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2020-2021学年重庆市南岸区广益中学九年级（下）开学数学试卷
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这是一份2020-2021学年重庆市南岸区广益中学九年级（下）开学数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆市南岸区广益中学九年级（下）开学数学试卷
一、单选题（本题共计12小题，总分48分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
2．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
5．（4分）设m＞n，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣5+m＞﹣5+n B．|m|＞|n| C．am＞an D．﹣＞﹣
6．（4分）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣by和by﹣ax B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
7．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x≠2且x≠﹣3 D．x≠2或x≠﹣3
8．（4分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ）
A．﹣＝15 B．﹣＝15
C．﹣＝20 D．﹣＝20
9．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出k的值为1的是（ ）
A．x＝1，y＝2 B．x＝2，y＝1 C．x＝2，y＝0 D．x＝1，y＝3
10．（4分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，则△AEC的面积为（ ）
A．3 B．1.5 C．2 D．
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．28 B．﹣14 C．7 D．﹣56
12．（4分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共计6小题，总分24分）
13．（4分）分解因式：m2﹣3m＝ ．
14．（4分）点P是平面直角坐标系中的一点，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度（﹣2，1），则点P的坐标是 ．
15．（4分）若m+＝3，则m2+＝ ．
16．（4分）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，E分别是AB，BC的中点，CD，如果DE＝2.5 ．
17．（4分）A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y（km）（h）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．其中点C的坐标是（0，240），点D的坐标是（2.4，0） ．
18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
三、解答题（本题共计8小题，总分78分）
19．计算：
（1）x2﹣6x﹣7＝0；
（2）（+a+3）÷．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：AE＝DE．
22．阅读材料：
材料一：对实数a，b，定义T（a，b）的含义为：当a＜b时，T（a，b）；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．
例如：T（1，3）＝1+3＝4；T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）
材料二：十岁的高斯用了下面的方法迅速计算：
（1+100）+（2+99）+…+（50+51）﹣101×50＝5050．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知x+y＝10，且x＞y，求T（5，x）（5，y）的值；
（2）对于正数m，有T（m2+1，﹣1）＝3，求T（1，m+99）（2，m+99）+T（3，m+99）+…+T（199
23．某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件
24．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2），供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
25．如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，F在CD上，BF交CG于点E，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：CE+BE＝AB．
26．如图，已知直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C
（1）b的值为 ；
（2）若点D的坐标为（0，﹣1），将△BCD沿直线BC对折后，点D落到第一象限的点E处；
（3）在直线BC上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标，请说明理由．
2020-2021学年重庆市南岸区广益中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共计12小题，总分48分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可得答案．
【解答】解：∵﹣3＜0＜2＜2，
∴这四个数中最小的数是﹣3．
故选：A．
2．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、既是中心对称图形也是轴对称图形．
故选：D．
3．（4分）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则
（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
故这个多边形为六边形．
故选：C．
