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2021年吉林省、内蒙古高考数学联考试卷（理科）（2021.04）（解析版）
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这是一份2021年吉林省、内蒙古高考数学联考试卷（理科）（2021.04）（解析版），共17页。试卷主要包含了已知复数z＝﹣1+i，则z2＝，函数图象的对称中心是，已知F1，F2是椭圆C，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
2021年吉林省、内蒙古高考数学联考试卷（理科）（4月份）
一.选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0} B．{﹣4，﹣2，0，2} C．{0，2} D．{﹣2，0，2，4}
2．已知复数z＝﹣1+i，则z2＝（ ）
A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．4﹣2i D．4+2i
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a9＝a5+5，则S13＝（ ）
A．35 B．65 C．95 D．130
4．函数图象的对称中心是（ ）
A．（kπ+，）（k∈Z） B．（kπ+，0）（k∈Z）
C．（+，）（k∈Z） D．（+，0）（k∈Z）
5．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
6．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
7．在等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，则a5＝（ ）
A．3 B．3或 C． D．±3
8．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（ ）（lge≈0.434，lg2≈0.301）
A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s
9．已知F1，F2是椭圆C：+y2＝1的左、右焦点，点D在椭圆C上，∠F1DF2＝120°，点O为坐标原点，则|OD|＝（ ）
A．1 B． C． D．
10．已知函数f（x）＝log2（﹣x2﹣mx+16）在[﹣2，2]上单调递减，则m的取值范围是（ ）
A．[4，+∞） B．（﹣6，6） C．（﹣6，4] D．[4，6）
11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，）
二.填空题（每小题5分）.
13．已知向量＝（2，m），＝（1，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝ ．
14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是 ．
15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为 元．
16．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：
顾客所打分数
[25，40）
[40，55）
[55，70）
[70，85）
[85，100]
男性顾客人数
4
6
10
30
50
女性顾客人数
6
10
24
40
20
（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？
满意
不满意
男性顾客
女性顾客
附；K2＝．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA＝2c﹣a．
（1）求角B；
（2）若a＝4，b＝2，求边BC上的中线AD的长．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°．点E，F分别在棱BC，PD上（不包含端点），且PF：DF＝BE：CE．
（1）证明：EF∥平面PAB．
（2）若PA＝AB，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大1．过点P作抛物线C的切线，设其斜率为k0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l：y＝kx+b与抛物线C相交于不同的两点A，B（异于点P）若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：k+k0＝0．
21．设函数f（x）＝，a∈R．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．
（2）证明：当a≥2时，f（x）++≥0．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4；坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝3．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣3|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤7的解集；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
参考答案
一.选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0} B．{﹣4，﹣2，0，2} C．{0，2} D．{﹣2，0，2，4}
解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，
∴A∩B＝{0，2}．
故选：C．
2．已知复数z＝﹣1+i，则z2＝（ ）
A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．4﹣2i D．4+2i
解：由题意可得，．
故选：A．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a9＝a5+5，则S13＝（ ）
A．35 B．65 C．95 D．130
解：根据题意，等差数列{an}中，a3+a9＝a5+5，
则a3+a9﹣a5＝a1+6d＝5，即a7＝5，
则S13＝＝13a7＝13×5＝65，
故选：B．
4．函数图象的对称中心是（ ）
A．（kπ+，）（k∈Z） B．（kπ+，0）（k∈Z）
C．（+，）（k∈Z） D．（+，0）（k∈Z）
解：函数，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
所以f（x）的对称中心为（+，0）（k∈Z）．
