2021年吉林省吉林市高考四模数学试卷（文）
展开吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第四次调研测试
文科数学
一､选择题：本大题共12题，每小题，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.
1. 已知全集，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 已知是第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3. 已知，是虚数单位，若复数为纯虚数，则（ ）
A. 0 B. 1或-1 C. D. 1
【答案】D
4. 已知数列为等差数列，首项，公差，前n项和，则（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】C
5. 如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8. 甲､乙两位体育特长生在平时训练中，5次的成绩如下面茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲同学成绩的极差是17 B. 乙同学的平均成绩较高
C. 乙同学成绩的中位数是85 D. 甲同学成绩的方差较小
【答案】B
9. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A. 若共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
B. 若且，则
C. 若G为的外心，则
D. 若O为的垂心，则
【答案】D
11. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
12. 已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左､右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ）
①点P的横坐标为
②周长为
③的内切圆半径为1
④的内切圆圆心横坐标为4
A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②
【答案】B
二､填空题：本大题共4个小题，每小题，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得.
13. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶､李冶､杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.现从秦九韶的《数书九章》､李冶的《测圆海镜》《益古演段》､杨辉的《详解九章算法》､朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作中任选2本研读，则必选《数书九章》的概率是___________.
【答案】
14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则___________.
【答案】
15. 已知函数，则___________
【答案】1010
16. 如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________.
【答案】 (1). 20 (2).
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 已知数列的前n项和为，且满足.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1），，，；（2）.
18. 如图，在三棱锥中，，D为线段的中点，E为线段上一点.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）当平面时，求直线与平面所成的角.
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）.
19. 已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设位于第一象限，以为直径的圆与轴相交于点，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
20. 全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨.数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入(百万元)与收益(百万元)的数据统计如下：
科技投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
收益 | 19 | 20 | 22 | 31 | 40 | 50 | 70 |
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：
5 | 140 | 1239 | 149 | 2134 | 130 |
其中，.
（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程(系数精确到)；
（2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的决定系数(即相关指数)，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到)
附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，决定系数：.参考数据：.
【答案】（1）；（2）①甲建立的回归模型拟合效果更好；②科技投入的费用至少要百万元.
21. 已知函数.
（1）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数a的值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
22. 在平面直角坐标系中，点P是曲线(t为参数)上动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点P在y轴右侧，点Q在曲线上，求的最小值.
【答案】（1）：，：；（2）最小值为.
23. 设函数
（1）若，求证：；
（2）对于，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
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