4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+…+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【解答】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝6+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝3+2+3，
…
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为6+2+3+2+5＝15，
故选：B．
5．（4分）设m＞n，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣5+m＞﹣5+n B．|m|＞|n| C．am＞an D．﹣＞﹣
【分析】利用不等式的性质对A、D进行判断；利用特例对B、C进行判断．
【解答】解：∵m＞n，
∴﹣5+m＞﹣5+n，﹣m＜﹣n，
当m＝1，n＝﹣1时，
当a＝6时，am＝an．
故选：A．
6．（4分）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣by和by﹣ax B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．
【解答】解：A、by﹣ax＝﹣（ax﹣by），故此选项不合题意；
B、3x﹣9xy＝2x（1﹣3y）和8y2﹣2y＝﹣5y（1﹣3y），故两多项式的公因式为：4﹣3y；
C、x2﹣y7＝（x﹣y）（x+y）和x﹣y，故两多项式的公因式为：x﹣y；
D、a+b和a2﹣2ab+b6＝（a﹣b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故选：D．
7．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x≠2且x≠﹣3 D．x≠2或x≠﹣3
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+3≠0，
∴x≠﹣2
故选：B．
8．（4分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ）
A．﹣＝15 B．﹣＝15
C．﹣＝20 D．﹣＝20
【分析】设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程．
【解答】解：设原计划每天铺设钢轨x米，可得：，
故选：A．
9．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出k的值为1的是（ ）
A．x＝1，y＝2 B．x＝2，y＝1 C．x＝2，y＝0 D．x＝1，y＝3
【分析】把各项中x与y的值代入运算程序中计算即可．
【解答】解：A、把x＝1，不符合题意；
B、把x＝2，即k＝5；
C、把x＝2，即k＝；
D、把x＝1，不符合题意，
故选：B．
10．（4分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，则△AEC的面积为（ ）
A．3 B．1.5 C．2 D．
【分析】根据旋转后AC′的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【解答】解：∵旋转后AC′的中点恰好与D点重合，即AD＝AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴∠DAD′＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACD＝30°，
∴AE＝CE，
在Rt△ADE中，设AE＝EC＝x，AD＝，
根据勾股定理得：x2＝（7﹣x）2+（）6，
解得：x＝2，
∴EC＝2，
则S△AEC＝EC•AD＝，
故选：D．
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．28 B．﹣14 C．7 D．﹣56
【分析】解关于x的不等式组，然后根据不等式组的解集，确定a的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况，结合a为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤a，
解不等式②，得：x≤7，
∵该不等式组的解集为x≤a，
∴a≤8，
分式方程去分母，得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣5，，
解得：y＝，
∵分式方程有正整数解，且y≠2，
∴满足条件的整数a可以取7，1，
其积为8×1＝7，，
故选：C．
12．（4分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【解答】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，
∴S△ABD＝S△ADE＝7，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝8，
∴•（3+DF）•2＝4，
∴DF＝6，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，则有•BF•DF，
∴h＝，
故选：B．
二、填空题（本题共计6小题，总分24分）
13．（4分）分解因式：m2﹣3m＝ m（m﹣3） ．
【分析】首先确定公因式m，直接提取公因式m分解因式．
【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣6）．
故答案为：m（m﹣3）．
14．（4分）点P是平面直角坐标系中的一点，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度（﹣2，1），则点P的坐标是 （1，5） ．
【分析】首先设点P的坐标是（x，y），根据平移方法可得P的对应点坐标为（x﹣3，y﹣4），进而可得x﹣3＝﹣2，y﹣4＝1，然后可得x、y的值，从而可得答案．
【解答】解：设点P的坐标是（x，y），
∵将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，y﹣2），
∵得到点P′的坐标是（﹣2，1），
∴x﹣2＝﹣2，y﹣4＝4，
∴x＝1，y＝5，
∴P的坐标是（2，5），
故答案为：（1，7）．
15．（4分）若m+＝3，则m2+＝ 7 ．
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．
【解答】解：把m+＝3两边平方得：（m+）2＝m2++2＝2，
则m2+＝7，
故答案为：7