故选：D．
5．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
解：由题意得：抽样比为：＝，
∴小学生应抽取的人数为：3600×＝72，
初中生应抽取的人数为：2400×＝48，
∴小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是：72﹣48＝24，
故选：A．
6．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
解：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，则h＝2r，2πrh＝4π，从而，r＝1，h＝2，
故该圆柱的体积为：πr2h＝2π．
故选：A．
7．在等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，则a5＝（ ）
A．3 B．3或 C． D．±3
解：根据题意，a2，a8是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，
则a2a8＝9，
则有（a5）2＝9，解可得a5＝±3，
故选：D．
8．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（ ）（lge≈0.434，lg2≈0.301）
A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s
解：根据题意，v＝v0ln＝1000×ln500＝1000×＝1000×≈6219m/s，
故选：C．
9．已知F1，F2是椭圆C：+y2＝1的左、右焦点，点D在椭圆C上，∠F1DF2＝120°，点O为坐标原点，则|OD|＝（ ）
A．1 B． C． D．
解：|DF2|＝m，由椭圆的定义可得|DF1|＝4﹣m，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|DF1|2+|DF2|2﹣2|DF1||DF2|cos∠F1DF2，
即m2+（4﹣m）2﹣2m（4﹣m）×＝12，即m2﹣4m+4＝0，解得m＝2，
所以|DF1|＝|DF2|＝2，即点D与椭圆C的上顶点重合，所以|OD|＝1．
故选：A．
10．已知函数f（x）＝log2（﹣x2﹣mx+16）在[﹣2，2]上单调递减，则m的取值范围是（ ）
A．[4，+∞） B．（﹣6，6） C．（﹣6，4] D．[4，6）
解：∵函数f（x）＝log2（﹣x2﹣mx+16）在[﹣2，2]上单调递减，
∴f（x）在[﹣2，2]上单调递减，且大于零，故有 ，
求得 4≤m＜6，
故选：D．
11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
解：设|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，
可得，解得b＝2a，则e＝＝＝，
故选：A．
12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，）
解：设g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）＝g（x），即g（x）是偶函数，
故关于x的方程g（x）＝0有4个不同的实数根等价于g（x）在（0，+∞）上有2个零点，
当x＞0时，g（x）＝2lnx+x2﹣2x﹣+1，则g（x）＝0等价于a＝2xlnx+x3﹣2x2+x，
令h（x）＝2xlnx+x3﹣2x2+x，则h′（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，令m（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，则m′（x）＝﹣4+2x≥2﹣4＝0，
∴m（x）在区间（0，+∞）上单调递增，又m（1）＝0，
∴h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
即h（x）在x＝1处取得极小值h（1）＝﹣，当x→0时，h（x）→0，当x→+∞时，h（x）→+∞，
∴h（x）的大致图象如下，
∴当﹣＜a＜0时，关于x的方程h（x）＝a在区间（0，+∞）上有两个不同的实数根，
即关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根．
故选：B．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．已知向量＝（2，m），＝（1，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝ ﹣1 ．
解：根据题意，＝（2，m），＝（1，﹣3），则2﹣＝（3，2m+3），
若（2﹣）⊥，则（2﹣）•＝3﹣3（2m+3）＝0，
解可得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是 8 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，2），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+2×1＝8．
故选答案为：8．
15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为 210 元．
解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为＝210元．
故答案为：210．
16．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为 π ．
解：由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的各顶点在球O的表面积上，
即球O的半径为R，则（2R）2＝22+22+42＝24，解得R＝，
由三棱锥的直观图可得最短棱BC，设BC的中点为E，则OE＝A1B＝＝，
当截面面积最小时，OE⊥截面，设截面圆的半径为r，
则r2+OE2＝R2，解得r＝1，此时截面面积为π．
故答案为：π．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：
顾客所打分数
[25，40）
[40，55）
[55，70）
[70，85）
[85，100]
男性顾客人数
4
6
10
30
50
女性顾客人数
6
10
24
40
20
（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？
满意
不满意
男性顾客
女性顾客
附；K2＝．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解：（1）由题意知，计算＝×（10×16×+34×+70×+70×）＝75.55，
