初中数学湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用教案

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用教案，共10页。教案主要包含了课时安排，第一课时，教学目标，教学重难点，教学过程，知识梳理，作业布置，教学反思等内容，欢迎下载使用。
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
1．使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决。
2．逐步培养学生分析问题。解决问题的能力。
3．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
【教学重难点】
1．重点：善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。
2．难点：根据实际问题构造合适的直角三角形。
【教学过程】
一、复习导学
学生通过自主复习教材完成下列问题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）。
1．在Rt∆ABC中，∠C=90°
（1）若∠A=60°，b=，求A。
（2）若∠B=35°，c=8，用计算器求a的值（结果精确到0.1）
设计意图：复习导入，回顾解直角三角形的相关知识，为解直角三角形的应用做铺垫。
二、探究展示
（一）合作探究：
某探险者某天到达点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离（图见课本图4-15）。你能帮他想出一个可行的办法吗？
探究讨论：
1．先把图4-15抽象，并构造出直角三角形。
（引导学生一起把实景图抽象成右图，教师点拨，学生动手。）
2．如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，过点A作AC⊥BD即可以构造出直角三角形。
3．在Rt∆ABC中，AC表示A处离B处的水平距离，要求AC，只需测出仰角∠BAC和A、B的相对高度AC即可。
4．如果测得点A的海拔AE=1600m，仰角∠BAC=40°，求A、B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）。
5．学生上台展示：
因此，A、B两点之间的水平距离AC约为2264m。
（二）展示提升
（首先组内讨论，然后分组上台讲解，其他学生补充、质疑，老师适时点拨、追问，引导学生总结解题方法）。
三、练习：
（一）在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面高AE为1.7m，求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1m）。
设计意图：熟悉俯角、仰角的概念（都是视线与水平线的夹角），在解直角三角形题的基础上，稍加难度，学会用解直角三角形的相关知识，解决实际问题。
（二）某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN所成的夹角∠ABN、∠ACN分别为8°和15°，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）。
设计意图：
1．BC不是直角三角形的一边，所以不能直接求出。设计本题的目的在于让学生学会做辅助线构造直角三角形，并能通过解两个直角三角形来解决问题。
2．通过质疑、追问，总结解直角三角形的应用题一般步骤：
将实物图形转化为几何图形。
将自然语言转化为数学语言。
解直角三角形，求得解。
总结作答。
【知识梳理】
（一）以本节课我们学到了什么？启发学生谈谈本节课的收获。
（二）求某些不便直接测量的物体的高或距离时，可以根据实际问题构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法来求。
（三）解直角三角形的应用题一般步骤：
1．将实物图形转化为几何图形。
2．将自然语言转化为数学语言。
3．解直角三角形，求得解。
4．总结作答。
【作业布置】
1．一艘游船在离开码头A后，以和河岸成30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC。
设计意图：这是解直角三角形的简单应用，直接利用解直角三角形的知识就可以求得。是展示提升题中的第1题的巩固。
2．有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为5°。
（1）求坡高CD（结果精确到0.1m）；
（2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1m）。
设计意图：
这道题要在Rt∆ACD中求得AD，在Rt∆BCD中求得BD的长，然后再求AB．是展示提升题中的第2题的巩固练习。
【教学反思】
本节课，通过实例让学生更深刻地理解和运用解直角三角形，把现实生活中的实际问题，抽象。转化为数学问题，从而利用解直角三角形的方法来解决。使学生在解决问题的同时，吸收数学中的转化思想，建模思想把现实问题通过数学模型转化为数学问题。
【第二课时】
【教学目标】
1．巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会了解关于坡度和坡角有关的问题。
2．逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法。
3．培养学生用数学的意识。
【教学重难点】
1．重点：理解坡角和坡度的内涵及表示方法。
2．难点：实际问题中，坡度与正切。正弦等的综合运用。
一、预习导学
【教学过程】
一、预习导入
1．如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h（即线段MN的长）与水平前进的距离l（即线段PM的长）的比叫做 ，用字母i表示，即i= ，坡度通常写成1：m的形式。
2．图中的∠MPN叫做 ，显然坡度等于坡角的 。
即i= 。坡度越大，山坡越陡。
设计意图：
通过学生的独立学习，了解坡度的概念及它与坡角的关系。培养学生的自主学习能力。
二、探究展示
（一）合作探究
1．山坡的坡度为i=1:2小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m。）