16．（4分）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，E分别是AB，BC的中点，CD，如果DE＝2.5 18 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC4+BC2＝53+122＝169，
AB2＝135＝169，
∴AC2+BC2＝AB7，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，
故答案为：18．
17．（4分）A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y（km）（h）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．其中点C的坐标是（0，240），点D的坐标是（2.4，0） （4，160） ．
【分析】根据点C与点D的坐标即可得出乙货车的速度，进而得出乙货车从B地到A地所用时间，据此即可得出点E的坐标．
【解答】解：根据题意可得，乙货车的速度为：240÷2.4﹣40＝60（km/h），
∴乙货车从B地到A地所用时间为：240÷60＝7（小时），
当乙货车到达A地时，甲货车行驶的路程为：40×4＝160（千米），
∴点E的坐标是（4，160）．
故答案为：（7，160）．
18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1：8 ．
【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，由题意列出方程组，可求a，b的值，即可求解．
【解答】解：设6月份堂食、外卖，5a，设7月份总的增加营业额为5x，7月份总营业额20b，堂食6月份的营业额为8b，
由题意可得：，
解得：，
∴7月份外卖还需增加的营业额与4月份总营业额之比＝（5b﹣5a）：20b＝6：8，
故答案为：1：7．
三、解答题（本题共计8小题，总分78分）
19．计算：
（1）x2﹣6x﹣7＝0；
（2）（+a+3）÷．
【分析】（1）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，然后解方程；
（2）先去括号，化除法为乘法，然后通过约分进行化简．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0．
整理，得（x﹣7）（x+2）＝0．
所以x﹣7＝2或x+1＝0．
解得x3＝7，x2＝﹣2；
（2）（+a+4）÷
＝÷
＝×
＝．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可画出△A1B1C1；
（2）依据旋转方向、旋转角度和旋转中心，即可画出△A2B2C2，利用弧长计算公式求出点C旋转到C所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C5即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C3即为所求；
点C旋转到C2所经过的路径长为＝．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：AE＝DE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形中位线定理得到E是AC的中点，根据直角三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝34°，
∴∠BAD＝90°﹣34°＝56°；
（2）证明：∵D是BC的中点，DE∥AB，
∴E是AC的中点，
在Rt△ADC中，E是AC的中点，
∴DE＝AC＝AE．
22．阅读材料：
材料一：对实数a，b，定义T（a，b）的含义为：当a＜b时，T（a，b）；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．
例如：T（1，3）＝1+3＝4；T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）
材料二：十岁的高斯用了下面的方法迅速计算：
（1+100）+（2+99）+…+（50+51）﹣101×50＝5050．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知x+y＝10，且x＞y，求T（5，x）（5，y）的值；
（2）对于正数m，有T（m2+1，﹣1）＝3，求T（1，m+99）（2，m+99）+T（3，m+99）+…+T（199
【分析】（1）根据x+y＝10，且x＞y，可得x＞5，y＜5，再根据当a＜b时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b，即可求解；
（2）由于m2+1≥1，由T（m2+1，﹣1）＝3，可得m2+1﹣（﹣1）＝3，根据m是正数可求m，再代入T（1，m+99）+T（2，m+99）+T（3，m+99）+…+T（199，m+99）得到原式＝1+100+2+100+3+100+…+199﹣100，再根据高斯求和公式即可求解．
【解答】解：（1）∵x+y＝10，且x＞y，
∴x＞5，y＜5，
∴T（6，x）﹣T（5
＝5+x﹣（5﹣y）
＝x+y
＝10；
（2）∵m是正数、m2+1＞4，T（m2+1，﹣4）＝3，
∴m2+7﹣（﹣1）＝3，
解得m＝±5（负值舍去），
∴T（1，m+99）+T（2，m+99）+…+T（199
＝4+100+2+100+3+100+…+199﹣100
＝（6+2+3+…+199）+100×99﹣100×100
＝（2+199）×199÷2﹣100
＝100×199﹣100
＝100×198
＝19800．
23．某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件
【分析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，根据数量＝总价÷单价结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，
根据题意得：＝×，
解得：x＝6，
经检验，x＝5是原方程的解，
∴x﹣1＝5．
答：甲种玩具的进货单价2元，则乙种玩具的进价为5元．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，
根据题意得：5y+5（2y+60）≤2100，
解得：y≤112，
∵y为整数，
∴y最大值＝112
答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．
