备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）专题22 坐标系与参数方程（解析版）

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专题22 坐标系与参数方程

1．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）
【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点．
【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得．
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设，
，，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点．
【名师点睛】本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
【解析】（1）当k=1时，消去参数t得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
（2）当k=4时，消去参数t得的直角坐标方程为．
的直角坐标方程为．
由解得．
故与的公共点的直角坐标为．
2．【2020年高考全国II卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C1，C2的参数方程分别为
C1：（θ为参数），C2：（t为参数）．
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．
【解析】（1）的普通方程为．
由的参数方程得，，所以．
故的普通方程为．
（2）由得所以的直角坐标为．
设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，
解得．
因此，所求圆的极坐标方程为．
3．【2020年高考全国III卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
【解析】（1）因为t≠1，由得，所以C与y轴的交点为（0，12）；
由得t=2，所以C与x轴的交点为．故．
（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为，将代入，
得直线AB的极坐标方程．
4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【答案】（1）；的直角坐标方程为；（2）．
【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．
的直角坐标方程为．
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．
C上的点到的距离为．
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
【答案】（1），l的极坐标方程为；
（2）．
【解析】（1）因为在C上，当时，．
由已知得．
设为l上除P的任意一点．在中，，
经检验，点在曲线上．
所以，l的极坐标方程为．
（2）设，在中， 即．
因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．
所以，P点轨迹的极坐标方程为．
【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．
6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．

【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．
（2）或或或．
【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，．
所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．
（2）设，由题设及（1）知
若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得．
综上，P的极坐标为或或或．
【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．

1．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．
2．极坐标和直角坐标的互化
（1）进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．
（2）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．
3．参数方程与普通方程的互化
（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．
（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．
4．直线的参数方程
若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t为参数)．这是直线的参数方程，其中参数t有明显的几何意义．
5．圆的参数方程
若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为0≤θ≤2π．
6．椭圆的参数方程
若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆参数方程为0≤t≤2π．
7．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为：
第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；
第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．
另外，当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时，把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1+t2，t1·t2，得到|AB|=|t1-t2|=．

1．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，为上一点，以为边作等边三角形，且，，三点按逆时针方向排列．
（1）当点在上运动时，求点运动轨迹的直角坐标方程；
（2）若曲线，经过伸缩变换得到曲线，若的轨迹与曲线有交点，试求的取值范围．
【试题来源】江西省南昌市第三中学2021届高三下学期第八次月考试（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）用极坐标求得点轨迹方程，再化为直角坐标方程，设，则，点极坐标代入直线的极坐标方程，然后由转化；
（2）求出曲线的方程，然后由直线与圆有公共点可得参数范围．
【解析】（1）设，则，又在直线上，所以，
，由得
所以点轨迹方程为；
（2）由得，又，所以，即，
所以曲线的方程是，
由得．
所以的取值范围是．
2．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线､直线的直角坐标方程；
（2）若直线过点且与直线平行，直线交曲线于，两点，求的值．
【试题来源】陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模（理）
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，（2）．
【分析】（1）将，，代入极坐标方程即可得直角坐标方程；
（2）设出直线的参数方程的标准形式，代入曲线的直角坐标方程可得关于的一元二次方程，计算的值即可求解．
【解析】（1）因为，，，
所以由可得，
所以曲线的直角坐标方程为，
由可得，
即，所以直线的直角坐标方程为，
（2）直线的的斜率为，所以倾斜角为，
所以过点且与直线平行的直线的方程为（为参数），
代入可得，
整理可得，
所以，
所以的值为．
3．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知倾角为的直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（是参数）．
（1）求直线的普通方程；
（2）若直线与圆相交于、两点，且，求的值．
【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）利用两角差的正弦公式结合极坐标与直角坐标之间的转换关系可将直线的方程化为普通方程；
（2）由圆的参数方程可得出圆心的坐标与圆的半径，求出弦心距，利用勾股定理可求得的值，结合的取值范围可求得的值．
【解析】（1）由得，
故直线的普通方程为；
（2）由圆的参数方程知，圆心，半径，
弦心距，
由勾股定理得，即，可得，
因为，因此，或．
4．在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的圆心的极坐标为，半径．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）已知过点且倾斜角为的直线交圆于A，两点，且，求角．
【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文）
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先求得圆C的直角坐标方程，将代入方程，化简整理，即可得答案．
（2）先求得直线l的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，可得关于t的一元二次方程，进而可得，的表达式，根据t的几何意义，结合题意，化简计算，即可求得的值，结合角的范围，即可得答案．
【解析】解（1）：圆心的直角坐标坐标为，圆的半径，
则的直角坐标方程为．
将公式代入中
整理得圆的极坐标方程：．
（2）过点且倾斜角为的直线的参数方程为（是参数），
代入圆的直角坐标方程中整理得．
设交点A，与参数值，相对应，由根与系数关系得，，
则，平方得，
则，
所以（），或．
5．在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）直线上的M到极点O的距离是，求点M的极坐标；
（2）设直线与相交于两点，求四边形的面积
【试题来源】河南省郑州市中牟县第一高级中学2021届高三全真模拟训练四（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设点的极坐标为，则，代入直线的极坐标方程中，可求出，即可求出点的极坐标；
（2）先求出圆及直线的直角坐标方程，进而求出点和原点O到直线的距离，及弦长，即可求出四边形的面积．
【解析】（1）设点的极坐标为，则，代入直线的极坐标方程，可得，因为，所以，所以点M的极坐标为；
（2）把圆的方程化为普通方程得，圆心，半径为2，把直线的方程化为直角坐标方程得，如图，