分析：已知山坡的坡度为1:2，其实就是告诉我们=1:2，即tanA=1:2。由此可得出∠A的度数；又知AC的长，要求BC的长，可利用∠A的正弦值。
解：
由题意可得tanA=i==0.5，因此∠A≈26.57°
在Rt∆ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
所以sinA=
所以BC=240×sin26.57°≈107.3（m）
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约07.3m。
展示提升
1．如图，某水库大坝横断面迎水坡AB的坡度是，堤坝高BC=50m，求坡面AB的长。
设计意图：巩固坡度的概念，会用解直角三角形的知识解坡度的题型。
小组合作解决，提醒后进学生先利用坡度求出AC的长，然后再求AB。
2．如图所示，某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝宽CD=3m，斜坡AD=16m，坝高8m，斜坡BC的坡度i=1:3。求斜坡AD的坡角和坝宽AB（结果保留根号）。
（1）设计意图：此题是坡度问题的综合运用，目的在于加深学生对“坡度即坡角的正切”的理解，并能综合运用，以解决实际问题。
（2）斜坡AD的坡角即求∠BAE的大小，
由于AD=16m，DE=8m，
因此，，
所以，∠DAE=30°
（3）求坝宽AB，因为AB不是某个直角三角形的边，所以不好直接求得，因此可以考虑分成三段来求，即AB=AE+EF+BF
在Rt△ADE中，可以利用锐角三角函数求得AE的长
在矩形DEFC中，EF=DC=3m
在Rt△BCF中，斜坡BC的坡度i=1:3，
即，
可以求得BF=24m
这样，AB=AE+EF+BF，可以快速求得。
【知识梳理】
1．以本节课我们学到了什么？启发学生谈谈本节课的收获。
2．坡度其实就是坡角的正切，因此知道了坡度，就可以利用锐角三角函数，求出坡角的度数。从而也能求得山坡的高度或水平长度。
【作业布置】
如图所示，沿水库拦水坝（横断面为梯形ABCD）的背水坡AB将坝顶AD加宽2米，背水坡的坡度由原来的1:2改为1:2.5。已知坝高6m，求加宽部分横断面AFEB的面积。
【教学反思】
本堂课设置的题量不多，要达到教学目标，完成训练目标，要求学生在充分讨论的基础上，充分展示、质疑。所以学生讨论的时间要保证10分钟以上，才能达到教学效果。
【第三课时】
【教学目标】
1．巩固直角三角形中的锐角三角函数，学会解关于触礁的问题。会利用方程帮助解直角三角形。
2．逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合数学思想。
3．培养学生用数学的意识。
【教学重难点】
（1）重点：理解触礁问题的实质。
（2）难点：利用方程帮助解直角三角形。
【教学过程】
一、预习导学
（一）学生通过自主预习教材完成下列各题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）。
1．直角三角形中，五个元素之间的关系是什么？
2．在实际问题中，怎样用解直角三角形的知识来解决问题？
3．用锐角三角函数解决实际问题要注意些什么？
4．方位角是看样表示的？
（二）设计意图：既有前面知识的复习，巩固解直角三角形的知识，又有新知的提炼和指导，启发学生提炼问题的本质。
二、探究展示
（一）合作探究
如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上。已知在灯塔C的四周30km内有暗礁。问这艘船继续向东航行是否安全？
对于这类题型，学生会有比较浓厚的兴趣，但往往解题时不得要领。这时要引导学生分析：要判断船有没有触礁的危险，就是看船距灯塔的最近的距离与30km相比较的结果。若最近的距离超过30km，则船是安全的，若最近的距离小于或等于30km，则船有触礁的危险。船距灯塔的最近的距离即过点C向航线AB作垂线CD，所以先得求出CD的长。
但CD在Rt∆ACD中不能直接求出，而且在Rt∆BCD中也不能直接求出，怎么办？
（学生充分讨论后，由学生上台阐述自己的想法）
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=。
在Rt∆ACD中，
同理，在同理，在Rt∆BCD中，
因为>30。因此该船能继续安全地向东航行。
设计意图：
学会方位角的表示方法，渗透方程思想。解决这类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构造直角三角形，必要时要添加合适的辅助线。
（二）展示提升
某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向；B船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km。求A，B两船的距离（结果精确到0.1km）。
先讨论，再展示。
1．第一步弄明白∠CAB、∠CBA的度数和∆ABC是什么三角形
所以，即∆ABC是直角三角形。
2．第二步确定设哪条边为
根据“C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km”，得CA-CB=40km，可以设CB=km，则CA=km
然后利用锐角三角函数列出方程。
根据∠CAB的正弦，，得
根据∠CBA的正弦，，得
所以有，，可以求得即CB的长度，进而求得AB的长。
设计意图：
巩固学生对方位角的理解，同时提升问题的难度，从而使学生能更加灵活地运用锐角三角函数来解决问题，并进一步巩固方程思想在生活和应用题中的运用。
【知识梳理】
本节课我们学到了什么？启发学生谈谈本节课的收获。
1．在用解直角三角形的知识来解决实际问题时，首先要会构造合适的直角三角形。
2．但有时构造好三角形后，并不能直接求出我们需要的边，这时可以考虑能否借用方程和锐角三角函数一起来求。
3．方程思想在数学中有着极为广泛的应用，同学要善于利用它。
【作业布置】
1．如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为60°和30°。求BD、BC的长（结果精确到0.01m）
【教学反思】
本堂课，通过学生的充分讨论、交流，了解了触礁问题的实质，以及它与锐角三角函数的联系。在学生增长知识的同时，发展了自身的能力。在调动学生积极性的同时，培养了学生学数学、用数学的能力和兴趣。