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    2021版新高考数学(理科)一轮复习教师用书:第6章第2节 等差数列及其前n项和
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    2021版新高考数学(理科)一轮复习教师用书:第6章第2节 等差数列及其前n项和

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    第二节 等差数列及其前n项和
    [最新考纲] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.


    1.等差数列
    (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(n∈N*),d为常数.
    (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.
    2.等差数列的有关公式
    (1)通项公式:an=a1+(n-1)d.
    (2)前n项和公式:Sn=na1+d=.
    3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
    (1)当d≠0时,等差数列{an}的通项公式an=dn+(a1-d)是关于d的一次函数.
    (2)当d≠0时,等差数列{an}的前n项和Sn=n2+n是关于n的二次函数.
    4.等差数列的前n项和的最值
    在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.

    等差数列的常用性质
    (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
    (2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
    (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
    (4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.
    (5)若{an},{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn,Tn,则=.
    (6)若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的.
    (7)若等差数列{an}的项数为偶数2n,则
    ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
    ②S偶-S奇=nd,=.
    (8)若等差数列{an}的项数为奇数2n+1,则
    ①S2n+1=(2n+1)an+1;②=.

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(  )
    (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (  )
    (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2.(  )
    (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(  )
    [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
    二、教材改编
    1.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差d等于(  )
    A.   B.   C.2   D.-
    A [∵a4+a8=2a6=10,∴a6=5,
    又a10=6,∴公差d===.故选A.]
    2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(  )
    A.31 B.32 C.33 D.34
    B [设数列{an}的公差为d,
    法一:由S5=5a3=30得a3=6,
    又a6=2,
    ∴S8==
    ==32.
    法二:由

    ∴S8=8a1+d=8×-28×=32.]
    3.已知等差数列-8,-3,2,7,…,则该数列的第100项为________.
    487 [依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以a100=-8+99×5=487.]
    4.某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则剧场总共的座位数为________.
    820 [设第n排的座位数为an(n∈N*),数列{an}为等差数列,其公差d=2,则an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,则剧场总共的座位数为==820.]