24．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2），供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
【分析】（1）根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；
（2）分三种情况进行讨论，当yA＝yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案；
（3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得yA＝（10×30+3×10x）×0.4＝27x+270（x≥2）；
yB＝10×30+3（10x﹣20）＝30x+240（x≥5）；
（2）当yA＝yB时，27x+270＝30x+240；
当yA＞yB时，27x+270＞30x+240；
当yA＜yB时，27x+270＜30x+240
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，两家超市一样划算．
（3）设在B超市买a副拍，送2a只羽毛球，买（150﹣5a）个羽毛球，
则总费用w＝﹣2.4a+675，k＝﹣3.4＜0，W最小．
∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．
25．如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，F在CD上，BF交CG于点E，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：CE+BE＝AB．
【分析】（1）根据勾股定理得到CG＝＝3，推出BG＝EG＝1，得到CE＝2，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，于是得到结论；
（2）延长AE交BC于H，根据平行四边形的性质得到BC∥AD，根据平行线的性质得到∠AHB＝∠HAD，推出∠GAE＝∠GCB，根据全等三角形的性质得到AG＝CG，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵CG⊥AB，
∴∠AGC＝∠CGB＝90°，
∵BG＝1，BC＝，
∴在Rt△BGC中，BC＝，
∵∠ABF＝45°，
∴BG＝EG＝1，
∴CE＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GCD＝∠BGC＝90°，∠EFC＝∠GBE＝45°，
∴CF＝CE＝7，
∴EF＝CE＝2；
（2）如图，延长AE交BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠AHB＝∠HAD，
∵AE⊥AD，
∴∠AHB＝∠HAD＝90°，
∴∠BAH+∠ABH＝∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠GAE＝∠GCB，
在△BCG与△EAG中，，
∴△BCG≌△EAG（AAS），
∴AG＝CG，
∴AB＝BG+AG＝CE+EG+BG，
∵BG＝EG＝BE，
∴CE+BE＝AB．
26．如图，已知直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C
（1）b的值为 3 ；
（2）若点D的坐标为（0，﹣1），将△BCD沿直线BC对折后，点D落到第一象限的点E处；
（3）在直线BC上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标，请说明理由．
【分析】（1）先由点C在直线y＝3x+3上，求出点C坐标，代入直线y＝﹣x+b中即可．
（2）先求出∠OBC＝∠OCB＝45°，进而判断出CE∥AB，最后判断出CE＝AB 即可；
（3）方法①先确定出直线AD，BC解析式，进而判断出AD∥BC，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形，只要AD＝PB即可．
方法②，分两种情况，先用平移的性质得出得出直线的解析式，求出满足平行四边形的交点坐标，最后判断此点在直线BC上，即可得出点P坐标．
【解答】（1）∵直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴C（6，3），
∵过点C的直线y＝﹣x+b与x轴交于点B，
∴b＝3，
故答案为7，
（2）证明：当b＝3时，直线BC为y＝﹣x+3
由x＝7得，y＝3，
∴C（0，4）
由y＝0得，x＝3，
∴B（7，0）
∴OB＝OC＝3
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
由折叠得：∠BCE＝∠OCB＝45°
CE＝CD＝OC+OD＝5
∴∠OBC＝∠BCE
∴CE∥AB
由y＝3x+3，令y＝5得，
∴A（﹣1，0）
∴AB＝OA+OB＝2+1＝4
∴AB＝CE
∴四边形ABEC为平行四边形．
（3）解：存在点P，使以P、A、D．
方法①如图，
∵A（﹣4，0），﹣1），
∴直线AD解析式为y＝﹣x﹣2，
∵B（3，0），2），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3．
∴AD∥BC，
∵点P在直线BC上，
∴设点P坐标为（m，﹣m+3），
∴PB5＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
∵使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形，
∴PB＝AD，
∴PB2＝AD3，
∵AD2＝2，
∴（m﹣5）2+（﹣m+3）5＝2．
∴m1＝8，m2＝4，
∴P（3，1）或P（4，
综上所述，存在点P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形3（2，1）或P8（4，﹣1）．
方法②∵A（﹣4，0），﹣1），
∴直线AD解析式为y＝﹣x﹣5，
∵B（3，0），
∴过点B的直线l∥AD，直线l解析式为y＝﹣x+2，
∴D（0，﹣1），
∴过点D的直线l'∥AB，直线l'的解析式为y＝﹣5，
∴直线l和l'的交点坐标为M（4，﹣1），
∵直线BC解析式为y＝﹣x+7．
∴点M在直线BC上，即点M就是所找的点P，
∴P（4，﹣1），
∵D（7，﹣1），0），
∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，
∴过点A的直线a∥BD，直线a的解析式为y＝，
∵直线l解析式为y＝﹣x+3，
∴直线l和直线a的交点坐标为N（2，5），
∵直线BC解析式为y＝﹣x+3．
∴点N在直线BC上，即点N就是所找的点P，
∴P（2，7），
