初中数学人教版九年级上册第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质综合训练题

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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质综合训练题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )
A.y=－12x2
B.y=－12(x+1)2
C.y=－12(x－1)2－1
D.y=－12(x+1)2－1
2.二次函数y＝2(x－3)2－1的顶点坐标在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.在下列二次函数中,其图象对称轴为x＝－2的是( )
A.y＝(x＋2)2－3B.y＝2x2－2
C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)2
4.对于二次函数y＝(x－3)2＋5的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向下
B.当x＝3时,y有最大值是5
C.对称轴是x＝－3
D.顶点坐标是(3,5)
5.若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( )
A.m>1B.m>0
C.m>－1D.－16.抛物线y＝(x＋4)2＋1可以由抛物线y＝x2平移得到,下列平移方法中正确的是( )
A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位
7.已知二次函数y＝3(x＋1)2＋1,若－2≤x≤1,则函数y的( )
A.最小值是1,最大值是5
B.最小值是1,无最大值
C.最小值是3,最大值是9
D.最小值是1,最大值是13
8.已知y＝x＋t-222－2,当x>1时y随x的增大而增大,则t的取值范围是( )
A.t<0B.t≥0
C.t≤4D.t>4
9.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2不动,把x轴向上、y轴向右分别平移3个单位,那么在新坐标系中抛物线的解析式是( )
A.y=4(x-3)2+3B.y=4(x+3)2-3
C.-y=4(x-3)2+3D.y=4(x+3)2+3
10.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0),其图象经过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是( )
A.6B.5C.4D.3
11.若一次函数y=kx+b的图象经过点(n,1)和(-1,n)(n>1),则二次函数y=a(x+b)2+k的图象的顶点在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
12.已知函数y＝(x-1)2-1 (x≤3),(x-5)2-1 (x>3),若使y＝k成立的x值恰好有三个,则k的值为( )
A.0B.1C.2D.3
13.(中考·宁波)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
14.(2020·甘孜州)如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝－1
C．点B的坐标为(1，0)
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
15.(2020·杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( )
A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0
二、填空题
16.二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：
(1)若a>0，当x>h时，y随x的增大而________；
当x当x＝h时，y取最______值________．
(2)若a<0，当x>h时，y随x的增大而________；
当x当x＝h时，y取最______值_______．
17.已知点A(4,y1),B(2,y2),C(－2,y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上,则y1,y2,y3按从小到大的顺序排列为 .
18.把二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的解析式为 .
19.在平面直角坐标系中,如果抛物线y＝2x2不动,把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位长度,在新坐标系下抛物线的解析式为 .
20.写出与y=-12x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式 .
21.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-2)2+n+1交于点A.过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为 .
22.若一条抛物线和y＝－3x2的图象形状相同,并且顶点坐标是(－6,1),则此抛物线的函数解析式为 .
23.已知函数y=(x-1)2-1 (x<4),(x-7)2-1 (x≥4),点P(a,ka)在该函数的图象上.若这样的点P恰好有三个,则k的值为 .
三、解答题
24.把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数y＝12(x＋1)2－1的图象.
(1)试确定a,h,k的值;
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
25.如图,网格中的每个小正方形边长均为1,将抛物线y1＝x2－1的图象向右平移2个单位长度得到抛物线y2.
(1)请直接写出抛物线y2的函数解析式.
(2)求图中阴影部分的面积;
(3)若将抛物线y2沿x轴翻折,得到抛物线y3,求抛物线y3的函数解析式.
26.已知抛物线y＝14(x－1)2－1.
(1)写出抛物线的开口方向和对称轴.
(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最值.
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
27.如图,已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标.
28.(2020·金华)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝－eq \f(1,2)(x－m)2＋4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．
(1)当m＝5时，求n的值．
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
29.在同一平面直角坐标系中,如果二次函数y1＝a1(x＋h1)2＋k1与二次函数y2＝a2(x＋h2)2＋k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为“梦函数”.例如:二次函数y＝(x＋1)2－1与y＝(x－1)2＋3互为“梦函数”.
(1)写出二次函数y＝(x＋3)2＋2的一个“梦函数” .
(2)任意一个二次函数的“梦函数”有个.
(3)①一对“梦函数”中,a1与a2的关系为 ,h1与h2的关系为 ;
②若一对“梦函数”中,a1≠a2,h1＝h2,且这对“梦函数”的图象无公共点,请探究k1与k2的大小关系.