    考点1 等差数列基本量的运算
     解决等差数列运算问题的思想方法
    (1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.
    (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
    (3)利用性质:运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.
     1.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(  )
    A.an=2n-5  B.an=3n-10
    C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
    A [由题知,
    解得∴an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.]
    2.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于(  )
    A.-12 B.-10
    C.10 D.12
    B [设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,
    得3=2a1+×d+4a1+×d,将a1=2代入上式,解得d=-3,
    故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.故选B.]
    3.(2019·黄山三模)《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1=(  )
    A.23 B.32
    C.35 D.38
    C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列,其公差为-3,则9a1+×(-3)=207,解得a1=35,故选C.]
     确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
    考点2 等差数列的判定与证明
     等差数列的4个判定方法
    (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
    (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.
    (3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.
    (4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
      若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
    (1)求证:成等差数列;
    (2)求数列{an}的通项公式.
    [解] (1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
    得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
    因为Sn≠0,所以-=2,
    又==2,
    故是首项为2,公差为2的等差数列.
    (2)由(1)可得=2n,所以Sn=.
    当n≥2时,
    an=Sn-Sn-1=-==-.
    当n=1时,a1=不适合上式.
    故an=
     证明成等差数列的关键是-为与n无关的常数,同时注意求数列{an}的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n=1的情形.
    [教师备选例题]
    数列{an}满足an+1=,a1=1.
    (1)证明:数列是等差数列;
    (2)求数列的前n项和Sn,并证明++…+>.
    [解] (1)证明:∵an+1=,
    ∴=,化简得=2+,
    即-=2,
    故数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
    (2)由(1)知=2n-1,
    所以Sn==n2,=>=-.
    证明:++…+=++…+>++…+
    =++…+=1-=.
    故++…+>.
     1.已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
    (1)求a2,a3;
    (2)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式.
    [解] (1)由已知,得a2-2a1=4,
    则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.
    由2a3-3a2=12,
    得2a3=12+3a2,所以a3=15.
    (2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),
    得=2,即-=2,
    所以数列是首项=1,公差d=2的等差数列.
    则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.
    2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
    (1)证明:an+2-an=λ;
    (2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
    [解] (1)证明:由题设知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,
    由于an+1≠0,
    所以an+2-an=λ.
    (2)由题设知a1=1,a1a2=λS1-1,
    可得a2=λ-1.
    由(1)知,a3=λ+1.
    令2a2=a1+a3,
    解得λ=4.
    故an+2-an=4,
    由此可得{a2n-1}是首项为1,
    公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;
    {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
    所以an=2n-1,an+1-an=2,
    因此存在λ=4,
    使得数列{an}为等差数列.
    考点3 等差数列的性质及应用
     等差数列中常用的解题性质
    (1)项的性质:在等差数列{an}中,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
    (2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
    ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
    ②S2n-1=(2n-1)an.
    (3)在Sn=中常用性质或等差中的项解题.
     (1)正项等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3+a9-a+15=0,则S11=(  )
    A.35 B.36
    C.45 D.55
    (2)(2019·锦州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15等于(  )
    A.35 B.42
    C.49 D.63
    (3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 018,-=6,则S2 020=________.
    (1)D (2)B (3)2 020 [(1)因为{an}为正项等差数列,故a3+a9=2a6,
    所以a-2a6-15=0,解得a6=5或者a6=-3(舍),所以S11=11a6=11×5=55,故选D.
    (2)在等差数列{an}中, S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,
    所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.
    (3)由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d,则-=6d=6,∴d=1.
    故=+2 019d=-2 018+2 019=1,
    ∴S2 020=1×2 020=2 020.]
     以数列项或和的下角标为突破口,结合等差数列的性质灵活解答.
    [教师备选例题]
    (1)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于(  )
    A.0   B.37   C.100   D.-37
    (2)(2019·商洛模拟)等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是(  )
    A.20 B.22 C.24 D.8
    (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(  )
    A.63 B.45 C.36 D.27
    (1)C (2)C (3)B [(1)设{an},{bn}的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,所以{an+bn}为等差数列.又a1+b1=a2+b2=100,所以{an+bn}为常数列,所以a37+b37=100.
    (2)因为a1+3a8+a15=5a8=120,
    所以a8=24,所以2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.
    (3)由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列.即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
    得到S9-S6=2S6-3S3=45.]
     1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am-1+am+1-a-1=0,S2m-1=39,则m等于(  )
    A.39 B.20
    C.19 D.10
    B [数列{an}为等差数列,则am-1+am+1=2am,则am-1+am+1-a-1=0可化为2am-a-1=0,解得am=1.又S2m-1=(2m-1)am=39,则m=20.故选B.]
    2.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N*,都有=,则+的值为(  )
    A. B.
    C. D.
    C [由题意可知b3+b13=b5+b11=b1+b15=2b8,
    ∴+======.故选C.]
    考点4 等差数列前n项和的最值问题
     求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
    (1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
    (2)邻项变号法:
    ①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;
    ②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
     [一题多解]等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是(  )
    A.5 B.6
    C.7 D.8
    C [法一:(邻项变号法)由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大.
    法二:(函数法)由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.
    法三:(函数法)根据a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n==7时,Sn取得最大值.]
    [母题探究] 将本例中“a1=13,S3=S11”改为“a1=20,S10=S15”,则n为何值?
    [解] 因为a1=20,S10=S15,
    所以10×20+d=15×20+d,所以d=-.
    法一:由an=20+(n-1)×=-n+,得a13=0.
    即当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0.
    所以当n=12或n=13时,Sn取得最大值.
    法二:Sn=20n+·
    =-n2+n
    =-+.
    因为n∈N*,所以当n=12或n=13时,Sn有最大值.
    法三:由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.
    所以5a13=0,即a13=0.
    所以当n=12或n=13时,Sn有最大值.
     本题用了三种不同的方法,其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化;方法二、三是借助二次函数的图象及性质给与解得,三种方法各有优点,灵活运用是解题的关键.
     1.设数列{an}是公差d<0的等差数列,Sn为其前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n的值为(  )
    A.5 B.6
    C.5或6 D.11
    C [由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d,化简得a1=-5d,所以a6=0,故当n=5或6时,Sn最大.]
    2.(2019·北京高考)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
    (1)求{an}的通项公式;
    (2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
    [解] (1)∵{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
    ∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),
    ∴(-2+2d)2=d(-4+3d),解得d=2,
    ∴an=a1+(n-1)d=-10+2n-2=2n-12.
    (2)法一:(函数法)由a1=-10,d=2,
    得Sn=-10n+×2=n2-11n=-,
    ∴n=5或n=6时,Sn取最小值-30.
    法二:(邻项变号法)由(1)知,an=2n-12.
    所以,当n≥7时,an>0;当n≤6时,an≤0.
    所以Sn的最小值为S6=-30.


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