综上所述，存在点P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形1（2，6）或P2（4，﹣6）．
2020-2021学年重庆市南岸区广益中学九年级（下）开学数学试卷
一、单选题（本题共计12小题，总分48分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
2．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
5．（4分）设m＞n，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣5+m＞﹣5+n B．|m|＞|n| C．am＞an D．﹣＞﹣
6．（4分）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣by和by﹣ax B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
7．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x≠2且x≠﹣3 D．x≠2或x≠﹣3
8．（4分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ）
A．﹣＝15 B．﹣＝15
C．﹣＝20 D．﹣＝20
9．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出k的值为1的是（ ）
A．x＝1，y＝2 B．x＝2，y＝1 C．x＝2，y＝0 D．x＝1，y＝3
10．（4分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，则△AEC的面积为（ ）
A．3 B．1.5 C．2 D．
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．28 B．﹣14 C．7 D．﹣56
12．（4分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共计6小题，总分24分）
13．（4分）分解因式：m2﹣3m＝ ．
14．（4分）点P是平面直角坐标系中的一点，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度（﹣2，1），则点P的坐标是 ．
15．（4分）若m+＝3，则m2+＝ ．
16．（4分）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，E分别是AB，BC的中点，CD，如果DE＝2.5 ．
17．（4分）A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y（km）（h）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．其中点C的坐标是（0，240），点D的坐标是（2.4，0） ．
18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
三、解答题（本题共计8小题，总分78分）
19．计算：
（1）x2﹣6x﹣7＝0；
（2）（+a+3）÷．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：AE＝DE．
22．阅读材料：
材料一：对实数a，b，定义T（a，b）的含义为：当a＜b时，T（a，b）；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．
例如：T（1，3）＝1+3＝4；T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）
材料二：十岁的高斯用了下面的方法迅速计算：
（1+100）+（2+99）+…+（50+51）﹣101×50＝5050．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知x+y＝10，且x＞y，求T（5，x）（5，y）的值；
（2）对于正数m，有T（m2+1，﹣1）＝3，求T（1，m+99）（2，m+99）+T（3，m+99）+…+T（199
23．某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件
24．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2），供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
25．如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，F在CD上，BF交CG于点E，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：CE+BE＝AB．
26．如图，已知直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C
（1）b的值为 ；
（2）若点D的坐标为（0，﹣1），将△BCD沿直线BC对折后，点D落到第一象限的点E处；
（3）在直线BC上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标，请说明理由．
2020-2021学年重庆市南岸区广益中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共计12小题，总分48分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可得答案．
【解答】解：∵﹣3＜0＜2＜2，
∴这四个数中最小的数是﹣3．
故选：A．
2．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、既是中心对称图形也是轴对称图形．
故选：D．
3．（4分）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则
（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
故这个多边形为六边形．
故选：C．
4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+…+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【解答】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝6+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝3+2+3，
