2019-2020学年北京市石景山区七下期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市石景山区七下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 某种植物花粉的直径约为 0.000035 米，其中 0.000035 用科学记数法表示为
A. 0.35×10−4B. 3.5×10−5C. 35×10−4D. 3.5×10−6

2. 不等式 x−2>0 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.

3. 下列运算正确的是
A. 2x2+x2=3x4
B. −mn2⋅2mn=−2m2n3
C. y8÷y2=y4
D. 3a2b2=6a4b2

4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是
A. 了解一批 IPAD 的使用寿命
B. 了解某鱼塘中鱼的数量
C. 了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率
D. 了解电视栏目《朗读者》 的收视率

5. 如图，直线 a∥b，直线 l 分别与直线 a，b 相交于点 P，Q，PA 垂直于 l 于点 P．若 ∠1=64∘，则 ∠2 的度数为
A. 26∘B. 30∘C. 36∘D. 64∘

6. 某校“我是小小演说家”演讲比赛中，15 名选手的成绩如图所示，则这 15 名选手成绩的众数和中位数分别是
A. 95，95B. 6，5C. 95，98D. 100，98

7. 如图所示，用量角器度量几个角的度数．下列结论中正确的是
A. ∠BOC=60∘B. ∠COA 是 ∠EOD 的余角
C. ∠AOC=∠BODD. ∠AOD 与 ∠COE 互补

8. 如果关于 x 的二次三项式 x2+bx+9 是完全平方式，那么 b 的值为
A. 3B. ±3C. 6D. ±6

9. 如图，四边形 ABCD，E 是 CB 延长线上一点，下列推理正确的是
A. 如果 ∠1=∠2，那么 AB∥CD
B. 如果 ∠3=∠4，那么 AD∥BC
C. 如果 AD∥BC，那么 ∠6+∠BAD=180∘
D. 如果 ∠6+∠BCD=180∘，那么 AD∥BC

10. 对有理数 x，y 定义新运算：x⊗y=ax+by+1，其中 a，b 是常数．若 2⊗−1=−3，3⊗3=4，则 a，b 的值分别为
A. a=1，b=2B. a=−1，b=2
C. a=−1，b=−2D. a=1，b=−2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 写出方程 2x−3y=1 的一个整数解为 ．

12. 若 a”，“<”或“=”填空）

13. 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》 里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?译文：有 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完．如果大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分一个，试问大、小和尚各有几人?设大和尚 x 人，小和尚 y 人，可列方程组为 ．

14. 若想检验一块儿破损的木板的两条直的边缘 AB，CD 是否平行，你的办法是 ．（工具不限，可结合图形进行说明，只要能说清思路即可）

15. 如图，有一个边长为 x 米的正方形苗圃，它的边长增加 2 米．
（1）根据图形写出一个等式 ；
（2）已知：边长增加 2 米后，苗圃的面积增加 16 平方米．请根据题意列出关于 x 的一个方程为 ；求得原正方形的边长为 米．

16. 杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，下图是杨辉在公元 1261 年著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：
（1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第 8 行中从左边数第 3 个数是 ；
（2）利用不完全归纳法探索出第 n 行中的所有数字之和为 ．
111121133114641151010511615201561

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 分解因式：x2−2x−24．

18. 分解因式：x3−10x2+25x．

19. 分解因式：a2m−n+b2n−m．

20. 课堂上，老师让同学们计算 2m+n2m−n−m4m−1．
下边文本框中是小方的解题过程．请你作为小方老师对其进行评价，判断其是否正确?如果有错误，请写出正确的解题过程．

21. 求值：若 xy=2，x+y=4，求 x2y+xy2−x2y2 的值．

22. 化简求值：若 a2−3a=1，求 2a−32−a+2a−5 的值．

23. 解方程组 x+3y=−5,3x−4y=−2.

24. 求不等式组 5x−1−1<3x,1+2x3≥x−1 的非负整数解．

25. 已知：直线 AD，BC 被直线 CD 所截，AC 为 ∠BAD 的平分线，∠1+∠BCD=180∘．求证：∠BCA=∠BAC．

26. 某综合实践小组为了了解本校学生参加课外读书活动的情况，随机抽取部分学生，调查其最喜欢的图书类别，并根据调查结果绘制成不完整的统计表与统计图，请结合图中的信息解答下列问题．
（1）随机抽取的样本容量 a 为 ；
（2）补全扇形统计图和条形统计图；
（3）已知该校有 600 名学生，估计全校最喜欢文学类图书的学生有 名．

27. 端午节前夕，某校为学生购买了A，B两种品牌的粽子共 400 个，已知B品牌粽子的单价比A品牌粽子的单价的 2 倍少 6 元．
（1）当买A品牌 100 个，B品牌粽子 300 个时，学校所花费用为 4500 元．求A，B两种品牌粽子各自的单价；
（2）在两种品牌粽子单价不变的情况下，由于资金临时出现状况，所花费用不超过 4000 元，问至少买A品牌粽子多少个?