设圆心到直线的距离为，则，
设原点到直线的距离为，则，
，所以，
所以四边形的面积：．
6．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线和分别与曲线相交于、两点（、两点异于坐标原点）．
（1）求曲线的极坐标方程与、两点的极坐标；
（2）求直线的极坐标方程及的面积．
【试题来源】四川省成都市石室中学2020-2021学年高三上学期一诊（文）
【答案】（1）曲线的极坐标方程为，，．（2）的极坐标方程为，．
【分析】（1）曲线和参数方程消去参数能求出曲线的普通方程，从而能求出曲线的极坐标方程；将直线和代入圆的极坐标方程能求出、两点的极坐标．
（2）由，，得，，，，根据两点式方程得直线的方程为，由此能求出的极坐标方程及的面积．
【解析】（1）曲线和参数方程为，
消去参数得曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为．
将直线和代入圆的极坐标方程得，，
、两点的极坐标分别为，．
（2）由，，得，，，，
根据两点式方程得直线的方程为，
的极坐标方程为．
直线恰好经过圆的圆心，故为直角三角形，且，，
．
7．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离．
【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（文）二轮复习讲义 分层训练
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程利用，能求出曲线C2的直角坐标方程；
（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离表示点到曲线的最小距离，结合三角函数的图象与性质即可得到最小值．
【解析】（1）消去参数得到，故曲线的普通方程为，
由，得到，即，
故曲线的直角坐标方程为．
（2）设点的坐标为，
则点到曲线的距离 ，
所以当时，的值最小，此时，，
所以点到曲线的最小距离为．
8．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线经过伸缩变换：，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若，为曲线上的两点，且满足，证明：为定值，并求出此定值．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为．
【分析】（1）直接利用伸缩变换求出普通方程，再化为极坐标方程；
（2）直接利用寂静的意义，转化为三角函数即可证明．
【解析】（1）由已知得（为参数），
从而的普通方程为，
所以极坐标方程为，
即．
（2）证明：设，，
，，
则，
所以为定值，此定值为．
9．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（，为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围．
【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，求得圆心到直线的距离，进而可得结果；
（2）问题转化为对，恒成立，即恒成立，所以，结合可得结果．
【解析】（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
当时，曲线的普通方程为，圆心到直线的距离，
故曲线上的点到直线的距离的最小值为；
（2）因为曲线上的所有点都在直线的下方，即对，恒成立．
即（其中）恒成立，
所以，又，解得，故实数的取值范围是．
10．已知在极坐标系中，点A的极坐标为，曲线．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，若直线l过A点，且倾斜角为
（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于B、C两点，且，求直线l的斜率．
【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三二模（理）
【答案】（1）直线参数方程是（为参数），的直角坐标方程：；（2）．
【分析】（1）利用公式化极坐标方程为直角坐标方程，化点极坐标为直角坐标，再由直线参数方程的标准形式写出参数方程；（2）把直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，由根与系数关系得，由参数的几何意义得线段长，代入已知式可求得，即直线斜率．
【解析】（1）点A的极坐标为，则直角坐标为，直线参数方程是（为参数），
由得，即，
所以，即为的直角坐标方程．
（2）把代入并整理得，
，，
所以，，同号，
所以，
，，
令，，为锐角，则，
所以，，是直线的倾斜角，所以，
，即斜率．
11．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，M为该曲线上的任意一点．