…
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为6+2+3+2+5＝15，
故选：B．
5．（4分）设m＞n，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣5+m＞﹣5+n B．|m|＞|n| C．am＞an D．﹣＞﹣
【分析】利用不等式的性质对A、D进行判断；利用特例对B、C进行判断．
【解答】解：∵m＞n，
∴﹣5+m＞﹣5+n，﹣m＜﹣n，
当m＝1，n＝﹣1时，
当a＝6时，am＝an．
故选：A．
6．（4分）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣by和by﹣ax B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．
【解答】解：A、by﹣ax＝﹣（ax﹣by），故此选项不合题意；
B、3x﹣9xy＝2x（1﹣3y）和8y2﹣2y＝﹣5y（1﹣3y），故两多项式的公因式为：4﹣3y；
C、x2﹣y7＝（x﹣y）（x+y）和x﹣y，故两多项式的公因式为：x﹣y；
D、a+b和a2﹣2ab+b6＝（a﹣b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故选：D．
7．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x≠2且x≠﹣3 D．x≠2或x≠﹣3
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+3≠0，
∴x≠﹣2
故选：B．
8．（4分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ）
A．﹣＝15 B．﹣＝15
C．﹣＝20 D．﹣＝20
【分析】设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程．
【解答】解：设原计划每天铺设钢轨x米，可得：，
故选：A．
9．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出k的值为1的是（ ）
A．x＝1，y＝2 B．x＝2，y＝1 C．x＝2，y＝0 D．x＝1，y＝3
【分析】把各项中x与y的值代入运算程序中计算即可．
【解答】解：A、把x＝1，不符合题意；
B、把x＝2，即k＝5；
C、把x＝2，即k＝；
D、把x＝1，不符合题意，
故选：B．
10．（4分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，则△AEC的面积为（ ）
A．3 B．1.5 C．2 D．
【分析】根据旋转后AC′的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【解答】解：∵旋转后AC′的中点恰好与D点重合，即AD＝AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴∠DAD′＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACD＝30°，
∴AE＝CE，
在Rt△ADE中，设AE＝EC＝x，AD＝，
根据勾股定理得：x2＝（7﹣x）2+（）6，
解得：x＝2，
∴EC＝2，
则S△AEC＝EC•AD＝，
故选：D．
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．28 B．﹣14 C．7 D．﹣56
【分析】解关于x的不等式组，然后根据不等式组的解集，确定a的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况，结合a为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤a，
解不等式②，得：x≤7，
∵该不等式组的解集为x≤a，
∴a≤8，
分式方程去分母，得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣5，，
解得：y＝，
∵分式方程有正整数解，且y≠2，
∴满足条件的整数a可以取7，1，
其积为8×1＝7，，
故选：C．
12．（4分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【解答】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，
∴S△ABD＝S△ADE＝7，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝8，
∴•（3+DF）•2＝4，
∴DF＝6，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，则有•BF•DF，
∴h＝，
故选：B．
二、填空题（本题共计6小题，总分24分）
13．（4分）分解因式：m2﹣3m＝ m（m﹣3） ．
【分析】首先确定公因式m，直接提取公因式m分解因式．
【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣6）．
故答案为：m（m﹣3）．
14．（4分）点P是平面直角坐标系中的一点，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度（﹣2，1），则点P的坐标是 （1，5） ．
【分析】首先设点P的坐标是（x，y），根据平移方法可得P的对应点坐标为（x﹣3，y﹣4），进而可得x﹣3＝﹣2，y﹣4＝1，然后可得x、y的值，从而可得答案．
【解答】解：设点P的坐标是（x，y），
∵将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，y﹣2），
∵得到点P′的坐标是（﹣2，1），
∴x﹣2＝﹣2，y﹣4＝4，
∴x＝1，y＝5，
∴P的坐标是（2，5），
故答案为：（1，7）．
15．（4分）若m+＝3，则m2+＝ 7 ．
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．
【解答】解：把m+＝3两边平方得：（m+）2＝m2++2＝2，
则m2+＝7，
故答案为：7
16．（4分）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，E分别是AB，BC的中点，CD，如果DE＝2.5 18 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC4+BC2＝53+122＝169，
