2021年高考理科数学一轮复习：专题6.4 数列求和与数列综合 题型全归纳与高效训练突破

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TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 分组转化求和1
题型二 错位相减法求和3
题型三 裂项相消法求和6
题型四 并项求和8
题型五 数列与其他知识的交汇9
类型一．数列与不等式的交汇问题9
类型二．数列与三角函数的综合10
类型三．数列与函数的综合11
类型四．数列中的新定义问题12
类型五．数列中的新情境问题13
二、高效训练突破14
一、题型全归纳
题型一 分组转化求和
【题型要点】分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
【例1】(2020·山东五地5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2－S2x＋2<0的解集为(1，2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝a2n＋2an－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【例2】(2020·信阳模拟)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＋2，n是奇数，,2an，n是偶数，))则数列{an}的前20项和为( )
A．1121 B．1122
C．1123 D．1124
【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(n2＋n,2)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
题型二 错位相减法求和
【题型要点】利用错位相减法的一般类型及思路
(1)适用的数列类型：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列．
(2)思路：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，(*)
则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，(**)
(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．
【易错提醒】：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：
(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．
(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和．
【例1】(2020·天津市部分区联考)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1＝1，a3＋a4＝12，b1＝a2，b2＝a5.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝(－1)nanbn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.
【例2】(2020·石家庄模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(n,an)，求数列{bn}的前n项和Tn.
题型三 裂项相消法求和
【题型要点】1．几种常见的裂项相消及解题策略
(1)常见的裂项方法(其中n为正整数)
(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等．
【例1】(2020·江西八所重点高中4月联考)设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(4,4－an)(n∈N*)．
(1)求证：数列{eq \f(1,an－2)}是等差数列；
(2)设bn＝eq \f(a2n,a2n－1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【例2】(2020·石家庄模拟)已知数列{an}是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a2＋a3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(1,n＋2lg3an＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn.
题型四 并项求和
【题型要点】用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和．可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n”；三是数列{an}是周期数列．
【易错提醒】运用并项求和法求数列的前n项和的突破口是会观察数列的各项的特征，如本题，数列{bn}的通项公式为bn＝(－1)neq \f(2n＋1,n（n＋1）)，易知数列{bn}是摆动数列，所以求和时可以将各项进行适当合并．
【例1】(2020·福建宁德二检)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2kn(k∈N*)，Sn的最小值为－9.
(1)确定k的值，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前2n＋1项和T2n＋1.
【例2】(2020·河南八市重点高中联盟测评)已知等差数列{an}中，a3＝3，a2＋2，a4，a6－2成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝eq \f(（－1）na2n＋1,anan＋1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n.
题型五 数列与其他知识的交汇
类型一．数列与不等式的交汇问题
【例1】(2020·广东深圳二模)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝3，当n≥2时，有Sn＋Sn－1－2SnSn－1＝2nan，则使得S1S2…Sm≥2 019成立的正整数m的最小值为________．
【题后升华】解决本题的关键：一是细观察、会构造，即通过观察所给的关于Sn，an的关系式，思考是将Sn往an转化，还是将an往Sn转化；二是会解不等式，把求出的相关量代入已知不等式，转化为参数所满足的不等式，解不等式即可求出参数的最小值．
类型二．数列与三角函数的综合
【例2】(2020·安徽安庆4月联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(\r(3)sin B－sin C,b－a)＝eq \f(sin A＋sin B,c).
(1)求角A的大小；
(2)若等差数列{an}的公差不为零，a1sin A＝1，且a2，a4，a8成等比数列，bn＝eq \f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn.