参考答案
一、选择题
1.如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( D )
A.y=－12x2
B.y=－12(x+1)2
C.y=－12(x－1)2－1
D.y=－12(x+1)2－1
2.二次函数y＝2(x－3)2－1的顶点坐标在(D)
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.在下列二次函数中,其图象对称轴为x＝－2的是(A)
A.y＝(x＋2)2－3B.y＝2x2－2
C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)2
4.对于二次函数y＝(x－3)2＋5的图象,下列说法正确的是(D)
A.开口向下
B.当x＝3时,y有最大值是5
C.对称轴是x＝－3
D.顶点坐标是(3,5)
5.若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为(B)
A.m>1B.m>0
C.m>－1D.－16.抛物线y＝(x＋4)2＋1可以由抛物线y＝x2平移得到,下列平移方法中正确的是(A)
A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位
7.已知二次函数y＝3(x＋1)2＋1,若－2≤x≤1,则函数y的(D)
A.最小值是1,最大值是5
B.最小值是1,无最大值
C.最小值是3,最大值是9
D.最小值是1,最大值是13
8.已知y＝x＋t-222－2,当x>1时y随x的增大而增大,则t的取值范围是(B)
A.t<0B.t≥0
C.t≤4D.t>4
9.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2不动,把x轴向上、y轴向右分别平移3个单位,那么在新坐标系中抛物线的解析式是( B )
A.y=4(x-3)2+3B.y=4(x+3)2-3
C.-y=4(x-3)2+3D.y=4(x+3)2+3
10.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0),其图象经过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是( D )
A.6B.5C.4D.3
11.若一次函数y=kx+b的图象经过点(n,1)和(-1,n)(n>1),则二次函数y=a(x+b)2+k的图象的顶点在( C )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
12.已知函数y＝(x-1)2-1 (x≤3),(x-5)2-1 (x>3),若使y＝k成立的x值恰好有三个,则k的值为(D)
A.0B.1C.2D.3
【点拨】函数图象如图所示.∵使y＝k成立的x值恰好有3个,即直线y＝k与该函数图象有3个交点,观察图象可知,该函数图象与直线y＝3恰好有3个交点,所以k＝3.
13.(中考·宁波)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为( A )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【点拨】由y＝a(x－4)2－4得图象的对称轴为直线x＝4，再结合已知条件画出草图，易知二次函数的图象经过点(2，0)，(6，0)，将点的坐标代入解析式即可求出a的值．
14.(2020·甘孜州)如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( D )
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝－1
C．点B的坐标为(1，0)
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
15.(2020·杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( C )
A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0
【点拨】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，代入函数解析式整理得a(9－2h)＝1.将h的值分别代入即可得出结果．
二、填空题
16.二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：
(1)若a>0，当x>h时，y随x的增大而___增大_____；
当x当x＝h时，y取最__小____值___k_____．
(2)若a<0，当x>h时，y随x的增大而___减小_____；
当x当x＝h时，y取最__大____值___k_____．
17.已知点A(4,y1),B(2,y2),C(－2,y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上,则y1,y2,y3按从小到大的顺序排列为 y218.把二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的解析式为 y＝2(x＋2)2－2 .
19.在平面直角坐标系中,如果抛物线y＝2x2不动,把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位长度,在新坐标系下抛物线的解析式为 y＝2(x－2)2＋2 .
20.写出与y=-12x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式 y=12(x-4)2+5 .
21.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-2)2+n+1交于点A.过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为 10 .
提示:设两条抛物线顶点的横坐标分别为x1,x2,易得BC=2|x1-x2|=2×5=10.
22.若一条抛物线和y＝－3x2的图象形状相同,并且顶点坐标是(－6,1),则此抛物线的函数解析式为 y＝－3(x＋6)2＋1或y＝3(x＋6)2＋1 .
23.已知函数y=(x-1)2-1 (x<4),(x-7)2-1 (x≥4),点P(a,ka)在该函数的图象上.若这样的点P恰好有三个,则k的值为 2或83-14 .
提示:由题意可得P(a,ka)在直线y=kx上,画函数图象如图所示.①当y=kx经过点(4,8)时,k=2,符合题意;②当y=kx与y=(x-7)2-1(x≥4)只有一个公共点时,符合题意,由y=kx,y=(x-7)2-1得x2-(k+14)x+48=0,由Δ=0得k1=-14+83,k2=-14-83(舍去).综上,k=2或83-14.
三、解答题
24.把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数y＝12(x＋1)2－1的图象.
(1)试确定a,h,k的值;
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解:(1)二次函数y＝12(x＋1)2－1的图象的顶点坐标为(－1,－1),把点(－1,－1)先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度得到点的坐标为(1,－5),
所以原二次函数的解析式为y＝12(x－1)2－5,
所以a＝12,h＝1,k＝－5.
(2)二次函数y＝a(x－h)2＋k,即y＝12(x－1)2－5的开口向上,对称轴为直线x＝1,顶点坐标为(1,－5).
25.如图,网格中的每个小正方形边长均为1,将抛物线y1＝x2－1的图象向右平移2个单位长度得到抛物线y2.