AB2＝135＝169，
∴AC2+BC2＝AB7，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，
故答案为：18．
17．（4分）A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y（km）（h）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．其中点C的坐标是（0，240），点D的坐标是（2.4，0） （4，160） ．
【分析】根据点C与点D的坐标即可得出乙货车的速度，进而得出乙货车从B地到A地所用时间，据此即可得出点E的坐标．
【解答】解：根据题意可得，乙货车的速度为：240÷2.4﹣40＝60（km/h），
∴乙货车从B地到A地所用时间为：240÷60＝7（小时），
当乙货车到达A地时，甲货车行驶的路程为：40×4＝160（千米），
∴点E的坐标是（4，160）．
故答案为：（7，160）．
18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1：8 ．
【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，由题意列出方程组，可求a，b的值，即可求解．
【解答】解：设6月份堂食、外卖，5a，设7月份总的增加营业额为5x，7月份总营业额20b，堂食6月份的营业额为8b，
由题意可得：，
解得：，
∴7月份外卖还需增加的营业额与4月份总营业额之比＝（5b﹣5a）：20b＝6：8，
故答案为：1：7．
三、解答题（本题共计8小题，总分78分）
19．计算：
（1）x2﹣6x﹣7＝0；
（2）（+a+3）÷．
【分析】（1）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，然后解方程；
（2）先去括号，化除法为乘法，然后通过约分进行化简．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0．
整理，得（x﹣7）（x+2）＝0．
所以x﹣7＝2或x+1＝0．
解得x3＝7，x2＝﹣2；
（2）（+a+4）÷
＝÷
＝×
＝．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可画出△A1B1C1；
（2）依据旋转方向、旋转角度和旋转中心，即可画出△A2B2C2，利用弧长计算公式求出点C旋转到C所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C5即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C3即为所求；
点C旋转到C2所经过的路径长为＝．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：AE＝DE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形中位线定理得到E是AC的中点，根据直角三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝34°，
∴∠BAD＝90°﹣34°＝56°；
（2）证明：∵D是BC的中点，DE∥AB，
∴E是AC的中点，
在Rt△ADC中，E是AC的中点，
∴DE＝AC＝AE．
22．阅读材料：
材料一：对实数a，b，定义T（a，b）的含义为：当a＜b时，T（a，b）；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．
例如：T（1，3）＝1+3＝4；T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）
材料二：十岁的高斯用了下面的方法迅速计算：
（1+100）+（2+99）+…+（50+51）﹣101×50＝5050．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知x+y＝10，且x＞y，求T（5，x）（5，y）的值；
（2）对于正数m，有T（m2+1，﹣1）＝3，求T（1，m+99）（2，m+99）+T（3，m+99）+…+T（199
【分析】（1）根据x+y＝10，且x＞y，可得x＞5，y＜5，再根据当a＜b时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b，即可求解；
（2）由于m2+1≥1，由T（m2+1，﹣1）＝3，可得m2+1﹣（﹣1）＝3，根据m是正数可求m，再代入T（1，m+99）+T（2，m+99）+T（3，m+99）+…+T（199，m+99）得到原式＝1+100+2+100+3+100+…+199﹣100，再根据高斯求和公式即可求解．
【解答】解：（1）∵x+y＝10，且x＞y，
∴x＞5，y＜5，
∴T（6，x）﹣T（5
＝5+x﹣（5﹣y）
＝x+y
＝10；
（2）∵m是正数、m2+1＞4，T（m2+1，﹣4）＝3，
∴m2+7﹣（﹣1）＝3，
解得m＝±5（负值舍去），
∴T（1，m+99）+T（2，m+99）+…+T（199
＝4+100+2+100+3+100+…+199﹣100
＝（6+2+3+…+199）+100×99﹣100×100
＝（2+199）×199÷2﹣100
＝100×199﹣100
＝100×198
＝19800．
23．某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件
【分析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，根据数量＝总价÷单价结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，
根据题意得：＝×，
解得：x＝6，
经检验，x＝5是原方程的解，
∴x﹣1＝5．
答：甲种玩具的进货单价2元，则乙种玩具的进价为5元．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，
根据题意得：5y+5（2y+60）≤2100，
解得：y≤112，
∵y为整数，
∴y最大值＝112
答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．
24．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2），供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
【分析】（1）根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；