28. 如图，线段 AB，AD 交于点 A．C 为直线 AD 上一点（不与点 A，D 重合）．过点 C 在 BC 的右侧作射线 CE⊥BC，过点 D 作直线 DF∥AB，交 CE 于点 G（G 与 D 不重合）．
（1）如图 1，若点 C 在线段 AD 上，且 ∠BCA 为钝角．
①按要求补全图形；
②判断 ∠B 与 ∠CGD 的数量关系，并证明．
（2）若点 C 在线段 DA 的延长线上，请直接写出 ∠B 与 ∠CGD 的数量关系 ；
（3）请你结合上两问的题意提出一个新的拓展问题 ．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. B
4. C
5. A
6. C
7. D
8. D
9. C【解析】A，∠1≠∠2；
B，∠3=∠4，不能推出 AD∥BC；
C，正确；
D，由题设不能推出结论．
10. B
【解析】根据题意得：2a−b+1=−3,3a+3b+1=4.
求得 a=−1,b=2.
第二部分
11. x=2,y=1（答案不唯一）
12. <，>，<
13. x+y=100,3x+13y=100
14. 画一条直线截线段 AB 与 CD，测量一对同位角，如果相等，则 AB∥CD，反之，则不平行（答案不唯一）．
15. x+22=x2+4x+4（答案不唯一），x+22−x2=16（答案不唯一），3
【解析】（1）根据图形写出一个等式为：x+22=x2+2x×2+22；
（2）根据题意得 x+22−x2=16，
解得 x=3．
16. 21，2n−1
【解析】（1）设第 n 行第 2 个数位 an（n≥2，n 为正整数），第 n 行第 3 个数为 bn（n≥3，n 为正整数），观察，发现规律：an=n−1，bn−bn−1=n−2，
所以 bn=b3+b4−b3+b5−b4+b6−b5+⋯+bn−bn−1，
当 n=8 时，b8=8−1×8−22=21．
（2）因为第 1 行数字之和 1=20，
第 2 行数字之和 2=21，
第 3 行数字之和 4=22，
第 4 行数字之和 8=23，
⋯
所以第 n 行数字之和为 2n−1．
第三部分
17. 原式=x−6x+4．
18. 原式=xx2−10x+25=xx−52.
19. 原式=a2m−n−b2m−n=m−na2−b2=m−na+ba−b.
20. 小方的解题过程不正确．
正确的解答：
原式=4m2−n2−4m2+m=−n2+m.
21. 原式=xyx+y−xy．
因为 xy=2，x+y=4，
所以 原式=2×4−2=4．
22. 原式=4a2−12a+9−a2−3a−10=4a2−12a+9−a2+3a+10=3a2−9a+19=3a2−3a+19.
∵a2−3a=1，
∴原式=3×1+19=22．
23.
x+3y=−5, ⋯⋯①3x−4y=−2. ⋯⋯②①×3
得：
3x+9y=−15, ⋯⋯③③−②
，得：
13y=−13,
所以
y=−1.
把 y=−1 代入 ①，得
x=−2.
所以 x=−2,y=−1 是原方程组的解．
24. 解不等式 5x−1−1<3x 得
x<3.
解不等式 1+2x3≥x−1 得
x≤4.∴
不等式组的解集为 x<3，
∴ 不等式组的非负整数解为 0，1，2．
25. ∵AD 是一条直线，
∴∠1+∠5=180∘．
∵∠1+∠BCD=180∘，
∴∠5=∠BCD，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠3．
∵AC 为 ∠BAD 的平分线，
∴∠2=∠4，
∴∠2=∠3，
即：∠BCA=∠BAC．
26. （1） 50
【解析】11÷22%=50．
（2） 5÷50×100%=10%，100%−28%−22%−10%=40%，50×0.4=20（名），如图所示：
（3） 240
【解析】600×40%=240（名）．
27. （1） 设A品牌粽子的单价为 x 元，B品牌粽子的单价为 y 元．
根据题意得：
y=2x−6,100x+300y=4500.
解得：
x=9,y=12.
答：A品牌粽子的单价为 9 元，B品牌粽子的单价为 12 元．
（2） 设买A品牌粽子 a 个，则买B品牌粽子 400−a 个，
根据题意得：
9a+12400−a≤4000.
解得：
a≥26623,
满足题意的最小整数解为 267．
答：至少买A品牌粽子 267 个．
28. （1） ①补全图形如图 1：
②判断：∠CGD−∠B=90∘．
证明：过点 C 作 CH∥AB，如图 2，
∴∠1=∠B．
∵AB∥DF，
∴CH∥DF．
∴∠2+∠HCG=180∘．
∵CE⊥BC，
∴∠1+∠HCG=90∘．
∴90∘−∠B+∠CGD=180∘，
∴∠CGD−∠B=90∘．
（2） ∠CGD+∠B=90∘
【解析】如图，过点 C 作 CH∥AB，

∴∠B=∠BCH，
∵AB∥DF，
∴CH∥DF，
∴∠CGD+∠HCG=180∘，
又 ∵CE⊥CB，
∴∠BCG=90∘，
∴∠BCH+90∘+∠CGD=180∘，
即 ∠B+∠CGD=90∘．
（3） 若点 C 在线段 AD 的延长线上，∠B 与 ∠CGD 的数量关系是否会发生变化
【解析】若点 C 在线段 AD 上，且 ∠BCA 为锐角时，（1）中的结论还成立吗