新人教A版高考数学二轮复习专题十计数原理2二项式定理专题检测含解析

二项式定理

专题检测

1.(2020山西大同开学学情调研,6)若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是              (　　)

A.210　　B.180　　C.160　　D.175

答案　B　∵的展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴展开式中共有11项,n=10.∴展开式的通项为Tr+1=()10-r·=(-1)r·2r·.令5-=0,得r=2,∴常数项是T2+1=22·=180,故选B.

2.(2018辽宁鞍山鞍钢三模,8)已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2=              (　　)

A.18　　B.24　　C.36　　D.56

答案　B　(2x-1)4=[1+2(x-1)]4

=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,

∴a2=·22=24,故选B.

3.(2020四川五校联考,6)(3x3+x4)的展开式中x2的系数为 (　　)

A.-1280　　B.4864　　C.-4864　　D.1280

答案　A　的展开式的通项为Tr+1=28-r·,所以x2项为3x3+x4·26·=-1280x2,故选A.

4.(2018海南国兴中学3月模拟,7)设(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,其中x,ai∈R,i=0,1,…,6,则a1+a3+a5=              (　　)

A.16　　B.32　　C.64　　D.128

答案　B　令x=1,则26=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=64,

令x=-1,则(1-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=0,

∴2(a1+a3+a5)=64,∴a1+a3+a5=32.故选B.

5.(2019广东佛山二模,8)已知(1+x)(n∈N*,n<10)的展开式中没有常数项,则n的最大值是              (　　)

A.6　　B.7　　C.8　　D.9

答案　B　∵(1+x)(n∈N*,n<10)的展开式中没有常数项,∴的展开式中没有x-1项和常数项.∵的展开式的通项为Tr+1=·xn-3r,故n-3r≠0,且n-3r≠-1,即n≠3r,且n≠3r-1,∴n≠3,6,9,且n≠2,5,8,故n的最大值为7,故选B.

思路分析　先将问题转化成二项展开式中没有常数项和x-1项,利用二项展开式的通项求出第r+1项,再根据x的指数不能为0和-1,求得n的最大值.

6.(2017山西晋中一模,9)若a=2(x+|x|)dx,则在的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有              (　　)

A.13项　　B.14项　　C.15项　　D.16项

答案　C　a=2(x+|x|)dx=2(x-x)dx+22xdx=18.

则的展开式的通项为Tr+1=()18-r=(-1)r·(r=0,1,2,…,18).只有r=0,6,12,18时,x的幂指数是整数,因此x的幂指数不是整数的项共有19-4=15项.故选C.

7.(2018安徽马鞍山二模,10)二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的指数为整数的项的个数为              (　　)

A.3　　B.5　　C.6　　D.7

答案　D　根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n=20,∴的展开式的通项为Tr+1=·(x)20-r·=()20-r··,要使x的指数是整数,需r是3的倍数,∴r=0,3,6,9,12,15,18,∴x的指数是整数的项共有7项.故选D.

思路分析　根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值,再利用展开式的通项求得x的指数是整数的项数.

规律总结　(a+b)n的展开式中二项式系数最大问题的处理依据:若n为偶数,则第项的二项式系数最大,为;若n为奇数,则第,项的二项式系数最大,为,.

8.(2016全国百所名校联考,6)(1-)6(1-)4的展开式中,x2的系数是 (　　)

A.-75　　B.-45　　C.45　　D.75

答案　B　(1-)6(1-)4=(1-6+15x-20x+15x2-6x2+x3)·(1-4+6-4x+),∴(1-)6(1-)4的展开式中,x2的系数是15·(-4)+15=-45.故选B.

思路分析　把(1-)6和(1-)4利用二项式定理分别展开,进而可得(1-)6(1-)4的展开式中x2的系数.

9.(2018重庆万州二模,15)已知二项式的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是　　　　. 

答案　-84

解析　由二项式的展开式中所有二项式系数的和是128,得2n=128,∴n=7,∴=,

Tr+1=·(2x2)7-r·=(-1)r·27-r··x14-3r.令14-3r=-1,得r=5.∴展开式中含项的系数是-4×=-84.

思路分析　由已知可得n的值,写出二项展开式的通项,由x的指数为-1求得r,进而求含项的系数.

易错警示　注意二项式系数与项的系数的区别,以及二项式系数之和与所有项的系数之和的区别.

10.(2017江西赣州十四县联考,14)若的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-B),则展开式中x2的系数为　　　　. 

答案　

解析　易得A=1,B=,C==,所以有4=9,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在中,因为通项Tr+1=x8-r=·x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为.

11.(2018湖南长沙第二次模拟,14)若x10-x5=a0+a1(x-1)++…+a10(x-1)10,则a5=　　　　. 

答案　251

解析　令x-1=t,则x=t+1,x10-x5=(t+1)10-(t+1)5=a0+a1t+a2t2+…+a10t10,a5为t5的系数,其中(t+1)10的展开式中t5的系数为,(t+1)5的展开式中t5的系数为,则a5=-=252-1=251.

12.若(1-4x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020·x2020,则++…+=　　　　. 

答案　0

解析　取x=0,则a0=1;取x=,则(-1)2020=a0+++…+,所以++…+=1-a0=0.