高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.5 旋转体导学案及答案

11.1.5 旋转体

【学习重点】

圆柱、圆锥、圆台、球的定义、结构特征、侧面积和表面积

【学习难点】

旋转体有关的几何问题

问题1：圆柱、圆锥、圆台

知识点1：圆柱

以           所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的         所围成的几何体称为圆柱．如图(1)．

知识点2：圆锥

以                所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的           所围成的几何体称为圆锥．如图(2)．

知识点3：圆台

以                   所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的           所围成的几何体称为圆台．如图(3)．

知识点4：旋转体 

(1)定义：用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是           ．

(2)有关概念：旋转轴称为           ，在轴上的边(或它的长度)称为           ，垂直于轴的边旋转而成的圆面称为           ，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为           .无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为           ．

知识点5：轴截面

在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为           ．如圆柱的轴截面是           ，圆锥的轴截面是           ，圆台的轴截面是           .

答：

例1.写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系。

【对点练习】

1．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)

A．5　　 B．10　　

C．20　　 D．不确定

2．圆锥的高与底面半径相等，母线等于5，则底面半径等于________.

问题2：圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积

知识点1：旋转体的侧面积

                        称为旋转体的侧面积．

知识点2：旋转体的表面积

                        称为旋转体的表面积(全面积)．

知识点3：圆柱的底面积、侧面积、表面积

底面积：                 

侧面积：                   

表面积：                 

知识点4：圆锥的底面积、侧面积、表面积

底面积：                   

侧面积：                   

表面积：                   

知识点5：圆台的底面积、侧面积、表面积

上底面面积：                   

下底面面积：                   

侧面积：                      

表面积：                      

【对点练习】

1．圆柱OO′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________.

2．如图，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为________.

问题3：球

知识点1：球的定义

             绕着以             旋转一周所形成的曲面称为球面；           围成的几何体，称为球．

知识点2：球的相关概念

形成球面的半圆的圆心称为           ，连接球面上一点和球心的线段称为           ，连接球面上两点且通过球心的线段称为           ．

如图所示的球中，点O是球心，OA，OB，OC都是球的半径，AB为球的直径，如果，则

知识点3：球的表示方法

用表示它的球心的字母来表示，如球O.

球面可以看成                                  

知识点4：球的截面

(1)球面被经过球心的平面截得的圆称为           ．此时，大圆的半径等于球的半径.

(2)球面被不经过球心的平面截得的圆称为           ．

如图，设OO′＝d，球的半径为R，则小圆的半径＝                

【对点练习】

1．球的任意两条直径不一定具有的性质是(　　)

A．相交 B．平分

C．垂直 D．都经过球心

2．下列命题正确的个数是(　　)

①球的半径是球面上任一点与球心的连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间的连线段；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；

④用一个平面截一个球，得到的截面是圆面．

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

例2. 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

【变式练习】

已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的倍，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，求球的表面积．

（3）当把地球看成一个球时，经线就是球面从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆。经度（取值区间为）与纬度（取值区间为），如图所示.

例3.把地球看成一个半径为6370Km的球，已知我国首都北京靠近北纬，求北纬纬线的长度（ 结果精确到1Km）

知识点5：球的表面积

如果设球的半径为R，那么球的表面积为S＝4πR2

【对点练习】

1．直径为6的球的表面积是(　　)

A．36π B．18π

C．144π D．9π

2．一个球的表面积是16π，则它的半径是(　　)

A．6 B．8

C．4 D．2

例4.已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积.

【变式练习】

1.若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的表面积．

2. 　将条件改为“球与棱长为2的正方体的面都相切”，如何求解？