2021年高考理科数学一轮复习：专题6.2 等差数列及其前n项和 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 等差数列基本量的计算1
题型二 等差数列的判定与证明3
题型三 等差数列性质的应用6
类型一 等差数列项的性质的应用6
类型二 等差数列前n项和性质的应用7
题型四 等差数列前n项和的最值问题9
二、高效训练突破11
一、题型全归纳
题型一 等差数列基本量的计算
【题型要点】1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq \f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝eq \f(（a1＋an）n,2)．
3.等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
4.等差数列设项技巧
若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d)．
【例1】已知等差数列{an}中，a1＋a4＝eq \f(7,6)，a3＋a6＝eq \f(5,6)，则公差d＝( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,12)
C．－eq \f(1,6) D．－eq \f(1,12)
【例2】在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则eq \f(1,5)a4＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【例3】(2020·碑林区期末)设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a1＝________.
题型二 等差数列的判定与证明
【题型要点】判定数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．见举例说明．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．
(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.
【易错提醒】：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．
【例1】(2020·河北衡水中学调研)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列为等差数列，并求{bn}的通项公式．
【例2】(2020·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
【例3】(2020·沈阳模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；
(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
题型三 等差数列性质的应用
【题型要点】1.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
2.应用等差数列的性质解题的三个注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝eq \f(1,2)(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝eq \f(an－am,n－m)，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(na2＋an－1,2)(n，m∈N*)等．
(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
类型一 等差数列项的性质的应用
【例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a2＝10，则S15＝( )
A．20 B．75
C．300 D．150
【例2】等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22
C．24 D．－8
【题后反思】项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔eq \f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
类型二 等差数列前n项和性质的应用
【例3】在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若eq \f(S12,12)－eq \f(S10,10)＝2，则S2 018的值等于( )
A．－2 018 B．－2 016
C．－2 019 D．－2 017
【例4】已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
A．100 B．120
C．390 D．540
【例5】(2020·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为_______。
【例6】等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n－2,2n＋1)，则eq \f(a7,b7)等于( )
A.eq \f(37,27) B．eq \f(38,28)
C.eq \f(39,29) D．eq \f(40,30)
【题后反思】和的性质：(1)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an；
③是首项为a1，公差为eq \f(d,2)的等差数列．
(2)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(an,bn).
题型四 等差数列前n项和的最值问题
【题型要点】求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn＝a－eq \f(b2,4a)，求“二次函数”最值．
(2)邻项变号法
①当a1＞0，d＜0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1＜0，d＞0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm．
【例1】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【例2】 (2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
【例3】(2020·华中师范大学附中模拟)设数列{an}的前n项和为Sn＝3·2n(n∈N＋)，数列{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，若b2＝a5，b10＝S3，则Tn取最大值时n＝________.
二、高效训练突破
一、选择题
1．(2020·长春模拟)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S7＝49，则a2，a6的等差中项是( )
A.eq \f(49,2) B．7
C．±7 D.eq \f(7,2)
3．(2020·湘赣十四校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，则a6＝( )
A．16 B．13
C．－9 D．37
4．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq \f(1,2)n2－2n
5．(2020·沈阳质量监测)在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是( )
A．55 B．11
C．50 D．60
6．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
7.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n－2,2n＋1)，则eq \f(a7,b7)等于( )
A.eq \f(37,27) B.eq \f(19,14)
C.eq \f(39,29) D.eq \f(4,3)
8．(2019·南昌模拟)已知等差数列{an}的公差d<0，前n项和为Sn，若S5＝10a6，则当Sn最大时，n＝( )
A．8 B．9
C．7或8 D．8或9
9.(2020·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )
A.eq \f(17,6)升 B．eq \f(7,2)升
C.eq \f(113,66)升 D．eq \f(109,33)升
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2 017的值为( )
A．2 018 B．4 028
C．5 037 D．3 019
11.(2019·辽宁省实验中学模拟)已知数列{an}满足3an＋1＝9·3an(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝( )
A．－eq \f(1,3) B．3
C．－3 D.eq \f(1,3)
12．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两人所得金相差数额绝对值的最小值是( )
A.eq \f(1,13)斤 B．eq \f(7,39)斤
C.eq \f(7,78)斤 D．eq \f(1,11)斤
二、填空题
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则eq \f(S11,S5)＝________．
2．在等差数列{an}中，公差d＝eq \f(1,2)，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________．
3．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝eq \f(3,4)，则a1＝________．
4.(2020·沈阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2019，则m＝________.
5．在等差数列{an}中，公差d＝eq \f(1,2)，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.
6．(2020·揭阳摸底)已知数列{an}满足a1＝－eq \f(1,9)，an＋1＝eq \f(an,8an＋1)(n∈N*)，则an＝________，数列{an}中最大项的值为________．
三 解答题
1.已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
2.已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
3.(2020·湖北仙桃、天门、潜江模拟)已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝eq \f(an,n＋1).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
4．(2020·浙江嘉兴模拟)在数列{an}，{bn}中，设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＋1＝an＋2，3b1＋5b2＋…＋(2n＋1)bn＝2n·an＋1，n∈N*.
(1)求an和Sn；
(2)当n≥k时，bn≥8Sn恒成立，求整数k的最小值．