所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55．
（2）根据题意，填写列联表如下：
满意
不满意
合计
男性顾客
80
20
100
女性顾客
60
40
100
合计
140
60
200
根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524，
因为9.524＞6.635，
所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA＝2c﹣a．
（1）求角B；
（2）若a＝4，b＝2，求边BC上的中线AD的长．
解：（1）因为2bcosA＝2c﹣a，
所以2b×＝2c﹣a，
整理得，a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得，cosB＝＝，
因为0＜B＜π，
所以B＝；
（2）因为a2+c2﹣b2＝ac，
所以16+c2﹣28＝4c，
解得c＝6，
△ABD中，AB＝6，BD＝＝2，∠ABD＝60°，
则AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABD＝36+4﹣2×＝28，
故AD＝2．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°．点E，F分别在棱BC，PD上（不包含端点），且PF：DF＝BE：CE．
（1）证明：EF∥平面PAB．
（2）若PA＝AB，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
解：（1）证明：过点F作HF∥AD，HF∩PA＝H，连接BH，
∵HF∥AD，∴＝，
∵PF：DF＝BE：CE，∴，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，且BC＝AD，
∴HF∥BE，且HF＝BE，
∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，且BC＝AD，
∴HF∥BE，且HF＝BE，∴四边形BEFH是平行四边形，∴EF∥BH，
∵BH⊂平面PAB，EF⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．
（2）解：以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，的方向为y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
设AB＝2，则B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
∴＝（0，2，0），＝（，1，﹣2），＝（﹣，1，0），
设平面PBC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，0，），
设平面PCD的法向量＝（a，b，c），
则，取a＝2，得＝（2，2，），
设二面角B﹣PC﹣D为θ，由图可知θ为钝角，
∴cosθ＝﹣|cos＜＞|＝﹣＝﹣＝﹣，
∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．
20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大1．过点P作抛物线C的切线，设其斜率为k0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l：y＝kx+b与抛物线C相交于不同的两点A，B（异于点P）若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：k+k0＝0．
【解答】（1）解：设点P（x0，y0），由点P到F的距离比点P到x轴的距离大1，
所以PF＝y0+1，即，
所以p＝2，即抛物线C的方程为x2＝4y；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AP的斜率为kAP，直线BP的斜率为kBP，
则，，
因为直线AP与直线BP的斜率互为相反数，
所以kAP＝﹣kBP，即，
又点A（x1，y1），B（x2，y2）均值抛物线上，
所以，化简可得x1+x2＝﹣2x0，
因为，
所以，
故，
则，
因为x2＝4y，所以，
故，故，
所以k+k0＝0．
21．设函数f（x）＝，a∈R．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．
（2）证明：当a≥2时，f（x）++≥0．
【解答】（1）解：因为f（x）＝，所以f′（x）＝＝，
因为函数f（x）在R上是增函数，所以f′（x）≥0恒成立，
即﹣ax2+2ax+1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立，符合题意；
当a≠0时，要使﹣ax2+2ax+1≥0恒成立，只需，解得﹣1≤a＜0，
综上可得，实数a的取值范围是[﹣1，0]．
（2）证明：当a≥2时，令g（x）＝f（x）++，
g′（x）＝+＝﹣，
令g′（x）＝0，可得x1＝﹣，x2＝2，
因为a≥2，所以当x∈（﹣∞，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（﹣，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x→+∞时，g（x）＝+→＞0，
g（﹣）＝﹣+≥0，
所以g（x）≥0，
即f（x）++≥0，得证．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4；坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝3．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值．
解：（1）由（α为参数），得，即曲线C的普通方程为；
由ρcosθ﹣2ρsinθ＝3，结合x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
可得x﹣2y＝，
即直线l的直角坐标方程为x﹣2y﹣＝0；
（2）由题意可设P（2cosα，sinα），
则点P到直线l的距离d＝．
∵﹣1，∴．
∴，
即．
故点P到直线l的距离的最大值为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣3|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤7的解集；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，
因为f（x）≤7，则有或或，
解得﹣3≤x＜﹣2或﹣2≤x≤3或3＜x≤4，
故不等式f（x）≤7的解集为[﹣3，4]；
