专题05 解析几何【文科】（解析版）

专题05 解析几何

一、单选题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设抛物线的焦点为F，倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于M，N两点.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图所示，过点M，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，C，直线l与准线交于点E，

由题意可得，

设，则，

由抛物线的定义可知，，，

，

所以,

在中，，

所以，

则.

故选：D.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知直线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【解析】

根据题意，得，

所以.

故选：D.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知c是双曲线(，)的半焦距，离心率为，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】

因为c是双曲线(，)的半焦距，

所以，

则

，

当且仅当时，等号成立.

故选：B.

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点F，A分别为椭圆(，)的左焦点左顶点，过原点O的直线l交C于P，Q两点，直线QF交AP于点B，且，若的最小值为4，则椭圆C的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

如图，连接OB，AQ，

则OB是的中位线，

，即，

，又的最小值为，，

，，.

故椭圆C的标准方程为.

故选：C.

5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知圆与x轴交于两点，点P在直线上，过圆O上的任意两点分别向l作垂线，垂足为，以下说法不正确的是（    ）

A．的最小值为

B．为定值

C．的最大值为

D．当为直径时，四边形面积的最大值为16

【答案】B

【解析】

设，则N关于l对称的点为，所以的最小值为，故A正确；不是定值，故B错误；当最小，且当为圆O的切线时，最大，此时，故C正确；在四边形中，，且.因此，当最长，即时面积最大，最大值为16，故D正确

故选：B

6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点作渐近线的垂线，垂足为P，且的面积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，

在中，，

所以，离心率．

故选：D

7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为P为直线l上的动点，所以可设，

由题意可得圆心C的坐标为，

以线段为直径的圆N的圆心为，半径为，

所以方程为，两圆方程作差，

即得两圆公共弦的方程为，，

所以直线过定点．

故选：A.

二、填空题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】对于双曲线来说，我们定义圆为它的“伴随圆”.过双曲线的左焦点作它的伴随圆的一条切线，设切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P.若M为的中点，M在T右侧，且为定值，则该双曲线的离心率为_______.

【答案】

【解析】

如图，设为双曲线的右焦点，在中，，所以，，解得，所以.

故答案为：.

2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且与垂直，，若该双曲线的焦点位于直线上，则在点O以下的焦点距点O______.

【答案】

【解析】

解：设该双曲线的方程为.

因为渐近线相互垂直，所以.

由题意知，，

解得，

故该双曲线的一个焦点位于点O以下.

故答案为：

三、解答题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知圆，点Q是圆M上的一个动点，点.若线段的垂直平分线交线段于点T.

（1）求动点T的轨迹曲线C的方程；

（2）设O是坐标原点，点，点R（异于原点）是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线分别与曲线C交于A，B（异于点P）两点.判断直线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由.

【答案】（1）；（2）过定点，.

【解析】

（1）由题意可知，，

所以动点T的轨迹为以M，N两点为焦点的椭圆.

设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则.由，得，所以曲线C的方程为.           

（2）设直线的方程为，

由消去y，整理得，

则，

.

又直线的方程为，

即，

令，得.

因此点R的坐标为，同理可得，.

由，得，

化简得，

即，

整理得，

即.

因为不在直线上，故，

所以，此时，由，得.

因此直线过定点.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．

（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；

（Ⅱ）若点在第一象限，且、、三点在同一直线上，直线与抛物线的另一个交点记为，且，求实数的值．

【答案】（Ⅰ），圆为：；（Ⅱ）．

【解析】

解：（Ⅰ）焦点到准线的距离为，

又∵，，∴为正三角形．

∴，，

∴，，

∴圆为：．

（Ⅱ）若、、共线，则，

∴，

∴直线的倾斜角为或，

由对称性可知，设直线：，，，，

联立，

∴，，或，

又，，，所以．

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在C上，但不在x轴上，当点P在C上运动时，的周长为定值6，且当时，.

（1）求C的方程.

（2）若斜率为的直线l交C于点M，N，C的左顶点为A，且成等差数列，证明：直线l过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）解：由题意知，

所以

所以椭圆C的方程为.

（2）证明：由题意知，.

设直线，与椭圆C方程联立，

得

整理得.

设，则

，

所以.

所以，恒过点.

4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）由椭圆E的方程可得．

设，则，

所以．

又点在椭圆E上，

所以，所以，

所以，

所以椭圆E的离心率．           

（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，

所以椭圆E的标准方程为．     

设直线l的方程为，线段的中点为，

联立消去y，得，

则，

解得，

所以，           

所以，

所以．           

由，得，     

所以，

解得．           

又因为以线段为直径的圆过点R，

所以，

所以．

又，代入上式整理得，

即，

解得．

所以直线l的方程为．