高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体本节综合与测试第1课时学案设计

11.1.7综合复习习题课（第1课时）

【学习重点】

空间几何体的结构特征、斜二测画法画直观图及直观图的还原和计算、面积和体积的计算

【学习难点】

直观图的还原和计算、组合体的结构特征和表面积、体积计算

一.知识总结

1.本章知识结构图

2.空间几何体的分类

（1）按围成几何体的面是否是平面分为：  （2）按底面的情况可分为：

4.空间几何体的表现形式：斜二测画法

5.棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积

6球的表面积、体积公式

半径为R的球，其表面积为S表=4πR2，体积V=.

二.典型例题

题型1：空间几何体的结构特征

例1．下列说法正确的是（    ）

A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

例2．下列叙述中正确的是（　　）

A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体

B．棱柱中两个相互平行的平面一定是棱柱的底面

C．过圆锥侧面上的一点有无数条母线

D．球面上四个不同的点有可能在同一平面内

例3．已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

变式1．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能是(　　)

A．①③④ B．②④

C．①②③ D．②③④

变式2．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是（    ）

A．2 B．4 C． D．

例4．已知圆柱的轴截面是一个矩形，为底面直径，且为的中点，一只蚂蚁沿着圆柱的侧面从点爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路径为（    ）

A． B． C． D．

变式1．已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为（            ）

A．8cm B．cm C．10cm D．cm

题型2：空间几何体的直观图

例1. 给出下列说法：

① 正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；

② 水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；

③ 不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；　

④ 水平放置的平面图形的直观图是平面图形．

其中，正确的说法是________．(填序号)

例2．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）

①；②；③；④.

例3．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为__________.

变式1．如图三角形为某平面图形用斜二测画法画出直观图，则其原来平面图形的面积是__________．

变式2．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________

题型3：空间几何体的表面积和体积

例1. 1．如图，球内切于圆柱，记圆柱的侧面积为，球的表面积为，则（    ）

A． B．

C． D．

变式1：如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____

例2.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A． B． C． D．

变式1：已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

例3. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

变式：已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.

例5. 若正六棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为______.

变式1：如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．

题型4：空间几何体的应用 

例1. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

变式1：如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.

（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；

（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）.

例2. 如图在中，，动点，，分别在边，，上，四边形为矩形，剪去矩形后，将剩余部分绕所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，（  ）

A．2 B．3 C．4 D．

变式：《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方造一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且测量垂直底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，，若当阳马的体积最大时，则堑堵的体积为__________