（2）由题意可得，f（x）＝|x+a|+|x﹣3|≥|x+a﹣x+3|＝|a+3|，
因为f（x）≥1，所以|a+3|≥1，解得a≥﹣2或a≤﹣4，
故a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）．
2021年吉林省、内蒙古高考数学联考试卷（理科）（4月份）
一.选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0} B．{﹣4，﹣2，0，2} C．{0，2} D．{﹣2，0，2，4}
2．已知复数z＝﹣1+i，则z2＝（ ）
A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．4﹣2i D．4+2i
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a9＝a5+5，则S13＝（ ）
A．35 B．65 C．95 D．130
4．函数图象的对称中心是（ ）
A．（kπ+，）（k∈Z） B．（kπ+，0）（k∈Z）
C．（+，）（k∈Z） D．（+，0）（k∈Z）
5．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
6．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
7．在等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，则a5＝（ ）
A．3 B．3或 C． D．±3
8．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（ ）（lge≈0.434，lg2≈0.301）
A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s
9．已知F1，F2是椭圆C：+y2＝1的左、右焦点，点D在椭圆C上，∠F1DF2＝120°，点O为坐标原点，则|OD|＝（ ）
A．1 B． C． D．
10．已知函数f（x）＝log2（﹣x2﹣mx+16）在[﹣2，2]上单调递减，则m的取值范围是（ ）
A．[4，+∞） B．（﹣6，6） C．（﹣6，4] D．[4，6）
11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，）
二.填空题（每小题5分）.
13．已知向量＝（2，m），＝（1，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝ ．
14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是 ．
15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为 元．
16．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：
顾客所打分数
[25，40）
[40，55）
[55，70）
[70，85）
[85，100]
男性顾客人数
4
6
10
30
50
女性顾客人数
6
10
24
40
20
（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？
满意
不满意
男性顾客
女性顾客
附；K2＝．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA＝2c﹣a．
（1）求角B；
（2）若a＝4，b＝2，求边BC上的中线AD的长．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°．点E，F分别在棱BC，PD上（不包含端点），且PF：DF＝BE：CE．
（1）证明：EF∥平面PAB．
（2）若PA＝AB，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大1．过点P作抛物线C的切线，设其斜率为k0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l：y＝kx+b与抛物线C相交于不同的两点A，B（异于点P）若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：k+k0＝0．
21．设函数f（x）＝，a∈R．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．
（2）证明：当a≥2时，f（x）++≥0．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4；坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝3．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣3|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤7的解集；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
参考答案
一.选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0} B．{﹣4，﹣2，0，2} C．{0，2} D．{﹣2，0，2，4}
解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，
∴A∩B＝{0，2}．
故选：C．
2．已知复数z＝﹣1+i，则z2＝（ ）
A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．4﹣2i D．4+2i
解：由题意可得，．
故选：A．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a9＝a5+5，则S13＝（ ）
A．35 B．65 C．95 D．130
解：根据题意，等差数列{an}中，a3+a9＝a5+5，
则a3+a9﹣a5＝a1+6d＝5，即a7＝5，
则S13＝＝13a7＝13×5＝65，
故选：B．
4．函数图象的对称中心是（ ）
A．（kπ+，）（k∈Z） B．（kπ+，0）（k∈Z）
C．（+，）（k∈Z） D．（+，0）（k∈Z）
解：函数，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
所以f（x）的对称中心为（+，0）（k∈Z）．
故选：D．
5．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
解：由题意得：抽样比为：＝，
∴小学生应抽取的人数为：3600×＝72，
初中生应抽取的人数为：2400×＝48，
∴小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是：72﹣48＝24，
