，
两式相减可得，
＝
＝．
18．（12分）近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？
愿意接种
不愿意接种
合计
男
女
合计
（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附：．
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.005
k0
3.841
6.635
7.879
【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（2）设事件A为至少有一份担心疫苗安全性，事件B为另一份担心疫苗有效性，则P（A）＝1﹣，P（AB）＝，再结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）2×2列联表：
愿意接种
不愿意接种
合计
男
30
10
40
女
50
5
55
合计
80
15
95
∵，
∴有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．
（2）设事件A为至少有一份担心疫苗安全性，事件B为另一份担心疫苗有效性，
则P（A）＝1﹣，P（AB）＝，
故P（B|A）＝．
19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）若直线AC与平面BCD所成的角为45°，AC＝1，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．
【分析】（1）由已知，取BD中点E，连接AE，CE，可得AE⊥BD，CE⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面ACE，从而得到BD⊥AC；
（2）由（1）知，BD⊥平面ACE，可得平面ACE⊥平面BCD，则∠ACE为直线AC与平面BCD所成的角为45°，求解三角形证明AE⊥EC，得AE⊥平面BCD，取CD中点G，连接AG，EG，得∠AGE为二面角A﹣CD﹣B的平面角，再求出二面角的余弦即可．
【解答】解：（1）证明：在△ACB与△ACD中，由BC＝CD，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，
得△ACB≌△ACD，则AB＝AD，
取BD中点E，连接AE，CE，可得AE⊥BD，CE⊥BD，
又AE∩CE＝E，∴BD⊥平面ACE，而AC⊂平面ACE，
∴BD⊥AC；
（2）由（1）知，BD⊥平面ACE，BD⊂平面BCD，
∴平面ACE⊥平面BCD，且平面ACE∩平面BCD＝CE，
可知∠ACE为直线AC与平面BCD所成的角为45°，
在等腰直角三角形BCD中，求得CE＝，
又AC＝1，∠ACE＝45°，
则AE2＝AC2+CE2﹣2AC•CE•cos45°
＝，
∴AE2+CE2＝AC2，即AE⊥CE，则AE⊥平面BCD．
取CD中点G，连接EG，则EG⊥CD，连接AG，则AG⊥CD，
即∠AGE为二面角A﹣CD﹣B的平面角．
在Rt△AEG中，EG＝＝，
又，∴＝，
∴cos．
即二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．
20．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）四点都在抛物线上，直线AP与直线BQ相交于点F，且直线AB斜率为1．
（1）求y1+y2和y1y3的值；
（2）证明直线PQ过定点，并求出该定点．
【分析】（1）分别设出直线AB，AP的方程，并与抛物线联立，结合韦达定理，即可分别求解．
（2）设直线PQ方程为x＝ty+n，联立直线PQ与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4ty﹣4n＝0，再结合韦达定理，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线AB的斜率为1，
∴可设直线AB方程为y＝x+b，
联立直线AB与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4y+4b＝0，
△＝16﹣16b＞0，即b＜1，
，
∵焦点F（1，0），
∴设直线AP方程为x＝my+1，
联立直线AP与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4my﹣4＝0，
△＝16m2+16＞0，．
（2）设直线PQ方程为x＝ty+n，
联立直线PQ与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4ty﹣4n＝0，
△＝16t2+16n＞0，y3+y4＝4t，y3y4＝﹣4n，
由（1）知y1y3＝﹣4，同理y2y4＝﹣4，
故y1+y2＝，
∵由（1）知y1+y2＝4，
∴n＝t，
∴直线PQ的方程为x＝ty+1＝t（y+1），过定点（0，﹣1）．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2axlnx+1有两个极值点x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：．
【分析】（1）利用f（x）的二阶导数，对a进行分类讨论，求解即可；
（2）将所要证明的不等式转化为，通过构造函数，结合导数判断函数的单调性进行证明即可．
【解答】（1）解：因为f（x）＝x2﹣2axlnx+1有两个极值点x1，x2，
所以g（x）＝f'（x）＝2x﹣2a（1+lnx）有两个零点，
又g'（x）＝2﹣，
①当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，至多1个零点，不符合题意；
②当a＞0时，令g'（x）＝0，解得x＝a，
当0＜x＜a时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，
当x＞a时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（a）＝﹣2alna，
（i）当0＜a＜1时，g（x）min＝g（a）＝﹣2alna＞0，此时无零点；
（ii）当a＝1时，g（x）min＝g（a）＝﹣2alna＝0，此时1个零点；
（iii）当a＞1时，g（x）min＝g（a）＝﹣2alna＜0，
又，
且g（2a2）＝4a2﹣2a（1+ln（2a2））＝2a（2a﹣2lna﹣1﹣ln2）＞0，
所以g（x）在，（a，2a2）上各有一个零点，
则f（x）有两个零点．
综上所述，实数a的取值范围为a＞1；
（2）证明：不妨设0＜x1＜x2，
则所要求证的不等式可变形为，
即，
即，
令F（x）＝，
则F'（x）＝，
故F（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
所以，
故．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线OM：θ＝α0（ρ≥0）平分曲线C2，且与曲线C1交于点A（异于O点），曲线C1上的点B满足，求△AOB的面积S．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为y2＝4x；
曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；
（2）射线OM：θ＝α0（ρ≥0）平分曲线C2，则该直线经过圆心，
所以，
y2＝4x转换为极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，与曲线C1交于点A（异于O点），
所以，整理得；
曲线C1上的点B满足，所以，
故．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+4|．
（1）求f（x）的最大值m；
（2）已知a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥12．
【分析】（1）根据已知条件，结合绝对值三角不等式公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求证．
【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣2|﹣|x+4|≤|x﹣2﹣（x+4）|＝6，当且仅当x≤﹣4时等号成立，
故f（x）的最大值m＝6．
（2）证明：∵由（1）可知，a+b+c＝6，a＞0，b＞0，c＞0，
∴3（a2+b2+c2）＝2（a2+b2+c2）+（a2+b2+c2）
＝（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）+（a2+b2+c2）
≥2ab+2bc+2ac+（a2+b2+c2）＝（a+b+c）2＝36 （当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立），
∴a2+b2+c2≥12，即得证．
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