（2）分三种情况进行讨论，当yA＝yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案；
（3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得yA＝（10×30+3×10x）×0.4＝27x+270（x≥2）；
yB＝10×30+3（10x﹣20）＝30x+240（x≥5）；
（2）当yA＝yB时，27x+270＝30x+240；
当yA＞yB时，27x+270＞30x+240；
当yA＜yB时，27x+270＜30x+240
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，两家超市一样划算．
（3）设在B超市买a副拍，送2a只羽毛球，买（150﹣5a）个羽毛球，
则总费用w＝﹣2.4a+675，k＝﹣3.4＜0，W最小．
∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．
25．如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，F在CD上，BF交CG于点E，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：CE+BE＝AB．
【分析】（1）根据勾股定理得到CG＝＝3，推出BG＝EG＝1，得到CE＝2，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，于是得到结论；
（2）延长AE交BC于H，根据平行四边形的性质得到BC∥AD，根据平行线的性质得到∠AHB＝∠HAD，推出∠GAE＝∠GCB，根据全等三角形的性质得到AG＝CG，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵CG⊥AB，
∴∠AGC＝∠CGB＝90°，
∵BG＝1，BC＝，
∴在Rt△BGC中，BC＝，
∵∠ABF＝45°，
∴BG＝EG＝1，
∴CE＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GCD＝∠BGC＝90°，∠EFC＝∠GBE＝45°，
∴CF＝CE＝7，
∴EF＝CE＝2；
（2）如图，延长AE交BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠AHB＝∠HAD，
∵AE⊥AD，
∴∠AHB＝∠HAD＝90°，
∴∠BAH+∠ABH＝∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠GAE＝∠GCB，
在△BCG与△EAG中，，
∴△BCG≌△EAG（AAS），
∴AG＝CG，
∴AB＝BG+AG＝CE+EG+BG，
∵BG＝EG＝BE，
∴CE+BE＝AB．
26．如图，已知直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C
（1）b的值为 3 ；
（2）若点D的坐标为（0，﹣1），将△BCD沿直线BC对折后，点D落到第一象限的点E处；
（3）在直线BC上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标，请说明理由．
【分析】（1）先由点C在直线y＝3x+3上，求出点C坐标，代入直线y＝﹣x+b中即可．
（2）先求出∠OBC＝∠OCB＝45°，进而判断出CE∥AB，最后判断出CE＝AB 即可；
（3）方法①先确定出直线AD，BC解析式，进而判断出AD∥BC，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形，只要AD＝PB即可．
方法②，分两种情况，先用平移的性质得出得出直线的解析式，求出满足平行四边形的交点坐标，最后判断此点在直线BC上，即可得出点P坐标．
【解答】（1）∵直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴C（6，3），
∵过点C的直线y＝﹣x+b与x轴交于点B，
∴b＝3，
故答案为7，
（2）证明：当b＝3时，直线BC为y＝﹣x+3
由x＝7得，y＝3，
∴C（0，4）
由y＝0得，x＝3，
∴B（7，0）
∴OB＝OC＝3
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
由折叠得：∠BCE＝∠OCB＝45°
CE＝CD＝OC+OD＝5
∴∠OBC＝∠BCE
∴CE∥AB
由y＝3x+3，令y＝5得，
∴A（﹣1，0）
∴AB＝OA+OB＝2+1＝4
∴AB＝CE
∴四边形ABEC为平行四边形．
（3）解：存在点P，使以P、A、D．
方法①如图，
∵A（﹣4，0），﹣1），
∴直线AD解析式为y＝﹣x﹣2，
∵B（3，0），2），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3．
∴AD∥BC，
∵点P在直线BC上，
∴设点P坐标为（m，﹣m+3），
∴PB5＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
∵使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形，
∴PB＝AD，
∴PB2＝AD3，
∵AD2＝2，
∴（m﹣5）2+（﹣m+3）5＝2．
∴m1＝8，m2＝4，
∴P（3，1）或P（4，
综上所述，存在点P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形3（2，1）或P8（4，﹣1）．
方法②∵A（﹣4，0），﹣1），
∴直线AD解析式为y＝﹣x﹣5，
∵B（3，0），
∴过点B的直线l∥AD，直线l解析式为y＝﹣x+2，
∴D（0，﹣1），
∴过点D的直线l'∥AB，直线l'的解析式为y＝﹣5，
∴直线l和l'的交点坐标为M（4，﹣1），
∵直线BC解析式为y＝﹣x+7．
∴点M在直线BC上，即点M就是所找的点P，
∴P（4，﹣1），
∵D（7，﹣1），0），
∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，
∴过点A的直线a∥BD，直线a的解析式为y＝，
∵直线l解析式为y＝﹣x+3，
∴直线l和直线a的交点坐标为N（2，5），
∵直线BC解析式为y＝﹣x+3．
∴点N在直线BC上，即点N就是所找的点P，
∴P（2，7），
综上所述，存在点P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形1（2，6）或P2（4，﹣6）．
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