故选：A．
6．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
解：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，则h＝2r，2πrh＝4π，从而，r＝1，h＝2，
故该圆柱的体积为：πr2h＝2π．
故选：A．
7．在等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，则a5＝（ ）
A．3 B．3或 C． D．±3
解：根据题意，a2，a8是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，
则a2a8＝9，
则有（a5）2＝9，解可得a5＝±3，
故选：D．
8．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（ ）（lge≈0.434，lg2≈0.301）
A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s
解：根据题意，v＝v0ln＝1000×ln500＝1000×＝1000×≈6219m/s，
故选：C．
9．已知F1，F2是椭圆C：+y2＝1的左、右焦点，点D在椭圆C上，∠F1DF2＝120°，点O为坐标原点，则|OD|＝（ ）
A．1 B． C． D．
解：|DF2|＝m，由椭圆的定义可得|DF1|＝4﹣m，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|DF1|2+|DF2|2﹣2|DF1||DF2|cos∠F1DF2，
即m2+（4﹣m）2﹣2m（4﹣m）×＝12，即m2﹣4m+4＝0，解得m＝2，
所以|DF1|＝|DF2|＝2，即点D与椭圆C的上顶点重合，所以|OD|＝1．
故选：A．
10．已知函数f（x）＝log2（﹣x2﹣mx+16）在[﹣2，2]上单调递减，则m的取值范围是（ ）
A．[4，+∞） B．（﹣6，6） C．（﹣6，4] D．[4，6）
解：∵函数f（x）＝log2（﹣x2﹣mx+16）在[﹣2，2]上单调递减，
∴f（x）在[﹣2，2]上单调递减，且大于零，故有 ，
求得 4≤m＜6，
故选：D．
11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
解：设|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，
可得，解得b＝2a，则e＝＝＝，
故选：A．
12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，）
解：设g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）＝g（x），即g（x）是偶函数，
故关于x的方程g（x）＝0有4个不同的实数根等价于g（x）在（0，+∞）上有2个零点，
当x＞0时，g（x）＝2lnx+x2﹣2x﹣+1，则g（x）＝0等价于a＝2xlnx+x3﹣2x2+x，
令h（x）＝2xlnx+x3﹣2x2+x，则h′（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，令m（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，则m′（x）＝﹣4+2x≥2﹣4＝0，
∴m（x）在区间（0，+∞）上单调递增，又m（1）＝0，
∴h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
即h（x）在x＝1处取得极小值h（1）＝﹣，当x→0时，h（x）→0，当x→+∞时，h（x）→+∞，
∴h（x）的大致图象如下，
∴当﹣＜a＜0时，关于x的方程h（x）＝a在区间（0，+∞）上有两个不同的实数根，
即关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根．
故选：B．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．已知向量＝（2，m），＝（1，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝ ﹣1 ．
解：根据题意，＝（2，m），＝（1，﹣3），则2﹣＝（3，2m+3），
若（2﹣）⊥，则（2﹣）•＝3﹣3（2m+3）＝0，
解可得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是 8 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，2），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+2×1＝8．
故选答案为：8．
15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为 210 元．
解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为＝210元．
故答案为：210．
16．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为 π ．
解：由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的各顶点在球O的表面积上，
即球O的半径为R，则（2R）2＝22+22+42＝24，解得R＝，
由三棱锥的直观图可得最短棱BC，设BC的中点为E，则OE＝A1B＝＝，
当截面面积最小时，OE⊥截面，设截面圆的半径为r，
则r2+OE2＝R2，解得r＝1，此时截面面积为π．
故答案为：π．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：
顾客所打分数
[25，40）
[40，55）
[55，70）
[70，85）
[85，100]
男性顾客人数
4
6
10
30
50
女性顾客人数
6
10
24
40
20
（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？
满意
不满意
男性顾客
女性顾客
附；K2＝．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解：（1）由题意知，计算＝×（10×16×+34×+70×+70×）＝75.55，
所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55．
（2）根据题意，填写列联表如下：
满意
不满意
合计
男性顾客
80
20
100
女性顾客
60
40
100
合计
140
60
200
根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524，