（1）当时，求M点的极坐标：当M的极角为时，求它的极径；
（2）若过极点的直线与该曲线相交于两点A，B，求证：弦长为定值，并求出这个定值．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文）
【答案】（1） ；（2）证明见解析，2．
【分析】（1）设M点的极坐标为将代入极坐标方程结合的范围即可求M点的极坐标，将代入极坐标方程即可求极径；
设直线的方程为和，点A，B对应的极径分别为，，计算即可求证并且得定值．
【解析】（1）设M点的极坐标为，当时，可得，
所以可得，因为
所以或，
所以点M的极坐标或，
当M的极角为时，．
（2）证明：设直线的方程为和，
点A，B对应的极径分别为，，
则，，
所以弦长（定值）．
12．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）在曲线上任取一点，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的倍得到曲线．设直线与曲线相交于，两点，点，求的值．
【试题来源】四川省资阳中学2022 届高三上学期第一次质量检测
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数，得到曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线的直角坐标方程．
（2）设曲线上任一点经坐标变换后对应的点为，得到，代入得到曲线的普通方程为，再把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得到的值，结合，即可求解．
【解析】（1）由曲线的参数方程(为参数)，
消去参数，得曲线的普通方程为；
又由直线的极坐标方程为，
利用，，代入可得直线的直角坐标方程为．
（2）设曲线上任一点经坐标变换后对应的点为．
据题意，得，即，
因为，代入可得，即曲线的普通方程为．
因为直线过定点，所以直线的参数方程为为参数，
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理可得，
设，为方程(*)的两个实数根，则，且，
所以．
13．已知曲线C1：（t为参数），C2：（α为参数且），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C3：θ＝（ρ∈R）．
（1）求曲线C1，C2的普通方程；
（2）若C2上的点P对应的参数α＝，Q为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．
【试题来源】黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三下学期三模（理）
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）利用三角函数同角平方关系消参得到曲线C1，曲线C2普通方程．
（2）求出PQ的中点坐标为（），和直线C3：直角坐标方程为x﹣y＝0，利用点到直线的距离公式得解
【解析】（1）曲线C1：（t为参数），转换为普通方程为．
曲线C2：（α为参数且，转换为普通方程为．
（2）由于C2上的点P对应的参数α＝，所以P（0，1），点Q，
所以PQ的中点坐标为（），
直线C3：θ＝（ρ∈R）转换为直角坐标方程为x﹣y＝0，
所以d＝，
当时，．
14．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线与的直角坐标方程；
（2）已知直线的极坐标方程为，直线与曲线分别交于(异于点)两点，若，求．
【试题来源】全国100所普通高等学校招生全国统一考试2021届高三 数学（理）冲刺卷试题
【答案】（1）：，：；（2）
【分析】（1）将化简为，消参即可得到的直角坐标方程，
将变为，从而求出的直角坐标方程；
（2）求出的极坐标方程，由，的极坐标方程得，，由即可求出的值．
【解析】（1）因为曲线的参数方程为为参数，
所以，
所以：；
又因曲线的极坐标方程为，
所以，
即，
所以：；
（2）的极坐标方程为，即，
把代入，的极坐标方程得
，，
所以，
所以，解得或，
因为，
所以，
所以．
15．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线交于､两点，与轴交于点，若，求直线的普通方程．
【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021届高三三模《黄金三卷》（文）
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）化简，然后根据代入化简即可．
（2）分别假设点所对应的参数，然后直线参数代入（1）中的直角坐标方程，结合根与系数关系，然后计算即可．
