专题04 立体几何【文科】（解析版）

专题04 立体几何

一、单选题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】在中，，顶点B在以为直径的圆上.点P在平面上的射影为的中点，，则其外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，

设的中点为，外接球的球心为O在中，

，

设外接球的半径为R，

在中：，

解得：，

外接球的表面积为：.

故选：D.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm，体积为的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（    ）

A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm

【答案】B

【解析】

解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为h，

则，，

故选：B．

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】一圆柱形容器，底面半径为1，高为3，里面装有一个小球，小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一个平面，使得与小球恰好相切，则与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

当平面与小球相切，且与底面所成锐二面角最小时，轴截面如下图所示，，，所以，，

在中，由勾股定理得，

所以该平面与圆柱下底面所成锐二面角的正弦值为.

故选：D.

二、填空题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.

【答案】

【解析】

由几何体的正视图可知，该几何体底面的扇形圆心角应为，

所以，该几何体的体积应该为所在圆锥体积的，圆锥的底面半径为，高为，

所以，该几何体的体积为.

故答案为：.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知平面四边形ABCD中，，，是等边三角形，现将沿BD折起到，使得P点在平面ABD上的射影恰为的外心，则三棱锥P-ABD外接球的表面积为________.

【答案】

【解析】

因为是等边三角形，所以，

因为，所以A，B，C，D四点共圆，

所以的外心也是的外心，记为H，

如图，取BD的中点E，则A，E，H，C共线，连接PE，

取的外心G，则点G在线段PE上，且，

过点G作平面PBD的垂线交PH于点O，

则O是三棱锥P-ABD外接球的球心，

且，所以，

因为，所以，，

，，

所以，即，

所以外接球的表面积为.

故答案为：

三、解答题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，平面，O是的中点，为等边三角形.

（1）证明：平面平面；

（2）若，P为的中点，Q为线段上的动点，判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，.

【解析】

（1）证明：由题意可知，平面.

因为平面，所以.

又因为，所以.

因为平面，

所以平面.

因为平面，所以平面平面.     

（2）三棱锥的体积是定值.     

取的中点M，连接，如图.

因为，所以.

因为，所以.

因为平面平面，

所以平面.

同理可证明平面.

因为，

所以平面平面，又平面，

所以平面.

所以.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，.

（1）求证：；

（2）若，三棱锥的体积为1，求线段的长度.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

解:（1） 取AD中点M，连接PM，BM，

.

∵四边形是菱形，且，

∴是正三角形， ，

又，∴平面. 

又平面，.

（2）∵平面平面，且交线为，

∵，∴平面.

在正三角形中，，

∴.  

由题意可知，，

.

，

.∵平面，平面，

.

,

 .

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，四棱锥的各侧棱长均为2，底面为矩形，过底面对角线作与直线平行的平面，且平面交于点E.

（1）试确定点E的位置，并说明理由；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）点E为的中点；答案见解析；（2）.

【解析】

解：（1）点E为的中点.

理由如下：

连接交于点O，连接，如图.

因为平面平面，且平面平面，

所以.

在中，因为O为中点，所以E为中点.

（2）如图，连接.

由题意知，，所以；

同理，.

因为，所以底面.

又因为，

所以，所以，

所以.

4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．

（1）证明：平面；

（2）若M是上一点，且，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

解：（1）证明：因为四边形为菱形，

,

又平面平面，平面平面平面，

平面，    

平面，

，     

又，

，

即．           

又平面，

平面；           

（2）解：由（1）得平面，

平面，

，           

即，

为等腰三角形，

在中，由余弦定理得：，

又，

，

即，

故，           

又，

．