因为9.524＞6.635，
所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA＝2c﹣a．
（1）求角B；
（2）若a＝4，b＝2，求边BC上的中线AD的长．
解：（1）因为2bcosA＝2c﹣a，
所以2b×＝2c﹣a，
整理得，a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得，cosB＝＝，
因为0＜B＜π，
所以B＝；
（2）因为a2+c2﹣b2＝ac，
所以16+c2﹣28＝4c，
解得c＝6，
△ABD中，AB＝6，BD＝＝2，∠ABD＝60°，
则AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABD＝36+4﹣2×＝28，
故AD＝2．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°．点E，F分别在棱BC，PD上（不包含端点），且PF：DF＝BE：CE．
（1）证明：EF∥平面PAB．
（2）若PA＝AB，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
解：（1）证明：过点F作HF∥AD，HF∩PA＝H，连接BH，
∵HF∥AD，∴＝，
∵PF：DF＝BE：CE，∴，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，且BC＝AD，
∴HF∥BE，且HF＝BE，
∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，且BC＝AD，
∴HF∥BE，且HF＝BE，∴四边形BEFH是平行四边形，∴EF∥BH，
∵BH⊂平面PAB，EF⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．
（2）解：以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，的方向为y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
设AB＝2，则B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
∴＝（0，2，0），＝（，1，﹣2），＝（﹣，1，0），
设平面PBC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，0，），
设平面PCD的法向量＝（a，b，c），
则，取a＝2，得＝（2，2，），
设二面角B﹣PC﹣D为θ，由图可知θ为钝角，
∴cosθ＝﹣|cos＜＞|＝﹣＝﹣＝﹣，
∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．
20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大1．过点P作抛物线C的切线，设其斜率为k0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l：y＝kx+b与抛物线C相交于不同的两点A，B（异于点P）若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：k+k0＝0．
【解答】（1）解：设点P（x0，y0），由点P到F的距离比点P到x轴的距离大1，
所以PF＝y0+1，即，
所以p＝2，即抛物线C的方程为x2＝4y；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AP的斜率为kAP，直线BP的斜率为kBP，
则，，
因为直线AP与直线BP的斜率互为相反数，
所以kAP＝﹣kBP，即，
又点A（x1，y1），B（x2，y2）均值抛物线上，
所以，化简可得x1+x2＝﹣2x0，
因为，
所以，
故，
则，
因为x2＝4y，所以，
故，故，
所以k+k0＝0．
21．设函数f（x）＝，a∈R．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．
（2）证明：当a≥2时，f（x）++≥0．
【解答】（1）解：因为f（x）＝，所以f′（x）＝＝，
因为函数f（x）在R上是增函数，所以f′（x）≥0恒成立，
即﹣ax2+2ax+1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立，符合题意；
当a≠0时，要使﹣ax2+2ax+1≥0恒成立，只需，解得﹣1≤a＜0，
综上可得，实数a的取值范围是[﹣1，0]．
（2）证明：当a≥2时，令g（x）＝f（x）++，
g′（x）＝+＝﹣，
令g′（x）＝0，可得x1＝﹣，x2＝2，
因为a≥2，所以当x∈（﹣∞，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（﹣，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x→+∞时，g（x）＝+→＞0，
g（﹣）＝﹣+≥0，
所以g（x）≥0，
即f（x）++≥0，得证．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4；坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝3．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值．
解：（1）由（α为参数），得，即曲线C的普通方程为；
由ρcosθ﹣2ρsinθ＝3，结合x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
可得x﹣2y＝，
即直线l的直角坐标方程为x﹣2y﹣＝0；
（2）由题意可设P（2cosα，sinα），
则点P到直线l的距离d＝．
∵﹣1，∴．
∴，
即．
故点P到直线l的距离的最大值为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣3|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤7的解集；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，
因为f（x）≤7，则有或或，
解得﹣3≤x＜﹣2或﹣2≤x≤3或3＜x≤4，
故不等式f（x）≤7的解集为[﹣3，4]；
（2）由题意可得，f（x）＝|x+a|+|x﹣3|≥|x+a﹣x+3|＝|a+3|，
因为f（x）≥1，所以|a+3|≥1，解得a≥﹣2或a≤﹣4，
故a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）．
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