【题后升华】破解数列与三角函数相交汇问题的策略：一是活用两定理，即会利用正弦定理和余弦定理破解三角形的边角关系；二是会用公式，即会利用等差数列与等比数列的通项公式求解未知量；三是求和方法，针对数列通项公式的特征，灵活应用裂项相消法、分组求和法、错位相减法等求和．
类型三．数列与函数的综合
【例3】(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和a8是函数f(x)＝eq \f(15,4)ln x＋eq \f(1,2)x2－8x的极值点，则S8＝( )
A．－38 B．38
C．－17 D．17
【题后反思】破解数列与函数相交汇问题的关键：一是会利用导数法求函数的极值点；二是会利用等差数列的单调性，若公差大于0，则该数列单调递增，若公差小于0，则该数列单调递减，若公差等于0，则该数列是常数列，不具有单调性；三是会利用公式法求和，记清等差数列与等比数列的前n项和公式，不要搞混．
类型四．数列中的新定义问题
【例4】(2020·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝eq \f(a1＋2a2＋…＋2n－1an,n)，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝________．
【题后反思】破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼{an}的“优值”Hn＝2n的含义为eq \f(a1＋2a2＋…＋2n－1an,n)＝2n；二是想“减法”，如本题，欲由等式a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n求通项，只需写出a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1，通过相减，即可得通项公式．
类型五．数列中的新情境问题
【例5】(2020·安徽六校第二次联考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋ a2 ＝3，a3－a2＝ 2，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且b3＝5，S4＝16.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系中，有点P1(a1，0)，P2(a2，0)，…，Pn(an，0)，Pn＋1(an＋1，0)，Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)，…，Qn(an，bn)，若记△PnQnPn＋1的面积为cn，求数列{cn}的前n项和Tn.
【题后反思】数列中新情境问题的求解关键：一是观察新情境的特征，如本题中的各个直角三角形的两直角边长的特征；二是会转化，如本题，把数列{cn}的通项公式的探求转化为直角三角形的两直角边长的探求；三是活用数列求和的方法，如本题，活用错位相减法，即可得数列{cn}的前n项和．
二、高效训练突破
一、选择题
1.在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为( )
A．990 B．1 000
C．1 100 D．99
2.(2020·汕头摸底)已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2019项和为( )
A．5 B．－4
C．0 D．－2
3．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象经过点P(1，3)，Q(2，5)．当n∈N*时，an＝eq \f(f（n）－1,f（n）·f（n＋1）)，记数列{an}的前n项和为Sn，当Sn＝eq \f(10,33)时，n的值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
4．(2020·河北保定期末)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则该数列的前100项之和是( )
A．18 B．8
C．5 D．2
5．已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn，若an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(an,2)，an是偶数，,3an＋1，an是奇数，))且a1＝5，则S2020＝( )
A．4740 B．4737
C．12095 D．12002
6.在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝( )
A．132 B．299
C．68 D．99
7．(2020·洛阳模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，(Sn＋1－Sn)an＝2n(n∈N*)，则S2020＝( )
A．3×(21010－1) B.eq \f(3,2)×(21010－1)
C．3×(22020－1) D.eq \f(3,2)×(22020－1)
8.(2020·河北五个一名校联盟第一次诊断)数列{an}的通项公式为an＝ncseq \f(nπ,2)，其前n项和为Sn，则S2021等于( )
A．－1010 B．2018
C．505 D．1010
9.在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于( )
A．76 B．78
C．80 D．82
10．(2020·湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n).①
第二步：将数列①的各项乘以eq \f(n,2)，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an.
则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝( )
A.eq \f(n2,4) B.eq \f(n－12,4)
C.eq \f(nn－1,4) D.eq \f(nn＋1,4)
二、填空题
1.(2020·湖南三湘名校(五十校)第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1.当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 019＝________．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,Sn)(n∈N*)，则T2 018＝________．
3.(2020·商丘质检)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．
4.(2020·枣庄模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________．
5.(2020·湖南郴州第二次教学质量监测)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝2bn(n∈N*)，若数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，则数列的前n项和Sn＝________．
三 解答题
1.已知数列{an}满足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝eq \f(n,4)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(4nan,2n＋1)，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq \f(3an－1,2).
(1)求an；
(2)若bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
3.已知等差数列{an}中，a5－a3＝4，前n项和为Sn，且S2，S3－1，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)neq \f(4n,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
4.已知Sn为正项数列{an}的前n项和，a1＝1，且eq \r(Sn)＝an＋eq \f(1,4)(n≥2且n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{4eq \r(Sn)·an}的前n项和Tn.
数列
裂项方法
(k为非零常数)
eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)
eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2)
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))))
eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))
(a>0，a≠1)
＝lga(n＋1)－lgan
{an}为等差数列，公差
为d(d≠0)，
eq \f(1,an·an＋1)＝eq \f(1,d)