【解析】（1）由可得，
，由
，曲线的直角坐标方程是．
（2）设､两点对应的参数分别为､，
联立直线的参数方程与曲线的普通方程，整理得
，
，
设点对应的参数为，由，可得，
由得，
即，
，
，即，
直线的斜率，
故直线的方程为或．
16．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知P(1，3)，直线l与曲线C交于A，B两点，求．
【试题来源】全国2021届高三高考猜题信息卷（三）（文）
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）消参求出直线l的普通方程，由，得，从而得出曲线C的直角坐标方程；
（2）直线的参数方程可化为，代入，得，利用根与系数关系求出两根的和与积，从而求出、，进而得出答案．
【解析】（1）由直线的参数方程为(为参数)，
得直线的普通方程为；
由，得，
所以曲线的直角坐标方程；
（2）直线的参数方程可化为，代入，
得，则，，
所以，
所以，
所以．
17．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到曲线距离的最大值．
【试题来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）冲刺预测试题
【答案】（1）曲线：；曲线：；（2）
【分析】（1）消去参数t，得到曲线的普通方程；由，，将极坐标方程化为直角方程；
（2）圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径，从而求得最大值．
【解析】（1）由题知，消去参数t，得到曲线的普通方程；
由，
由，，将极坐标方程化为直角方程，
即曲线的直角坐标方程为．
（2）圆心到直线的距离为，
则曲线上的点到曲线距离的最大值为．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的参数方程为(为参数，其中a为正实数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）若直线l与圆C相切，求a的值；
（2）在（1）的条件下，设直线l与圆C相切于点M，点N是圆C上的一个动点，求面积的最大值．
【试题来源】全国Ⅰ卷2020届高三押题卷（文）（黑卷）
【答案】（1）3；（2）．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）首先利用点到直线的距离公式的应用求出三角形的高，进一步求出三角形面积的最大值．
【解析】（1）圆C的参数方程为(为参数，其中a为正实数)，
转为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为，
根据，转为直角坐标方程为．
利用圆心到直线的距离，
由于a为正值，解得a=3．
（2）由（1）得圆心，则：，
由于，则，
由于圆心C到直线l的距离的最大值为，
则：点N到直线l的距离的最大值为，
所以．
【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．
19．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）判断曲线与曲线公共点的个数，并说明理由．
【试题来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题
【答案】（1）曲线：；曲线：；（2）2，理由见解析；
【分析】（1）根据消去参数，得到曲线的普通方程；根据，将极坐标方程转化为直角方程．（2）求得圆心到直线的距离，与圆的半径比较，来判断直线与圆的关系，从而判断交点个数．
【解析】（1）根据消去参数，
得到曲线的普通方程为；根据，将极坐标方程转化为直角方程，
则曲线的方程为；
（2）曲线的圆心到直线的距离为，
则曲线与直线相交，故有2个公共点．
20．已知圆，若上所有的点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线，以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1） 求曲线的极坐标方程；
（2） 设，为曲线上的两点，且，求的值．
【试题来源】全国100所名校最新高考2021届模拟示范卷（理）（七）
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1） 根据坐标变换规则，求出曲线的直角坐标方程，再利用，化为极坐标方程．
（2） 根据第（1）的结果，确定在极坐标系下求解的值．
【解析】（1） 设圆上任意一点经变换后对应的点为，
则，即，代入圆的方程，得，
化简可得曲线的直角坐标方程为．
将，代入，
可得曲线的极坐标方程为，即．
（2） 设，因为，所以，
由（1）可得，，
所以．