(1)请直接写出抛物线y2的函数解析式.
(2)求图中阴影部分的面积;
(3)若将抛物线y2沿x轴翻折,得到抛物线y3,求抛物线y3的函数解析式.
解:(1)y2＝(x－2)2－1.
(2)观察题图可知阴影部分的面积为2×4＝8.
(3)将抛物线y2沿x轴翻折,翻折后的抛物线形状不变、开口向下,则a＝－1,顶点坐标是(2,1),∴y3＝－(x－2)2＋1.
26.已知抛物线y＝14(x－1)2－1.
(1)写出抛物线的开口方向和对称轴.
(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最值.
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
解:(1)抛物线开口向上,对称轴为直线x＝1.
(2)由(1)可知开口向上,∴函数y有最小值,最小值为－1.
(3)在y＝14(x－1)2－1中,分别令x＝0,y＝0,可分别求得y＝－34,x＝3或x＝－1,
∴点P的坐标为(0,－34),点Q的坐标为(3,0)或(－1,0).
设直线PQ的函数解析式为y＝kx＋b,
当点P的坐标为0,-34,点Q的坐标为(3,0)时,可得直线PQ的函数解析式为y＝14x－34;
当点P的坐标为0,-34,点Q的坐标为(－1,0)时,可得直线PQ的函数解析式为y＝－34x－34.
27.如图,已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标.
解:(1)y＝－(x－1)2＋4.
(2)①当MA＝MB时,点M的坐标为(0,0);
②当AB＝AM时,点M的坐标为(0,－3);
③当AB＝BM时,点M的坐标为(0,3＋32)或点M的坐标为(0,3－32).
综上所述,点M的坐标为(0,0)或(0,－3)或(0,3＋32)或(0,3－32).
28.(2020·金华)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝－eq \f(1,2)(x－m)2＋4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．
(1)当m＝5时，求n的值．
解：当m＝5时，y＝－eq \f(1,2)(x－5)2＋4.
当x＝1时，n＝－eq \f(1,2)×16＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
解：当n＝2时，将C(1，2)的坐标代入y＝－eq \f(1,2)(x－m)2＋4，
得2＝－eq \f(1,2)(1－m)2＋4，解得m＝3或m＝－1(舍去)．
∴此时抛物线的对称轴为直线x＝3.
根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或x＝5.
∴当y≥2时，x的取值范围为1≤x≤5.
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
解：∵点A与点C不重合，∴m≠1.
∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4)，
∴抛物线的顶点在直线y＝4上．
当x＝0时，y＝－eq \f(1,2)m2＋4，
∴点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)m2＋4)).
抛物线从图①向左平移到图②的过程中，m减小且m≥0，点B沿y轴向上移动．
当点B与点O重合时，－eq \f(1,2)m2＋4＝0，
解得m1＝2eq \r(2)，m2＝－2eq \r(2)(舍去)．
当点B与点D重合时，如图②，顶点A也与点D重合，点B到达最高点．
∴点B的坐标为(0，4)．
∴－eq \f(1,2)m2＋4＝4，解得m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移时，如图③，点B不在线段OD上，
∴点B在x轴上方，且在线段OD上时，m的取值范围是0≤m＜1或1＜m＜2eq \r(2).
29.在同一平面直角坐标系中,如果二次函数y1＝a1(x＋h1)2＋k1与二次函数y2＝a2(x＋h2)2＋k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为“梦函数”.例如:二次函数y＝(x＋1)2－1与y＝(x－1)2＋3互为“梦函数”.
(1)写出二次函数y＝(x＋3)2＋2的一个“梦函数” y＝(x－3)2＋2.(答案不唯一) .
(2)任意一个二次函数的“梦函数”有无数个.
(3)①一对“梦函数”中,a1与a2的关系为 |a1|＝|a2| ,h1与h2的关系为互为相反数(或h1＋h2＝0) ;
②若一对“梦函数”中,a1≠a2,h1＝h2,且这对“梦函数”的图象无公共点,请探究k1与k2的大小关系.
解:(2)提示:∵一对“梦函数”与k的大小无关,
∴任意一个二次函数的“梦函数”有无数个.
(3)②∵a1≠a2,∴a1与a2互为相反数.
又∵h1＝h2,h1与h2互为相反数,∴h1＝h2＝0.
设y1＝a1x2＋k1,y2＝－a1x2＋k2(a≠0).令y1＝y2,得a1x2＋k1＝－a1x2＋k2,整理得2a1x2＋k1－k2＝0.∵y1与y2的图象无公共点,∴方程2a1x2＋k1－k2＝0无解,∴Δ＝02－4×2a1(k1－k2)<0,∴8a1(k1－k2)>0,
∴当a1>0时,k1>k2;当a1<0时,k1