人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程（完整知识点）

这是一份人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程（完整知识点），共13页。主要包含了一元二次方程的有关概念，解一元二次方程，实际问题与一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

一、一元二次方程的有关概念
（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（二）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)其中：二次项为ax2；二次项系数为a；一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。
特殊形式：
（三）一元二次方程中“未知数的最高次数是2，二次项系数a≠0”是针对整理合并的方程而言的。
（四）一元二次方程的解（根）
1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
2、判断一个数是否是一元二次方程的根
将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根。
3、关于一元二次方程根的三个重要结论
（1）a+b+c=0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为x=1。
（2）a-b+c=0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为x=﹣1。
（3）c=0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为x=0。
二、解一元二次方程
（一）直接开平方法解一元二次方程
1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
2、方程x2=p的根
（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不相等的实数根x1=p，x2=−p。
（2）当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0。
（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2=p无实数根。
3、用直接开平方法解一元二次方程时，要先将方程左边化成完全平方的形式，右边是非负数的形式，再用直接开平方解方程。
4、解形如(mx＋n)2=p（m≠0，p≥0）的一元二次方程，把mx＋n看作一个整体，直接开平方降次得mx＋n=±p，即x=−n±pm。
5、适用范围：直接开平方法只适用于能转化为x2=p或(mx＋n)2=p（m≠0，p≥0）形式的方程。
（二）配方法解一元二次方程
1、配方法：把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2、可化为(x+n)2=p的形式的一元二次方程的根
（1）当p＞0时，方程(x+n)2=p有两个不等的实数根x1=−n+p，x2=−n−p；
（2）当p＝0时，方程(x+n)2=p有两个相等的实数根x1=x2=−n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程(x+n)2=p无实数根。
3、用配方法解一元二次方程的一般步骤（2x2−7x+3=0）
依据：完全平方公式的逆用a2±2ab+b2=(a±b)2和直接开平方法。
（三）公式法解一元二次方程
1、推导：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
2、一元二次方程根的判别式
（1）内容：一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2−4ac。
（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
Δ＞0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根。
Δ=0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根。
Δ＜0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。
3、拓展：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当a，c异号时，方程一定有两个不相等的实数根；当c=0时，方程一定有一个根为0。
4、一元二次方程的求根公式
（1）内容：当∆≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根x=−b±b2−4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。
（2）公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
（3）用公式法解一元二次方程的步骤
①整理方程：一般式ax2+bx+c=0(a≠0)。
②计算根的判别式：Δ=b2−4ac。
③求根：当Δ=b2−4ac＞0时，将各项系数代入求根公式x=−b±b2−4ac2a
④写解
注：当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即x1=x2=−b2a。
（四）因式分解法解一元二次方程
1、因式分解法：先对方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
2、用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）移项∶将方程化为一般形式。
（2）分解∶将方程的左边分解为两个一次式的乘积。
（3）转化∶令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程。
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。
3、因式分解为常见类型
（五）一元二次方程的根与系数的关系
1、推导
2、内容
（1）文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
（2）数学语言
若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2= ca。
3、重要结论
（1）若一元二次方程x2+px+q=0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2=−p，x1x2=q。
（2）以实数x1，x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是x2−(x1+x2)+x1x2=0。
4、重要变形
三、实际问题与一元二次方程
（一）列一元一次方程解决实际问题的一般步骤
1、审题找相等关系
2、设未知数
3、列方程
4、解方程
5、检验
（1）检验所得结果是不是方程的解。
（2）检验方程的解是否符合实际意义。
6、写出答案
（二）常见实际问题
1、平均增长率（降低率）问题：a(1+x)2=n
2、几何图形问题
3、存款利息问题
4、数字问题
5、存款利息问题
6、传播、比赛与握手问题
（1）比赛单循环、握手：12x(x−1)=n
（2）比赛双循环、互发短信：x(x−1)=n
（3）传播问题：1+x+(1+x)x=n⇒(1+x)²=n2x2−7x=−3
（1）移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。
x2−72x=−32
（2）二次项系数化为1：左、右两边同时除以二次项系数。
x2−72x+(−72)2=−32+(−72)2
即(x−72)2=2516
（3）配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）开平方求根：利用平方根的意义直接开平方。
常见类型
因式分解
方程的解
x2+bx=0
x(x+b)=0
x1=0，x2=−b
x2−a2=0
(x−a) (x+a)=0
x1=a，x2=−a
x2±2ax+a2=0
(x±a)2=0
x1=x2=±a
x2+(a+b)x+ab=0(a，b为常数)
(x+a)(x+b)=0
x1=−a，x2=−b
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2