(新高考)高考数学一轮考点复习6.2《等差数列及其前n项和》课时跟踪检测(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习6.2《等差数列及其前n项和》课时跟踪检测(含详解)，共7页。试卷主要包含了基础练——练手感熟练度，综合练——练思维敏锐度等内容，欢迎下载使用。

课时跟踪检测（三十） 等差数列及其前n项和
一、基础练——练手感熟练度
1．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于(　　)
A．2　　　　　　　　 　 B．0
C．－1 D．－2
解析：选D　因为a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，公差d为－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选D.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(　　)
A．36 B．72
C．144 D．288
解析：选B　法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，
∴d＝，∴S9＝9×2＋×＝72.
法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，
∴S9＝＝72.
3．公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中第________项的值与4a5的值相等．
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝2a5，所以a1＋6d＝2(a1＋4d)，则a1＝ －2d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，而4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11，故数列{an}中第11项的值与4a5的值相等．
答案：11
4．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
法一：由
得解得
∴S8＝8a1＋d＝8×(－5)＋28×2＝16.
法二：∵S9＝27，∴S9＝＝9a5＝27，
∴a5＝3，又a2a5＋a8＝0，则3(3－3d)＋3＋3d＝0.
解得d＝2，∴S8＝＝4(a4＋a5)＝4×(1＋3)＝16.
答案：16
5．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝________.
解析：因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.
根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，
所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.
答案：3
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S2＝S6，－＝2，则a1＝________，公差d＝________.
解析：由{an}为等差数列，得数列是首项为a1，公差为的等差数列，∵－＝2，∴＝2⇒d＝4，又S2＝S6⇒2a1＋4＝6a1＋×4⇒a1＝－14.
答案：－14　4
二、综合练——练思维敏锐度
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C　∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
∴数列也为等差数列．
∴＋＝，即＋＝0，
解得m＝5，经检验为原方程的解，故选C.
2．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　)
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C　由3an＋1＝3an－2⇒an＋1－an＝－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.
∵ak·ak＋1<0，
∴<0，∴ 又∵k∈N*，∴k＝23.
3．(2021·济南八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4 C．S4>S1 D．S4＝S1
解析：选B　设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得解得于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S4＝S3，S4 4．(多选)设{an}是无穷数列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，则下面给出的四个判断中，正确的有(　　)
A．若{an}是等差数列，则{An}是等差数列
B．若{An}是等差数列，则{an}是等差数列
C．若{an}是等比数列，则{An}是等比数列
D．若{An}是等差数列，则{a2n}是等差数列
解析：选AD　若{an}是等差数列，设公差为d，则An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，则An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以{An}是等差数列，故A正确；若{An}是等差数列，设公差为d，An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d，即数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B不正确，D正确；若{an}是等比数列，设公比为q，当q≠－1时，则＝＝＝q，当q＝－1时，则An＝an＋an＋1＝0，故{An}不是等比数列，故C不正确．故选A、D.
5．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
解析：选C　∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，
∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．
∵<－1，∴a8·a9<0，a8＋a9>0，
由等差数列的性质知，
2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.
∵Sn＝，
∴当Sn>0时，n的最小值为16.
6．《九章算术》一书中衰分、均输、盈不足等卷中记载了一些有关数列的问题．齐去长安三千里，今有良马发长安至齐，驽马发齐至长安，同日相向而行．良马初日行一百五十五里，日增十二里；驽马初日行一百里，日减二里．问几日相遇(　　)
A．十日 B．十一日
C．十二日 D．六十日
解析：选A　设良马每天行走的里数构成数列{an}，驽马每天行走的里数构成数列{bn}，则{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2.且a1＝155，d1＝12，b1＝100，d2＝－2，设n日相遇，则由题意知155n＋×12＋100n＋×(－2)＝3 000，解得n＝10.
7．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a2＝4，a4＝6，b3＝3，b7＝9，由{an}，{bn}的公共项组成新数列{cn}，则c10＝(　　)
A．18 B．24
C．30 D．36
解析：选C　因为数列{an}为等差数列，且a2＝4，a4＝6，
所以其公差d1＝＝1，通项公式为an＝n＋2.
因为数列{bn}为等差数列，且b3＝3，b7＝9，
所以其公差d2＝＝，通项公式为bn＝－.
则a1＝b3＝3为数列{cn}的第一项，a4＝b5＝6为数列{cn}的第二项，a7＝b7＝9为数列{cn}的第三项，…，知{cn}为等差数列，{cn}的公差d＝3，且cn＝3＋(n－1)·3＝3n，
则c10＝3×10＝30，故选C.
8．已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝(　　)
A．－3 B．3
C．－ D.
解析：选A　数列{an}满足5 an＋1＝25·5 an，∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，
∴数列{an}是等差数列，公差为2.
∵a2＋a4＋a6＝9，∴3a4＝9，a4＝3.
∴a1＋3×2＝3，解得a1＝－3.
∴a5＋a7＋a9＝3a7＝3×(－3＋6×2)＝27，
则log(a5＋a7＋a9)＝log33＝－3.故选A.
9．(多选)(2021·青岛模拟)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有(　　)
A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0
C．当d>0时，a10＋a22>0 D．当d<0时，|a10|>|a22|
解析：选BC　因为S10＝S20，所以10a1＋d＝20a1＋d，解得a1＝－d.因为无法确定a1和d的正负性，所以无法确定Sn是否有最大值，故A错误．S30＝30a1＋d＝30×＋15×29d＝0，故B正确．a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2＝d>0，故C正确．a10＝a1＋9d＝－d＋d＝－d，a22＝a1＋21d＝－d＋d＝d，因为d<0，所以|a10|＝－d，|a22|＝－d，|a10|<|a22|，故D错误．
10．已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选B　∵等差数列{an}的公差为－2，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，
∴a＝a＋a－2a4·a5cos 120°，
即(a4＋2)2＝a＋(a4－2)2＋2a4(a4－2)×，
化为a－5a4＝0，又a4≠0，解得a4＝5，
∴a3＝7，a5＝3，a6＝1，a7＝－1.
∵Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，∴实数m＝6.故选B.
11．等差数列{an}，{bn}满足：对任意n∈N*，都有＝，则＋＝________.
解析：由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，
a7＋a5＝2a6.
∴＋＝＝＝＝＝1.
答案：1
12．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且为等差数列，则λ的值是________．
解析：因为为等差数列，an＋1＝2an＋2n－1，
所以－＝－＝＋＋－－＝＋－是与n无关的常数，
则－＝0，即＝0，则λ－1－2λ＝0，
解得λ＝－1.
答案：－1
13．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S6S8，给出下列结论：
①数列{an}的公差d<0；②S9 其中正确的是________(填序号)．
解析：∵S6S8，
∴S6S6＋a7＋a8.
∴a7>0，a7＋a8<0.
∴a7>0，a8<0.
①数列{an}的公差d<0，正确；
②由①得a7＋a8＋a9<0，∴S6＋a7＋a8＋a9 ③S14＝＝7(a7＋a8)<0，正确；
④显然正确．
故正确的是①②③④.
答案：①②③④
14．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．
证明：∵an＝2－(n≥2)，∴an＋1＝2－.
∴bn＋1－bn＝－＝－＝＝1，
∴{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．
15．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
解：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝1＋1＝2，
所以数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
16．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
解：(1)∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
∴解得a1＝5，d＝－3.
∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
(2)由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋×(－3)＝－n2＋n.
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8.
当n<3时，T1＝5，T2＝7；
当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝－＋14.
∵Tn≥1 464，∴Tn＝－＋14≥1 464，
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥，
∴n的最小值为34.